В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пример 43. ~ — (л — 1, х + О(ж ) ) 1пп = 1пп х +о хз х+о хз Гл. п1. пРедел откуда получаем хз+х 1 9 1, /1~ — соз — = — — +01 — 1 при х — ~ оо. 1+хз х 14 хг ~хз/ Таким образом, искомый предел равен Пример 45. 1пп — 1+ — = 1пп ехр х 1п 1+ — — 1 1пп ехр х 1п 1+ — — х = 1пп ехр х — — — г+ Π— з = 1пп ехр --+Π— =е ~~~. Задачи и упражнении 1. а) Докажите, что существует и притом единственная определенная на К функция, удовлетворяющая требованиям: У(1) =а (а>0, а~1), ~(х1) . у(хг) — ~(х1+ хг), ~(х) -+ ~(хо) при х -+ хо. Ь) Докажите, что существует и притом единственная определенная на К+ функция, удовлетворяющая требованиям: У(а) = 1 (а > О, а у6 1), У(х1)+Дхг) = У(х1 хг), У(х) -+ ~(хо) при хо Е К+ и К+ Э х-+ хо. У к аз ание. Просмотрите еще раз конструкцию показательной и логарифмической функций, разобранную в примере 10.
2. а) Установите взаимно однозначное соответствие <р: К -+ К+ так, чтобы для любых х,у Е К было ~р(х+ у) = у(х) <р(у), т. е. чтобы операции сложения в прообразе (в К) отвечала операция умножения в образе (в К+). Наличие такого 145 1 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ отображения означает, что группы (й, +) и (Ж+, ) как алгебраические объекты одинаковы, нли, как говорят, изоморфны. Ь) Докажите, что группы (К, +) н (Ж'10+, ) не изоморфны, 3. Найдите пределы: а) 11ш х*; «-++О Ь) Иш х1~*; 10К«(1 + х) с) 11ш а -+О Й) 11ш —. «-+О х 4, Покажите, что 1+ — +...
+ — = 1пи+ с+ о(1) при и -+ оо, 1 1 где с — постоянная. (Число с = О, 57721... называется постоянной Эйлера.) У к аз ание. Можно воспользоваться тем, что 1п — = 1п11+ — ) = — +01 — ) при 22-+ оо. а+1 / 1Ъ 1 У1~ 5. Покажите, что: а) если два ряда ~ а«, ~ Ь«с положительными членами таковы, что а Ь «1 «~1 при 21 -+ оо, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно; 1 Ь) ряд ~ а1п — сходится только при р > 1.
«=1 б. Покажите, что: ОО /11 а) если а«> а«+1 > 0 при л1обом и Е Яи ряд ~ а«сходится, то а = о Н прн «=1 ~а) Я-+ ОО; /1~ ОО Ь) если Ь„= о ~ — ), то всегда можно построить сходящийся ряд ~ а«такой, «=1 что Ь« = о(а«) при и -+ оо; с) если ряд ~ а«с положительными членами сходится, то ряд ~ А«, где А« = «=1 «ж1 ~",' аь — ~ аь, тоже сходится, причем а„= о(А«) при п -~ оо; ь=« «=«+1 Й) если ряд ~ а«с положительными членами расходится, то ряд ~' ,А«, где «=1 «=2 « «-1 А = ~,' аь — ~ аь, тоже расходится, причем А« = о(а«) при и -+ оо. %=1 Ь=1 Из с) и д) следует, что никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может служить универсальным эталоном для установления сходимости (расходимости) других рядов путем сравнения с ним.
14б ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 7. Покажите, что: а) ряд ~ 1па„, где а„> О, п Е 1Ч, сходится тогда и только тогда, когда после- д=1 довательность (П„= а~... а ) имеет отличный от нуля предел; ОО Ь) ряд ) , '1п(1 + а„), где ~а„~ < 1, абсолютно сходится тогда и только тогда, п=1 когда сходится абсолютно ряд ~ а . в=1 Указание. См. задачу ба). 8. Говорят, что бесконечное произведение П еь сходится, если последователь- %=1 ность чисел П„ = П ел имеет конечный, отличный от нуля предел П. Тогда пола- я=1 гают П = П еь. %=1 Покажите,что а) если бесконечное произведение П е сходится, то е -+ 1 при и -+ оо; Ъ) если Чп Е 1Ч (е„> О), то бесконечное произведение П е„сходится тогда и в=1 только тогда, когда сходится ряд 2 1п е„; в=1 с) если е„= 1+а„насест„одного знака, тобесконечное произведение П (1+а ) в=1 сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~ а„.
9. а) Найдите П (1+х~" '). в=1 х Ь) Найдите П сов — „и докажите следующую формулу Виетац: и=1 с) Найдите функцию у(х), если ДО) =1, У(2х) = сон~ х 1(х), ,1(х) -+,1(0) при х -+ О. Указание: х = 2 2 ~~Ф. Виет (1540 — 1603) — французский математик, один из создателей современной алгебраической символики. 52, ПРЕДЕЛ <ФУНКЦИИ 10. Покажите, что Ь» ОО а) если —" = 1+ ~3„, и = 1, 2, ..., и ряд Я,д„абсолютно сходится, то сущеь„+, »=1 ствует предел 1пп Ь = Ь Е Ж; »-~о» Ь) если —" = 1+ — + а„, и = 1, 2,..., причем ряд ',)" а„абсолютно сходится, а» р а»+ь и »=1 с то а„— при п -э оо.
ы' $ ОО ОО с) если ряд ~ а таков, что —" = 1+ ~-+а„и ряд ~ а„абсолютно сходится, »=1 а»+~ и то ряд 1 а„абсолютно сходится при р > 1 и расходится при р < 1 (ирвзнак Гаусса »ж1 абсояютиноа сходи.ности ряда). 11. Покажите, что для любой последовательности (а„) с положительными чле- нами 1' 1+ а»+~ > е и эта опенка неулучшаема. ГЛАВА 1Ч НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ $ 1. Основные определения и примеры 1. Непрерывность функции в точке.
Пусть ~ — вещественнозначная функция, определенная в некоторой окрестности точки а 6 К. Описательно говоря, функция ~ иеирерывяа в точке а, если ее значения Дх) по мере приближения аргумента х к точке а приближаются к значению Да) функции в самой точке а. Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в точке. Опреде'ление О, Функция ~ называется непрерывкой в тпочхе а, если для любой окрестности У(Да)) значения ~(а) функции в точке а найдется такая окрестность У(а) точки а, образ которой при отображении ~ содержится в У®а)).
Приведем формально-логическую запись этого определения вместе с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе: ~ непрерывна в точке а:= И1(~(а)) ЗУ(а) (~(с'(а)) С Ъ'®а))), Че > О 3У(а) Чх ~ У(а) Я(х) — ~(а)$ < е), Че > О Зд > О Ух 6 К Дх — а~ ( о =~ ~Дх) — ~(а)~ < е). Эквивалентность этих формулировок для вещественнозначных функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) любая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрестность этой точки. Например, если по любой е-окрестности Ъ" (~(а)) точки ~(а) можно подобрать окрестность с'(а) точки а так, что Чх Е У(а) Я(х) — Да)~ < я), т.
е. У(У(а)) С У'Ща)), то и для любой окрестности У(~(а)) тоже можно подобрать соответствующую окрестность точки а. Действительно, достаточно сначала взять У'Ща)) С $'®а)), а затем по ~'(~(а)) найти с'(а). Тогда УЩа)) С Ъ" (У(а)) С Ъ'У(а)). 149 5 ь ОснОВные ОНРеделения и пРимеРы Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле второго из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле исходного определения.
Обратное очевидно, поэтому эквивалентность первых двух формулировок проверена. Дальнейшую проверку оставляем читателю. Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непрерывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили, что функция ~ определена в целой окрестности точки а, Рассмотрим теперь общий случай.
Пусть ~:-Е -+ К вЂ” вещественнозначная функция, определенная на некотором множестве Е С К, и а — точка области определения функции. Определение 1. Функция ~: Е -+ К называется непрерывкой в точке а б Е, если для любой окрестности К(Да)) значения ~(а) функции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность Уе(а) точки а в множестве') Е, образ которой ~(Уе(а)) содержится в Ъ'(~(а)). Итак, ~: Е -+ К непрерывна в а Е Е:= = УЪ'Ц(а)) 3Уе(а) 0'(Уе(а)) С $'(У(а))). Разумеется, определение 1 тоже можно записать в л — д-форме, рассмотренной выше.
Там, где нужны числовые оценки, это бывает полезно и даже необходимо. Запишем эти вариации определения 1: ~: Е -+ К непрерывна в а б Е:= = Уе ) 0 31Уи(а) Чх е Бе(а) (~Дх) — Да)~ < е), или ~: Е-+ К непрерывна в а Е Е:= = Чя > 0 ЗЮ ) 0 Чж Е Е (~х — а~ < о =~ ~У(х) — У(а)~ < я). Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке. 1 Если а — изолированная, т. е.
не предельная, точка множества Е, то найдется такая окрестность У(а) точки а, в которой нет других точек множества Е, кроме самой точки а. В этом случае Бе(а) = а, и поэтому ~Як(а)) = = Да) С 1~®а)), какова бы ни была окрестность |~(~(а)). Таким образом, в любой изолированной точке области определения функция, очевидно, непрерывна. Но это вырожденный случай. 1> Напомним, что Уя(а) = Е й Ща).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
