В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 31
Текст из файла (страница 31)
х-~со Ъ Х Действительно, пусть задано число я > О. 1 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1ьх Поскольку 1нп (1+ — ) = е, найдется число с1 6 Й такое, что при х < с1 х-+-оо ~ х будет 1+ — — е <е. х Поскольку 1нп (1+ — ~ = е, найдется число со б Ж такое, что при сг < х х-++оо 1 х будет 1+ — — е < е. 1 1х Тогда при )е! ь о = тах1)о1~,)ое)1 будем иметь )(1 е -) — е) < е.
Тем х) 1 '~х самым проверено, что 1пп 1+ — ) = е. ° Пример 21. 1пп (1+ $) = е. ~ После замены х = 1/Ф возвращаемся к пределу, рассмотренному в предыдущем примере. ° Пример 22 1нп — =О, если д>1. х-++сю д* ° Мы знаем (см. ~ 1, пример Щ, что 1пп — „= О, если д > 1. тВ-+Со яо т Теперь, как и в примере 3, можно рассмотреть вспомогательное отображение /: Ж+ -+ [Ч, осуществляемое функцией [х] (целая часть х).
Воспользовавшись неравенствами 1 [х) х [х1 + 1 — — « — 'Ч ~[х] 1х 1[х)+1 и учитывая, что по теореме о пределе сложной функции крайние члены стремятся к нулю при х -+ +ос, заключаем, что 1пп — = О. ~ х х-++оо ях Пример 23 1од х 1ип — = О. х-++оо Х ~ Пусть а > 1. Полагаем 8 = 1оя х, находим х = а'. По свойствам показательной и логарифмической функций (учитывая неограниченность а", п б И) имеем (х -+ +ос) «=~ (Ф -+ +со). Используя теорему о пределе сложной функции и результат примера 4, получаем 1од х 1пп — ' = 11п1 —, = О.
х — ++сю х Ф-++оо а' Если О < а < 1, то положим — Ф = 1оя, х, х = а '. Тогда (х =+ +со) «=~ «=~ (1 -+ +со), и так как 1/а > 1, то снова 1од, х 1пп ' = 1пп —, = — 1пп, = О. ° *- +оо Х 1-++ а ' Ф-++" (1/а) 134 ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ с. Предел монотонной функции. Рассмотрим теперь один частный, но весьма полезный класс числовых функций — монотонные функции. Определение 17. Функция ~: Е -+ К, определенная на числовом множестве Е С К, называется возрастающей на Е, если ЧХ1, хр Е Е (х1 < хз =.
~(х1) < ДХ2)); неубывающей на Е, если Чх1, х2 е .Е (х1 < хз ~ ~(х1) ~ (Дхр)); невозрастпающей на Е, если Чх1, хз Е .Е (х1 < х2 х~ ~(х1) ~) ~(х2)); убывающей на Е, если УХ1, х2 Е Е (Х1 < х~ =Ф,1 (х1) ),т (хр)). Функции перечисленных типов называются монотпонными на множестве Е, Предположим, что числа (или символы — оо, +со) т = МЕ и в = впрЕ являются предельными точками множества Е и ~: Š— ~ К вЂ” монотонная функция на Е. Имеет место следующая Теорема 6 (критерий существования предела монотонной функции).
Длл тпого чтпобы неубывающая на множестпве Е фунвцил ~: Е -+ К имела предел при х -+ в, х Е Е, необходимо и достпатпочно, чтпобы она была ограничена сверху, а длл тпого чтпобы она имела предел при х -+ т, х 1= Е, необходимо и достпатпочно, чтобы она была ограничена снизу. ~ Докажем теорему для предела 11ш ~(х). ЯЭх-+х Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая предел, функция ~ оказывается финально ограниченной при базе Е Э х — ) в, Поскольку ~ — неубывающая на Е функция, отсюда следует, что 1' ограничена сверху.
На самом деле можно утверждать даже, что Дх) < 1пп Дх) ЕЭх-+х для любого х 1= .Е. Это будет видно из дальнейшего. Перейдем к доказательству существования предела 1пп 1(х) нри условии ЕЭх — +в ограниченности ~ сверху. Если 1 ограничена сверху, то существует верхняя грань значений, которые функция принимает на множестве Е. Пусть А = впр 1(х); покажем, что хЕЕ 1пп 1(х) = А. По е > О, на основании определения верхней грани множеЕЭх — +х ства, найдем точку хо Е Е, для которой А — е < Дхв) < А. Тогда ввиду неубывания ~ на Е получаем, что при хв < х Е Е будет А — е < ~(х) < А.
Но 12. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ множество (х Е Е ~ хо ( х), очевидно, есть элемент базы х -+ в, х е Е (ибо и = зпрЕ). Таким образом, доказано, что 1пп 1(х) = А. ЕЭ* Для предела 1нп .1 (х) все рассуждения аналогичны. В этом случае имеем ЕЭх-~ь' 1пп Дх) = !ПГ Дх). в ЕЭв-+1 хЕЕ с1. Сравнение асимптотического поведения функций. Этот пункт мы начнем поясняющими тему примерами. Пусть я.(х) — количество простых чисел, не превосходящих данного вещественного числа х Е К. Имея возможность при любом фиксированном х найти (хотя бы перебором) значение л(х), мы тем не менее не в состоянии сразу ответить, например, на вопрос о том, как ведет себя функция л (х) при х -+ +ос или, что то же самое, каков асимптотический закон распределения простых чисел.
От Евклида нам известно, что я'(х) -+ +со при х — ~ +со, но доказать, что и(х) растет примерно как —, удалось только в прошлом веке х !пх' П. Л. Чебышеву1). Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не определена, говорят, что интересуются асимптотикой или асимптотпическим поведением функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.
х и!п х Так, л(х) при х — 1 +ос ведет себя как —; функция — при х -+ О !пх' х ведет себя как постоянная функция, равная 1; говоря о поведении функции х + х + з1п — при х -+ оо, мы, ясно, скажем, что она в основном ведет себя г 1 как функция х, а при х -+ Π— как зш 2 1 х Дадим теперь точные определения некоторых элементарных понятий, относящихся к асимптотическому поведению функций. Этими понятиями мы будем систематически пользоваться уже на первом этапе изучения анализа. Определение 18. Условимся говорить, что некоторое свойство функций или соотношение между функциями выполнено финально при данной 6азе В, если найдется элемент В е В базы, на котором оно имеет место.
Именно в этом смысле мы до сих пор понимали финальное постоянство или финальную ограниченность функции при данной базе. В этом же смысле мы дальше будем говорить, например, о том, что финально выполнено соотношение 1(х) = д(х)Ь(х) между некоторыми функциями ~, д, Ь. Эти функции ~1П. Л. Чебышев (1821 — 1894) — великий русский математик и механик, основатель большой математической школы в России, ГЛ. П1. ПРЕДЕЛ 136 могут даже иметь разные исходные области определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением при базе В, то нам важно только, чтобы все они были определены на некотором элементе базы В. 1 Определение 19.
Говорят, что функция ~ есть бесконечно малая по сравнению с функиией д при базе В и пишут ~ = о(д) или ~ = о(д) при В, 6 если финально при базе В выполнено соотношение ~(х) = а(х) д(х), где а— функция, бесконечно малая при базе В. Пример 24. хг = о(х) при х -+ О, так как хг =х х. Пример 25. х = о(хг) при х — ~ оо, так как финально, когда уже х ~ О, х = .хг.
1 х Из этих примеров надо сделать вывод, что указание базы, при которой ~ = о(д), совершенно необходимо. Обозначение ~ = о(д) читается « ~ есть о малое от д». Из определения следует, в частности, что получающаяся при д(х): — 1 запись 1 = о(1) означает просто, что ~ есть бесконечно малая при базе В. о Определение 20. Если ~ = о(д) и функция д сама есть бесконечно н малая при базе В, то говорят, что ~ есть бесконечно малая более высокоео по сравнению с д порядка при базе В.
П р и м е р 26. х = — при х + оо есть бесконечно малая более высокого г 1 хг 1 порядка по сравнению с бесконечно малои х ' = —. Определение 21. Функцию, стремящуюся к бесконечности при данной базе, называют бесконечно большой функцией''или просто бесконечно большой при данной базе. Определение 22.
Если ~ и д — бесконечно большие при базе В и ~ = а(д), то говорят, что д есть бесконечно большая более высокоео порядка по сравнению с ~. Пример 27. — -+ оо при х -+ О, — -+ оо при х -+ 0 и — = о~ — ~ 1 1 1 /1Ъ х Ф хг 1 при х -+ О, поэтому — есть бесконечно большая более высокого порядка по .г 1 сравнению с — при х -+ О. х Вместе с тем при х -+ оо функция хг есть бесконечно большая более высокого порядка, чем х. Не следует думать, что, выбрав степени х" для описания асимптотического поведения функций, мы сможем каждую бесконечно малую или бесконечно большую характеризовать некоторым числом и — ее степенью. $2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пример 28. Покажем, что при а > 1 и любом п б Е х" 1пп — = О, х — ++со ах т. е.
х" = о(ах) при х -+ +ос. м~ Если и < О, то утверждение очевидно. Если же п б 1Ч, то, полагая д = ~а, имеем д > 1 и — = ~ — ~, поэтому аг ~дг / х" . х1 . х . х 1пп — = 1пп ~ — 1 = 1пп — ... 1пп — = О. х-++оо ах х-++оо ~ух ~ х-++со ~г х-++оо ~х а Рйэ Мы воспользовались, по индукции, теоремой о пределе произведения и результатом примера 22. ~ Таким образом, при любом п б Е получаем х" = о(аг) при х -+ +со, если а>1. Пример 29. Развивая предыдущий пример, покажем, что при а > 1 и любом а Е К хо 1пп — = О, ах т. е. х = о(а ) при х -+ +оо.
~ Действительно, возьмем число и Е И такое, что и > а. Тогда при х > 1 получим х х" О « — —. ах ах' Опираясь на свойства предела и результат предыдущего примера, получаем, что 1пп — = О. 1~ х г-++ос а* При ме р 30. Покажем, что при а > 1 и любом а Е К -1/х 1пп =О, и+эх-+о х'" т. е. а ~~* = а(х~) при х -+ О, х Е К+. ~ Полагая в этом случае х = — 1/Ф, по теореме о пределе сложной функции, используя результат предыдущего примера, находим а-1~х ~о 1ип = 1нп — = О. в и+эх-+о хо Ф вЂ” ++оо а~ Пример 31. Покажем, что при а > 0 1нп = О, х -++оо Х~ ГЛ. 111. ПРЕДЕЛ т.
е. при любом положительном показателе степени а имеем 1од х = о(хо) при х -++со. ч1 Если а > 1, то положим х = а'~", Тогда по свойствам показательной функции и логарифма, опираясь на теорему о пределе композиции функций и результат примера 29, находим 1пп = 1пп 1од х . (8/а) 1 — 1пп — = О. *-++ Х'* 1-++ а' а 1-+~. а' Если О < а < 1, то 1/а > 1 и после замены х = а 1~'" получаем 1од х . ( — 1/а) 1 1пп = 1пп, = — — 1йп =О. ф х-++оо Х~ 1 ++со й О 1-++оо (1/О) П р и м е р 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
