В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ПРЕДЕЛ 128 Определение 14. Функция ~: Х -+ й называется ограначенной при базе В или фыкалько огракачеккой при базе В, если существуют число с Е й и такой элемент В Е В базы, в любой точке х Е В которого ~~(х) ~ с с. Определение 15. Функция ~: Х -+ К называется бесконечно малой при базе В, если 1пп ~(х) = О. в После этих определений и основного наблюдения о том, что для доказательства теорем о пределах нужны только свойства В1) и Вз) базы, можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2, справедливы для пределов по любой базе.
В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при х -+ оо, или при х — ~ — оо, или при х -+ +ос. Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории пределов и в том случае, когда функции будут определены не на числовых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К примеру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом предельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например для окружности. В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.
Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде. 4. Вопросы существования предела функции а. Критерий Коши. Прежде чем формулировать критерий Коши, дадим следующее полезное Определение 16. Колебанием функции ~: Х -+ й на множестве Е С Х называется величина ы® Е):= зир ~~(х1) — 1 (х~) [, хь,ххЕЕ т.
е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах .очек х1,х2 6 Е. Примеры. 11) ~(хх; [-1,21) = 4. 12) ы(х; [ — 1, 2~) = 3. 13) ~(х;~ — 1,2[) = 3. 129 $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 14) ы(вдп х; [ — 1, 2]) = 2. 15) м(арах; [0,2]) = 1. 16) м(в~пх;]0,2]) = О. Т е о р е м а 4 (критерий Коши существования предела функции). Пусть Х вЂ” множество и  — база в Х. Фрнкиил ~: Х -+ Й имеетп иредел ио базе В в том и тполько в том случае, когда длл любого числа е > 0 нат1детсл злементп В Е В базы, на котором колебание функции меньше е.
Итак, 3 1пп ~(х) с=~ Че > 0 ЗВ е В (м(~; В) < е). Необходимость. Если 1пп Дх) = А, то для любого е > О найдется 0 элемент В базы В, в любой точке х которого ~ /(х) — А~ < е/3. Но тогда для любых х1, х2 из В ~~(х1) — Дх2)~ < ~Дх1) — А~ + !У(х2) — А~ < -е и, значит, ы®В) < е. Достаточность. Докажем теперь основную часть критерия, утверждающую, что если для любого е > 0 найдется элемент В базы В, на котором м(~; В) < е, то функция ~ имеет предел по базе В.
1 1 Придавая е последовательно значения 1, —, ..., —, ..., получим последовательность В1, В2, ..., В„, ... элементов базы таких, что ы® В ) < 1/и, и е Я. Поскольку В„ф И, в каждом В„можно взять по точке х„. Последовательность ~(х1), Дх2), ..., /(х„), ... фундаментальная. Действительно, В„П В ф ю, и, взяв вспомогательную точку х е В„П В, получим, что ~~(х„) — ~(х )~ < ~Дх„) — ~(х)~+ ~~(х) — ~(х )~ < 1/и+1/т. По доказанному для последовательностей критерию Коши, последовательность (~(х„), и е Щ имеет некоторый предел А. Из установленного выше неравенства при т -+ оо следует, что ~~(х„) — А~ < 1/и, а отсюда, учитывая, что ыЦ;В„) < 1/и, заключаем теперь, что если и > Ж = [2/е] + 1, то в любой точке х Е В„будет ~У(х) — А~ < е.
в Замечание. Проведенное доказательство, как мы увидим позже, остается в силе для функций со значениями в любом так называемом иолном пространстве У. Если же У = К, а этот случай нас сейчас в первую очередь и интересует, то при желании можно пользоваться той же идеей, что и в доказательстве достаточности критерия Коши для последовательностей. ~ Полагая ттт = 1пГ ~(х), Мв = впр ~(х) и замечая, что для любых эле- хеВ хоп ментов В1, В2 базы В выполнено тп, < тп,т1в, < Мп,т1п, < Мв„по аксиоме полноты найдем число А Е К, разделяющее числовые множества [тн) и ГЛ.
111. ПРЕДЕЛ (Мв), где В Е В. Поскольку ог(~; В) = Мв — тп, то теперь можно заключить, что как только ы(~; В) ( е, так ~~(х) — А~ ( е в любой точке х Е В. ° При мер 17. Покажем, что в случае, когда Х = И и В есть база и -+ оо, и Е Ы, доказанный общий критерий Коши существования предела функции совпадает с рассмотренным ранее критерием Коши существования предела последовательности. Действительно, элементом базы и — ~ оо, и Е И является множество В = = М й У(оо) = (и Е Я ~ и ) Ф) тех натуральных чисел и Е М, которые больше некоторого числа Ф Е К. Без ограничения общности можно считать, что Ф б М.
Соотношение м® В) ( е в нашем случае означает, что Чп1, п2 > М имеем ~~(п1) — ~(пз)~ < е. Таким образом, условие, что для любого е ) 0 найдется элемент В е В базы, на котором колебание ы® В) функции ~ меньше ео для функции ~: М -+ -+ К равносильно условию фундаментальности последовательности 11(п)). Ь. Предел композиции функций Теорема 5 (о пределе композиции функций). Пусть У вЂ” множество; Ву — база в У; д: У -+ К вЂ” отпображение, имеющее предел по базе Ву. Пустпь Х вЂ” множестпво, Вх — база в Х и ~: Х + У вЂ” тпакое отпображение Х в У, что для любого элемента Ву Е Ву базы Ву найдетпся элемент Вх Е Вх базы Вх, образ котпорого,1(Вх) содержится в Ву. При этпих условиях хомпозииия д о ~: Х -+ К отображений 1' и д определена, имеет предел по базе Вх и 1пп (д о,1)(х) = 1нпд(р). вх в ~ Композиция д о ~: Х -+ К определена, поскольку ~(Х) с У.
Пусть 11п1д(р) = А. Покажем, что 1пп (до~)(х) = А. По заданной окрестнов вх сти $'(А) точки А найдем элемент Ву б Ву базы Ву такой, что д(Ву) С У'(А). По условию найдется элемент Вх Е Вх базы Вх такой, что 1 (Вх) С Ву. Но тогда (д о~)(Вх) = дЩВх)) С д(Ву) С Ъ"(А) и мы, таким образом, проверили, что А является пределом функции (д о ~): Х -+ К по базе Вх. ~ П р и м е р 18. 1пп — =? а1п 7х ~-+о 7х Если положить д(у) = — ", а 1(х) = 7х, то (д о,т)(х) = . В нашем Р 7х случае У = К ~ О, Х = К.
Поскольку 1пп д(р) = 1пп — ~ = 1, то для применен-~о 1т-+о у ния теоремы надо проверить, что, какой бы элемент базы р -+ 0 мы ни взяли, найдется элемент базы х -+ О, образ которого при отображении ~(х) = 7х содержится в указанном элементе базы д -+ О. Элементами базы у -+ 0 являются о проколотые окрестности Уу(0) точки 0 Е К. Элементами базы х -+ 0 также являются проколотые окрестности Ух(0) о точки 0 б К. Пусть Уу(0) = (р 1= К ~ а < р < ~У, д ф 0) (где а,,д Е К, причем $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ а ( О, )э > 0) — произвольная проколотая окрестность нуля в У. Если взять о (:д Р с(л (0) = 1х Е К ~ — < х с —, х ф 0 1, то эта проколотая окрестность нуля в Х 7 7' о о о уже обладает тем свойством, что ДУх)(0) = У~ (0) С Г~ (0).
Условия теоремы выполнены, и теперь можно утверждать, что 1пп зш7х . з1пд = 1пп — = 1. х-до 7х я ~о д Пример 19. Функция д(д) = ~зръд~, как мы уже видели (см. пример 3), имеет предел 1пп ~за д~ = 1. я — ро Функция д = Дх) = хз1п —, определенная при х ф О, также имеет предел 1 х 1пп х зш — = 0 (см. пример 1). 1 *-+о х 11 Однане функпив (д у)(х) = ~вдп(хв!п -) ~ при х -в О не и еет предана.
Действительно, в любой проколотой окрестности точки х = О имеются ну- 1 1 / . 11! ли функции зш —, поэтому функция ~ зяп р з1п — ~ ~ в любой такой окрестности х' принимает и значение 1, и значение 0 и по критерию Коши не может иметь предел при х -+ О. Не противоречит ли это доказанной теореме? Проверьте, как мы сделали это в предыдущем примере, выполнены ли здесь условия теоремы.
Пример 20. Покажем, что ° я Пусть У = И, Ву — база и -+ оо, и Е И; Х = цд+ = (х Е К ~ х > О), Вл — база х -+ +ос; ~: Х вЂ” ~ У есть отображение х) — ) 1х1, У где 1х] — целая часть числа х (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее числа х). Тогда для любого элемента Ву = 1и Е И~ и > Х) базы и -+ оо, и Е И, очевидно, найдется элемент ВА = 1х Е К~ х > Ж + 1) базы х -+ +со, образ которого при отображении х -+ [х1 содержится в Ву. Функции д(п) = (1-р — ), дв(п) = (1 р ), дв(п) = (1 д- — ),а как нам уже известно, имеют своим пределом по базе и -+ оо, и Е И число е. 132 ГЛ. П1.
ПРЕДЕЛ По теореме о пределе композиции функций можно утверждать, что тогда функции 1х1 1х1 (д о ~)(х) = 1+ —, (у1 о ~)(х) = 1+ ~х1+1 Ь~'~)(х) = ~1+— 1х1 также имеют своим пределом по базе х -+ +ос число е. Теперь остается заметить, что при х > 1 1+ ( 1+ — < 1+— и так как при х -+ +оо крайние члены стремятся к е, то по свойствам предела 1,г (теорема 3) получаем 1пп ~1 + — ) = е. х-++оо ~ Используя теорему о пределе композиции функций, покажем теперь, что 1нп 1+ — = е.
Запишем 1пп 1+ — = 1нп 1+ — 1нп 1+— 1пп 1+ = 1пп 1+ — = е, Написанные равенства с учетом произведенных замен и = Ф вЂ” 1 и $ = — х обосновываются с конца (.') на основе теоремы о пределе композиции функций. Действительно, только тогда, когда мы пришли к пределу 1пп ( 1+ Ц х-++оо ~ и/ существование которого уже доказано, теорема позволяет утверждать, что предыдущий предел тоже существует и равен этому. Тогда и стоящий перед ним предел существует, и конечным числом таких переходов придем к исходному пределу. Это довольно типичный пример процедуры использования теоремы о пределе сложной функции при вычислении пределов. Итак, мы имеем 1пп 1+ — = е 1нп 1+— 1 1~х Отсюда следует, что 1пп ~1+ — ~ = е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
