В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 27
Текст из файла (страница 27)
с Дх) д) ' д(х) ' Теорема 2. Пусть ~: Е -+ К и д: Е -+ К вЂ” две функции с общей областья определения. Если 1пп,1(х) = А, 1пп д(х) = В, то: ЕЭх-+а ЕЭх-+а а) 1ш1 (У+ д)(х) = А+ В; ЕЭх-»а Ь) 1пп (~ д)(х) = А. В; ЕЭх-+а с) 1пп ~-)(х) = —, если В ф 0 и д(х) ~О ври х Е Е. /~~ А ЕЭх-+а ~ д) В ' Эта теорема, как уже отмечалось в начале пункта 2, непосредственно вытекает иэ соответствующей теоремы о пределах последовательностей, если учесть утверждение, доказанное в пункте 1. Теорему можно получить также, повторив доказательство теоремы об арифметических свойствах предела последовательности. Все изменения в доказательстве, которые при этом придется провести, сведутся к тому, что всюду, где раньше мы выбирали «Ж Е М, начиная с которого...
», нужно будет о выбирать некоторую проколотую окрестность Уе(а) точки а в множестве Е. Советуем читателю проверить это. Здесь же мы получим эту теорему из ее простейшего частного случая, когда А = В = 0 (утверждение с) при этом, разумеется, не рассматривается). Функцию ~: Е + К принято называть бесконечно малой при Е Э х -+ а, если 1пп ~(х) = О. ЕЭх-+а Утв е р ж де н не 2. а) Если а: Е -+ К и 8: Е -+ К вЂ” бесконечно малые функции при Е Э х -+ а, то их сумма а +,8: Е -» К вЂ” также бесконечно малая функция при Е Э х — » а. Ь) Если а: Е -+ К и,8: Е -+ К вЂ” бесконечно малые функции при Е Э х -~ -+ а, то их произведение а,8: Е -+ К вЂ” также бесконечно малая функция при Е Э х -+ а. с) Если а: Е -+ К вЂ” бесконечно малая функция при Е Э х -+ а, а,8: Е -+ -+ К вЂ” финально оераниченная функция при Е Э х -+ а, то произведение с« ° 13: Е -+ К есть бесконечно малая функция нри Е Э х + а.
~ а) Проверим, что 1пп а(х) = 0 Л 1пп 8(х) = 0 ~ 1пп (с«+,8)(х) = 0 . пг ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ Пусть задано число е > О. По определению предела имеем 1пп а(х) = О =~ Щ(а) )()(х (= 11е(а) ~а(х)~ <— 1пп,8(х) = О =~ ЗЩа) Чх (с У~~(а) ф(х)~ <— о о о Тогда для проколотой окрестности Уе(а) с (,(е(а) ( ( Уе(а) получаем Ъх Е Бе(а) ~(а+ ~У)(х)~ = ~а(х)+)У(х)~ < ~а(х)~+ ф(х)~ < е, т.
е, проверено, что 1пп (о+,8)(х) = О. ЕЭх-+а Ь) Это утверждение есть частный случай утверждения с), поскольку всякая функция, имеющая предел, финально ограничена. с) Проверим, что с Вт а(ж) =О) и (Вмев ВГо(а) юх о Го(а) ((о(х) ( м)) о ЕЭх-+а =. "( 1пп а(х),8(х) = О ~,ЕЭх — ьа Пусть задано е > О. По определению предела имеем 1пп а(х) = О =~ Зла) Чх Е Уе(а) ~а(х)~ <— Тогда для проколотой окрестности Уе(а) С Уе~(а) ("'( Уе(а) получаем Чх е Йтеп(а) ~(а,8)(х) ~ = ~а(х) )8(х)~ = ~а(х)!,8(х)~ < — . М = е.
Тем самым проверено, что 1пп а(х),8(х) = О. 1» Еах — ~а Теперь сделаем следующее полезное Замечание. Иными словами, функция 7: Е -+ К стремится к А тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы А + а(х), где а(х)— бесконечно малая при Е Э х -+ а функция (уклонение ~(х) от А).1) 1) Любопытная деталь: зто почти очевидное, но очень полезное в вычислительном плане и важное в идейном отношении представление особо отмечалось французским математиком и механиком Лазаром Карно (1753 — 1823), революционным генералом и академиком, отцом родоначальника термодинамики Сади Карно (1796 — 1832).
~ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Это непосредственно следует из определения предела, в силу которого 11ш ~(х) = А с=~ 1пп (~(х) — А) = О. Еэх-~а Еэх-+а Приведем теперь доказательство теоремы об арифметических свойствах предела функции, основанное на этом замечании и установленных свойствах бесконечно малых функций. ~ а) Если 1пп Дх) = А и 1пп д(х) = В, то ~(х) = А + а(х) и д(х) = Еэх — ~а Еэх-~а = В+,8(х), где а(х) и,д(х) — бесконечно малые при Е Э х — + а. Тогда (~ + д)(х) = Дх) + д(х) = А+ а(х) + В+ ф(х) = (А+ В) + ~(х), где у(х) = = а(х) +,9(х), как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая функция при Е Э х-+ а. Таким образом, 1пп (~+д)(х) = А+В. .ЕЭх-+а Ь) Вновь представив 1'(х) и д(х) в виде Дх) = А + а(х) и д(х) = В +,8(х), имеем (У д)(х) = ~(х) д(х) = (А+ а(х))(В + ф(х)) = А В+ у(х), где у(х) = Афх) + Ва(х) + а(х)~3(х) по свойствам бесконечно малых есть бесконечно малая функция при Е Э х -+ а.
Таким образом, 1пп (~ д)(х) = А В. ЕЭх-+а с) Вновь запишем, что Дх) = А+а(х) и д(х) = В+,9(х), где 11ш а(х) = Еэх-~а = О, 1пп ,8(х) = О. ЕЭх-ьа Поскольку В у~ О, существует проколотая окрестность Уе(а), в любой точке которой ф(х)$ ( —, и потому $д(х)$ = $В+ ф(х)$ > $В$ — ф(х)$ ) —. $В$ $В$ о 1 2 1 Тогда в Уе(а) будем иметь также $д(х) $ $В$ ' ( —, т. е. функция — финально д(*) ограничена при Е Э х -+ а. Теперь запишем с Я А ~(х) А А+ а(х) А д/ В д(х) В В + ~9(х) В 1 1 д(х)  — — (В а(х) + А ~3(х) ) = у(х).
По свойствам бесконечно малых (с учетом доказанной финальной ограничен- 1 ности — ) функция 'у(х) есть бесконечно малая при Е Э х -+ а. Таким д(*) образом, доказано, что 11ш ~ — )(х) = —. 1ь /~1 Еэх-+а д В с. Предельный переход н неравенства Теорема 3. а) Если функции ~: Е -+ К и д: Е -+ К таковы, что 1пп ~(х) = А, 1пп д(х) = В и А < В, то найдетсл проколотая окрестЕЭх — ~а ЕЭх-+а ность Бе(а) точки а в множестве Е, в любой точке которой выполнено неравенство ~(х) < д(х). ГЛ, И1. ПРЕДЕЛ Ь) Если между функциями 1о: Е -+ К, д: Е -+ К и Ь: Е -+ К на множестве Е имеет местпо соотнотаение Дх) < д(х) < Ь(х) и если 1пп Дх) = ЕЭх — +а 1пп Ь(х) = С, то существует также предел д(х) при Е Э х -+ а, причем ЕЭх-+а 1пп д(х) = С.
ЕЭх — ~а М а) Возьмем число С такое, что А < С < В. По определению преде- о о ла найдем проколотые окрестности Уе(а) и Уе(а) точки а в множестве Е о о так, чтобы при х Е Уе(а) иметь ~Дх) — А~ < С вЂ” А и при х Е У~!(а) иметь о ~д(х) — В1 <  — С. Тогда в любой проколотой окрестности Уе(а), содержа- о о щЕйСя В С1Е'(а) П С1Ео(а), ПОЛУЧИМ Дх) < А+ (С вЂ” А) = С =  — ( — С) < д(х).
Ь) Если 1пп Дх) = 1пп Ь(х) = С, то по любому фиксированному е > 0 ЕЭх-+а ЕЭх-ьа НайДУтСЯ таКИЕ ПРОКОЛОТЫЕ ОКРЕСтНОСтИ СтЕ(а) И УЕо(а) ТОЧКИ а В МНОжЕСтВЕ о о Е, что при х Е Уе(а) имеем С вЂ” е < Дх) и при х Е Уе(а) имеем Ь(х) < С+ е. о о о Тогда в любой проколотой окрестности сне(а), содержащейся в Уе(а) й Уе(а), будем иметь С вЂ” е < Дх) < д(х) < Ь(х) < С+ е, т. е. ~д(х) — С! < е, и, следовательно, 1пп д(х) = С. ~ ЕЭх-+а Следствие. Пусть 11п1 Дх) = А и 1пп д(х) = В. Если в некоторой ЕЭх-+а ЕЭх-+а о проколотой окрестности Бе(а) точки а: а) выпо,янено ~(х) > д(х), то А > В; Ь) выполнено Дх) > д(х), то А > В; с) выполнено ~(х) > В, то А > В; с1) выполнено 1"(х) > В, то А > В.
4 Рассуждая от противного, из утверждения а) теоремы 3 немедленно получаем утверждения а), Ь) доказываемого следствия. Утверждения с), й) получаются из первых двух при д(х) = — В. в с$. Два важных примера. Прежде чем переходить к дальнейшему изложению теории предела функции, продемонстрируем на двух важных примерах использование уже доказанных теорем.
Пример 9. Здесь мы будем апеллировать к школьному определению е1пх как ординаты точки, в которую переходит точка (1, 0) при повороте (с центром в начале координат) на угол х (радиан), Полнота такого определения всецело зависит 115 з 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ от того, насколько тщательно установлена связь между поворотами и действительными числами. Поскольку сама система действительных чисел в школе не была описана достаточно подробно, надо считать, что нам необходимо уточнить определение зш х (то же самое относится и к функции соз х).
(созх, з|пх) В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность. а) Покажем, что А = (1, 0) соз х < — (1 при 0( ~х~ < —. з1пх 7г х 2 Рис. 8 Б гооп = — ~ОС! ~СП~ = — (созх)(хсозх) = -хсоз~ х < 1 2 2 2 < Баолв = — ~ОА~ ~ВС~ = — 1 з1пх = — з1пх < 1 1 . 1 2 2 2 <~голв = — ~ОА~ ~АВ~ = — 1 х = — х. 2 2 2 Разделив зти неравенства на — х, получаем то, что и утверждалось. ~ 1 Ь) Из а) следует, что ~з1пх~ < ~х~ при любом х Е К, причем равенство имеет место только для х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
