В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Покажем еще, что при любом о > О х 1од„.х = о(1) при х -+ О, 'х Е К+. 4 Нам нужно показать, что 1пп хо1оя х = О при а > О. Полагая и+эх о х = 1/1, применяя теорему о пределе композиции функций и результат предыдущего примера, находим 1од, (1/й, 1оц, 1 1пп х" 1од х= 1пп '' ' ' = — 1пп ' =О. Ф» и+Эх-+О 1-++оо ~о 1-++оо Определение 23. Условимся, что запись | = 0(д) или 1 = 0(д) при и базе В (читается «,~ есть 0 большое от д при базе В») будет означать, что финально при базе В выполнено соотношение 1(х) = >3(х)д(х), где,8(х)— финально ограниченная при базе В функция.
В частности, запись 1 = 0(1) означает, что функция ~ финально ограничена при базе В и р и и е р 33. ( — + в1п х) х = 0(ж) при ж -1 со. /1 1.х Определение 24. Говорят, что функции 1 и д одного порядка при базе В, если одновременно 1 = 0(д) и д = 0(1). в в Пример 34. Функции (2+ а1пх)х и х одного порядка при х + оо, но (1+ яп х) х и х не являются функциями одного порядка при х -+ оо. Условие,что функции 1 и д одного порядка при базе В, очевидно, равносильно тому, что найдутся числа с1 > О, с2 > О и злемент В базы В такие, что на В имеют место соотношения с1~д(х)~ < 1/(х) ~ < с2~д(х) ~ или, что то же самое, — 1У(х)! < !д(х) ! < — !У(х)!.
1 1 с~ С1 $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение 25. Если между функциями ~ и д финально при базе В выполнено соотношение Дх) = у(х)д(х), где 11ш у(х) = 1, то говорят, что при В баэе 8 фрнкция 1" асимптотически ведет себя как функция д или, короче, что ~ эквивалентна д при баэе Н. Будем в этом случае писать ~ д или ~ д при базе 8, В Употребление термина «эквивалентна» оправдано тем, что (~ В ~)' (У-д) =~(д-У) (У - д) л (д - ь) ~ (У - ь).
Действительно, соотношение ~ ~ очевидно, в этом случае у(х) ь 1. Далее, если 1пп у(х) = 1, то 1пп — = 1 и д(х) = — Дх). Здесь надо только 1 1 В В У(х) у(х) объяснить, почему можно считать, что у(х) ф О. Если соотношение ~(х) = 1 = у(х) д(х) имеет место на элементе В1 Е Н, а соотношение — < ~ у(х)/ < —— 3 2 на элементе В2 е 8, то мы можем взять элемент В с В~ й В2, на котором будет выполнено и то и другое.
Всюду вне В, если угодно, можно вообще считать, что у(х) = 1. Таким образом, действительно (~ д) ~ (д 1'). Наконец, если Дх) = у1(х)д(х) на В1 е В и д(х) = .~2(х) й(х) на В2 е 8, то на элементе В Е В базы В таком, что В С В1 П В2, оба эти соотношения выполнены одновременно, поэтому ~(х) = .у1(х).у2(х) Ь(х) на В. Но 1пп у1(х) у2(х) = 1пп у1(х) . 11ш.у2(х) = 1 и тем самым проверено, что ~ й. В В В В Полезно заметить, что поскольку соотношение 1пп у(х) = 1 равносильно В тому, что.у(х) = 1+а(х), где 1пп с«(х) = О, то соотношение ~ д равносильно В В тому, что ~(х) = д(х) +а(х)д(х) = д(х)+ о(д(х)) при базе В.
~(х) — д(х) Мы видим, что относительнве погрешность )о(ид = ~ ~ при«вид(х) жения функции с помощью функции д(х), эквивалентной ~(х) при базе В, есть величина бесконечно малая при базе В. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 35. х +х = ~1+ — ~х2 ° х2 при х -+ оо. 2 д 1~ 2 хд Абсолютная величина разности этих функций ~(х +х) — х ~ = ~х~ стремится к бесконечности, однако относительная погрешность — = — за1х! х2 1х! мены функции х + х на эквивалентную величину х стремится к нулю при х -+ 00.
140 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Пример 36. В начале этого пункта мы говорили о знаменитом асимптотическом законе распределения простых чисел. Теперь мы в состоянии записать его точную формулировку: Х /Х 1 тг(х) = — + о1 — 1 при х -+ оо. 1пх ~1пх! Пример 37.
Поскольку 1пп — = 1, то в1пх х при х -+ О, что можно вшх х-+О Х написать также в виде равенства в1п х = х + о(х) при х -+ О. Прим ер 38. Покажем, что 1п(1+ х) х при х -+ О. 1пп 1п(1+ х) = Бт 1п(1 + х)е~ = 1и ( Пт О + х)'~ ) = )и е = 1. х-+О Х х+О х-+О Мы воспользовались в первом равенстве тем, что 1оя (Ь'") = а 1оя Ь, а во втором тем, что 1пп 1оя Ф = 1оя Ь = 1оя 1 11п1 г1.
~ 1-+Ь ' ' ~1-+Ь ~ Итак, 1п(1+х) = х+о(х) при х-+О. Пример 39. Покажем, что е* = 1+х+о(х) при х -+О. ех — 1 . $ 1пп = 1пп = 1. х-+О Х 1-+О 1П(1+ Ф) Мы сделали замену х = 1п(1 + Ф), е* — 1 = Ф и воспользовались тем, что ех -+ ео = 1 при х -+ О, причем ех ф 1 при х ф О.
Таким образом, на основании теоремы о пределе композиции и результата предыдущего примера утверждение доказано. в Итак, е* — 1 х при х -+ О. Пример 40. Покажем, что (1+х)" = 1+ах+о(х) при х-+ О. (1 + х)х 1 е'х 1п(1+х) 1 а 1п(1 + х) ч 11п1 = 1пп *-+о х х-+о а 1п(1 + х) х е1 — 1 .
1п(1+ х) = а 1пп — 11п1 в+о Ф х+о х В этой выкладке мы, предполагая а ф О, сделали замену а 1п(1 + х) = 8 и воспользовались результатами двух предыдущих примеров. Если же а = О, то утверждение очевидно. ~ Таким образом, (1+ х)х — 1 ах при х -+ О. При вычислении пределов иногда бывает полезно следующее простое Утверждение 3. Если ~ Г", тпо 1пп 1".(х) д(х) = 1пп Дх) д(х), если один и и и иэ этпих пределов суиьестпвуетп. 141 1 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ~ Действительно, коль скоро )".(х) = у(х) Д(х) и 1ип у(х) = 1, то Ю 1ип Дх) д(х) = 1ип у(х) Дх) д(х) = 1ип у(х) 1ип у (х) д(х) = 11ш,у (х) д(х).
Пример 41. 1псовх 1 . 1псо82х 1 . 1п(1 — яп2х) 1ип . = — 1ип = — 1ип х-+О З1ПХ2 2 х — «О Х2 2 х-+О Х2 1. — япх 1. х2 1 = — 1ип = -- 1ип — = --. 2 х-+о х2 2 х-+о х2 2 Мы воспользовались тем, что 1п(1+а) а при а -+ О, япх х при х + О, 1 1 2 2 81в Р,в — — при,в-+О ияп х х прих-+О. Мы доказали, что в одночленах при вычислении пределов можно заменять функции на им эквивалентные при данной базе. Не следует распространять это правило на суммы и разности функций. Пример 42. !!хе+х х прп х-е+еп, по !!т (!/Р+и — х) р' !!т (х — х) =О.
х-++со х -«+оо В самом деле, !!т (1/х~ «х — х) = !!т х 1ип 1 1 х-++оо мхе+х+х е !« Е! 2' х Отметим еще следующие широко используемые в анализе правила обращения с символами о( ), О( ). Утверждение 4. При данной базе: а) о(у) + о(у) = о(~); Ь) о(у) естпь также 0(~); с) о(~) + О(у) = 0(у); й) 0(,у) + 0(у) = 0(У); ) о(~(х» (Ж) 1 О(~(х)), (Ж) ~ д(х) ~,д(х) ! д(х) ~ д(х) ! Обратите внимание на особенности действий с символами о( ), О( ), вытекающие из смысла этих символов.
Например, 2о()".) = о(у), или о()") + 0(у) = = 0(У) (хотя, вообще говоря, о(~) ф 0), или о(~) = 0(~), но 0(.у) ф о(У). Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «есть». Сами символы о(.), 0( ) обозначают не столько функцию, сколько указание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати, обладают сразу многие функции, например, и у, и 2у, и т. п. 142 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 1пп (~/Р+л — л) = Мт х( 1+ — — 1) = 1 х-++оо х-++со х 1пп х 1+ —.— +о — — 1 = 1пп — +х.о Г1 1пп ~ — + о(1)) = —. х-++со ~,2 ) 2 Несколько позже мы докажем следующие важные соотношения, которые уже сейчас стоит запомнить как таблицу умножения: ех=1+ — х+ — х +...+ — х" +..
2 1 тт 1! 2! ть! при х Е Й, созх=1-:. х + — х +...+ — х +.. 2 1 4 ( 1) 2Й " 2! 4! (2Й).' при х Е К, з (-и" з1пх= — х — — х +...+ ' ' х + +.. 1! 3! (2Й + 1)! при х Е Й, 1) тт-1 (1+ ) 2+ 3+ + ( ) тт 2 3 и при !х~ < 1, (1+х) = 1+ — х+ ) х'+... 1! 2! а(а — 1)... (а — и+ 1) ...+ х" + .. тт.1 при !х~ < 1. ° а) После сделанного уточнения утверждение а) перестает выглядеть неожиданным. Первый символ о(1) в нем означает некоторую функцию вида а1(х) 1 (х), где 1шъ а1 (х) = О.
Второй символ о(!'), который можно (или нужно) и было бы снабдить пометкой, отличающей его от первого, означает некоторую функцию вида аз(х)~(х), где 1ппаз(х) = О. Тогда ад(хЩх) + аз(х)~(х) = 8 = (а1 (х) + а2(х)) 1 (х) = аз(х) У(х), где 11ш аз(х) = О. Ь) Следует из того, что всякая функция, имеющая предел, является финально ограниченной. с) Следует из Ь) и Й). О) Следует из того, что сумма финально ограниченных функций финально ограничена. о(Дх)) а(хЩх) ~(х) (~'(х) ~! д(х) д(х) д(х) ~,д(х) / Аналогично проверяется и вторая часть утверждения е).
~ Пользуясь этими правилами и эквивалентностями, полученными в примере 40, теперь можно следующим прямым методом искать предел из примера 42: $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Эти.соотношения, с одной стороны, уже могут служить вычислительными формулами, а с другой стороны, как будет видно, содержат в себе следующие асимптотические формулы, обобщающие формулы, полученные в примерах 37 — 40: ех = 1+ — х + — х2 -1-... -1- — хп -4- О(хп+1) 2 1 п при х-+О, 2 1- 4 2х созх=1 — — х + — х +...+ ' ' х~~+0(х~~~~) при х-+О, 2! 41 (2Й).' з (-ц" а1пх = — х — — хз+...+ ' х2"+'+0(х~~+ ) при х-+О, 1! 3! (2Й + 1)! ( 1) и-1 1п(1+х) =х — — х2+ — хз+....+ ( ) хп+О(хп+') при х-4 О, 2 3 ' п ы ( —,+о(*')) =-, з Пример 44.
1пп х ~ — — сов — ~ =? 7 х +х 1 х+„, ~ 1.! хз х,~ Имеем при х -+ оо: 1+ 1 — — +~ — + + 1+ +~ 1+ . +~ соя — = 1 — —. — +0~ — ~, х 2! х2 ~х4 ~' (+ )-= +-*+ '-'»+... 1! 2! ...+ )'' хп+0(хп+') при х-+О. и! Эти формулы обычно являются наиболее эффективным средством при отыскании пределов элементарных функций. При этом полезно иметь в виду, что 0(х +1) = х +1 0(1) = х™ х 0(1) = х™ о(1) = о(х™) при х -+ О. Рассмотрим в заключение несколько примеров, показывающих эти формулы в работе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
