В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 35
Текст из файла (страница 35)
1пп У(х) =: У(а — 0), ЕЭх-~а-О 1пп ~(х) =: У(а+ 0),. 1) 'Если а — точка разрыва, то а — предельнае точка множества Е. Однако может случиться, что все точки множества Е в некоторой окрестности точки а лежат по одну сторону от точки а. В этом случае рассматривается только один из укаэанных в определении пределов. О и р е д е л е н и е 6. Точка а Е Е называется точкой разрыва первого рода для функции ~: Е + К, если существуют пределыц 155 з 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ но по крайней мере один из этих пределов не совпадает со значением ~(а) функции в точке а.
Определение 7. Если а б Š— точка разрыва функции ~: Е -+ Ж и в этой точке не существует по меньшей мере один из пределов, указанных в определении 6, то а называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, имеется в виду, что всякая точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго рода. Приведем еще два классических примера. Пример 11. Функция 1, если хЕЯ, Р(х) = О, если х Е %~Я, называется функцией Дирихяе ~).
Эта функция. разрывна во всех точках, причем, очевидно, все ее точки разрыва — второго рода, так как на любом интервале есть как рациональные, так и иррациональные числа, П р и м е р 12. Рассмотрим функцию Римаиа ~) 1 т ш — если х = — Е Я, где — — несократимая дробь, д() и и и О, если х Е К ~ Я. Заметим, что, каковы бы ни были точка а Е Й и ее ограниченная окрестность У(а) и каково бы ни было число Ф б )Ч, в У(а) имеется только конечное число рациональных чисел ™, т Е Е, п Е )Ч, таких, что и ( М. Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что знаменатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть может, числа а, о если а б Я), уже больше чем И.
Таким образом, в любой точке х Е У(а) (Я.(х)~ < 1/М. Мы показали тем самым, что в любой точке а Е й ~ Я 11т Я,(х) = О. Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точке. В остальных точках, т. е. в точках х Е © функция разрывна, и все эти точки являются точками разрыва первого рода. ~) П. Г.
Л. Дирихле (1805 — 1859) — крупный немецкий математик-аналитик, занявший пост ординарного профессора Геттингенского университета после смерти К. Гаусса (1855). ~) Б. Ф. Риман (1826 — 1866) — выдающийся немецкий математик, фундаментальные работы которого легли в основу целых областей современной геометрии и анализа, 156 ГЛ. 1Ч.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ $2. Свойства непрерывных функпий 1. Локальные свойства. Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения. Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение функции в каком-то предельном отношении, когда аргумент функции стремится к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свойство функции. Укажем основные локальные свойства непрерывных функций. Теорема 1. Пустпь 1': Š— ~ К вЂ” функцил, непрерывнал в точке а 1= Е. Тоеда справедливы следукпцие утпвержденил: 1' Функция 1 ограничена в некоторот1 охрестпностпи Юе(а) точки а. 2' Если ~(а) ф О, шо в нехотороб охрестностпи Уе(а) точки а все эначенил функции положитпельны или отприцатпельны вместпе с т(а).
3' Если функция д: Бе(а) -+ К определена в некоторой охрестпности тпоч- ки а и, как и ~: Е + К, непрерывна в самой точке а, то функции: а) (~ + д) (х):= Дх) + д(х), Ъ) (т'. д)(х):= т(х) д(х), с) ~ — )(х):= — (при условии, что д(х) ф О) КУ~ У(х) ~ д) д(х) определены в некоторот1 окрестпностпи точхи а и непрерывны в точке а. 4' Если функцил д: У -+ К непрерывна в точке Ь Е У, и функция т такова, что 1: Е -+ У, ~(а) = Ь и ~ непрерывна в точке а, то хомпоэицил (до ~) определена на Е и также непрерывна в тпочхе а. М Для доказательства теоремы достаточно вспомнить (см.
~ 1), что непрерывность функции т или д в некоторой точке а области определения равносильна тому, что предел этой функции по базе 8 окрестностей точки а существует и равен значению функции в самой точке а: 1пп~(х) = ~(а), в. 1ппд(х) = д(а). Таким образом, утверждения 1', 2', 3' теоремы 1 непосредственно вытекают из определения непрерывности функции в точке и соответствующих свойств предела функции. В пояснении нуждается только то, что отношение — в самом деле опре,т(х) д(х) делено в некоторой окрестности бе(а) точки а. Но, по условию, д(а) ф 0 и в силу утверждения 2' теоремы найдется окрестность Уе(а), в любой точке У(х) которой д(х) ф О, т. е.
— определено в бе(а). д(х) 1 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 157 Утверждение 4' теоремы 1 является следствием теоремы о пределе композиции, в силу которой 1пп (д о ~)(х) = 1пп д(у) = д(Ь) = д(Да)) = (д о ~)(а), что равносильно непрерывности (д о ~) в точке а.
Однако для применения теоремы о пределе композиции нужно проверить, что для любого элемента Уу(Ь) базы Нь найдется элемент Ое(а) базы 8, такой, что ~Де(а)) с бу(Ь). Но в самом деле, если Уу(Ь) = У й У(Ь), то по определению непрерывности функции ~: Š— ~ У в точке а для окрестности У(д) = У(Яа)) найдется окрестность Ое(а) точки а в множестве Е такая, что ~((Уе(а)) С У®а)). Поскольку ~ действует из Е в У, то ~(Т3е(а)) С У П й У(~(а)) = Уу(Ь) и мы проверили законность применения теоремы о пределе композиции. ~ Пример 1. Алгебраический многочлен Р(х) = авх" +а1х" '+... +а„ является функцией, непрерывной на К. Действительно, из пункта 3' теоремы 1 по индукции следует, что сумма и произведение конечного числа непрерывных в некоторой точке функций есть функция непрерывная в этой точке. Мы проверили в примерах 1 и 2 ~ 1, что постоянная функция и функции Дх) = х непрерывны на К.
Тогда на Ж непрерывны и функции ах™ = а. х... х, а следовательно, и полином Р(х). ш раз П р и м е р 2. Рациональная функция В(х) = — — отношение полино- Р(х) Я(х) мов — непрерывна всюду, где она определена, т. е. где Ц(х) ф О. Это следует из примера 1 и утверждения 3' теоремы 1.
П р и м е р 3. Композиция конечного числа непрерывных функций непрерывна в любой точке области своего определения. Зто по индукции вытекает из утверждения 4' теоремы 1. Например, функция ее'" (~" ~соехО непрерывна всюду на Ж, за исключением точек — (2к+ 1), Й б Ж, где она не определена. 2. Глобальные свойства непрерывных функций. Глобальным свойством функции, описательно говоря, называется свойство, связанное со всей областью определения функции.
Теорема 2 (теорема Больцано — Коши о промежуточном значении). Есяи функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в которой функция обраьцается в нуль. В логической символике эта теорема имеет следующую запись'>: (~ б С[а, д1) Л ®а) . ~(д) < О) =~ Зс Е [а, Ь1 (~(с) = О). 1> Напомним, что символ С(Е) обозначает совокупность всех функций, непрерывных на множестве Е. В случае Е = [а, Ь1 вместо С([а, Ь]) часто пишут сокращенно С[а, Ь[.
158 ГЛ. Ж~. НЕПРЕРЫВНЫЕ Ф'УНКЦИИ ° я Делим отрезок [а, д] пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков. С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком ~а, Ь], т. е.
делим его пополам, и продолжаем процесс дальше. Тогда мы либо на каком-то шаге попадем в точку с Е '1а, д], где Дс) = О, либо получим последовательность (1„) вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и на концах которых ~ принимает значения разных знаков, В последнем случае на основании леммы о вложенных отрезках найдется единственная точка с Е '1а, д], общая для всех этих отрезков. По построению существуют две последовательности (х'„1 и (х'„') концов отрезков 1;, такие, что ,т(х'„) < О, ~(х'„') > О, 1ш1 х'„= 1пп х'„' = с.
По свойствам предела и опреде- ФЪ-ФОО В-~ОО лению непрерывности получаем 1пп т'(х'„) = ~(с) ( О, 1пп ~(х'„') = ~(с) > О. И-+ОО И-ФОО Таким образом, Дс) = О. в Замечания к теореме 2. 1' Доказательство теоремы доставляет простейший алгоритм отыскания корня уравнения ~(х) = 0 на отрезке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных знаков. 2' Теорема 2, таким образом, утверждает, что при непрерывном изменении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным или наоборот, не приняв по дороге значения нуль. 3' К описательным высказываниям типа 2' следует относиться с разумной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается больше, чем высказывается.
Рассмотрим, например, функцию, равную -1 на отрезке 1О, 1] и равную 1 на отрезке 12,3]. Ясно, что эта функция непрерывна на области своего определения, принимает там значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание показывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2, действительно проистекает от некоторого свойства ее области определения (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это множество должно быть связным).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
