В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следствие теоремы 2. Если функция <р непрерывна на интервале и в каких-тпо точках а и д интпервала принимает значения ~р(а) = А и ~р(д) = В, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется тпочха с, лежащая между точками а и д, в которой ~р(с) = С. ° 4 Отрезок 1 с концами а, д лежит в нашем интервале, поэтому функция Дх) = <р(х) — С определена, непрерывна на 1 и, поскольку Да) . Дд) = = (А — С)( — С) ( О, по теореме 2 между а и д найдется точка с, в которой ~(с) = <р(с) — С =О. ~ Теорема 3 (теорема Вейерштрасса о максимальном значении).
Функция, непрерывная ка отпрезхе, ограничена на нем. При этпом на отрезке есть точка, где функция прикимаетп максимальное значение, и есть тпочха, где она принимаеш минимальное значение. $2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 159 ч Пусть ~: Е -+ К вЂ” непрерывная функция на отрезке Е = [а, Ь]. В силу локальных свойств непрерывной функции (см. теорему 1) для любой точки х Е Е найдется окрестность У(х) такая, что на множестве Ун(х) = Е й У(х) функция ограничена. Совокупность таких окрестностей У(х), построенных для всех точек х б Е, образует покрытие отрезка [а, Ь] интервалами, из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему У(х1), ..., У(х„) интервалов, покрывающих в совокупности отрезок [а, Ь]. Поскольку на множестве Ей У(х») = УВ(х») функция ограничена, т.
е. т» < ~(х) < М», где т», М» Е К и х б Ун(х»), то в любой точке х е Е = [а, Ь] имеем ппп(т1,..., т„] < ~(х) = шах (М1, ..., М„), Ограниченность функции на отрезке [а, Ь] установлена. Пусть теперь М = впр~(х). Предположим, что в любой точке х Е Е хЕЕ (~(х) < М). Тогда непрерывная на Е функция М вЂ” Дх) нигде на Е не обращается в нуль, хотя (в силу определения М) может принимать значения, сколь 1 м угодно близкие к нулю. Тогда функция, с однои стороны, в силу локальных свойств непрерывных функций, непрерывна на Е, а с другой — не ограничена на Е, что противоречит уже доказанной ограниченности функции, непрерывной на отрезке. Итак, существует точка хщ е [а, Ь], в которой ~(хм) = М. Аналогичным образом, рассмотрев т = 1пЕ ~(х) и вспомогательную 1 хЕЕ функцию, докажем, что существует точка х,„е [а, Ь], в которой Дх )=т.~ Заметим, что, например, функции ~1(х) = х, Ях) = — непрерывны на 1 интервале Е = (О, 1), но ~1 не имеет на Е ни максимального, ни минимального значений, а функция,5 не ограничена на Е.
Таким образом, выраженные теоремой 3 свойства непрерывной функции также связаны с некоторым свойством области определения, а именно с тем, что из покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие. Такие множества мы впоследствии назовем компактами. Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим Определение 1. Функция ~: Е -+ К называется равномерно мепрерывяой на множестве Е С К, если для любого числа е > О найдется число б > О такое, что для любых точек х1, х2 Е Е таких, что ~х1 — х2~ < б, выполнено !У( ) — У(х2)1<е Короче, ~: Е -+ К равномерно непрерывна:= = Че > О ЭБ > О Чх1 Е Е Чх2 Е Е Ох1 — х2~ < б => ~~(х1) — Дх2)~ < е).
160 ГЛ. 1~. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Обсудим понятие равномерной непрерывности. 1' Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке. Действительно, достаточно в приведенном определении положить х1 — — х и х2 — — а и мы видим, что определение непрерывности функции 1: Е -+ К в точке а Е Е удовлетворено. 2' Непрерывность функции, вообще говоря, не влечет ее равномерную непрерывность. 1 Пример 4. Уже неоднократно встречавшаяся нам функция ~(х) = а1п— х на интервале )О, 1~ = Е непрерывна.
Однако в любой окрестности точки 0 в множестве Е функция принимает как значение — 1, так и значение 1, позтому при е < 2 для нее уже не выполнено условие ~Д(х1) — ~(х~) ~ < я. Полезно в этой связи записать в явном виде отрицание свойства функции быть равномерно непрерывной: ~: Е -+ К не является равномерно непрерывной:= = Зе > 0 Чд > 0 Зх1 Е Е Зх~ Е Е (~х1 — хр~ < б Л ~,К(хд) — ~(хр) ~ > я).
Рассмотренный пример делает наглядным различие между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве. Чтобы указать то место в определении равномерной непрерывности, откуда проистекает это различие, приведем подробную запись того, что значит, что функция ~: Е -+ К непрерывна на множестве Е: ~: Е -+ К непрерывна на Е:= = Уа Е Е Че > 0 Эо > 0 Чх Е Е (~х — а~ < о =~ Щх) — ~(а) ~ < я).
Таким образом, здесь число б выбирается по точке а Е Е и числу я и потому при фиксированном е может меняться от точки к точке, как зто и 1 происходит в случае функции а1п —, рассмотренной в примере 1, или в случае функции 1оя х или а*, рассматриваемых на полной области их определения. В случае же равномерной непрерывности гарантируется возможность выбора о только по числу я > 0 так, что во всех точках а б Е из ~х — а~ < б при х Е Е будет следовать |~(х) — ~(а) ~ < я.
Пример 5. Если функция ~: Е -+ К не ограничена в любой окрестности фиксированной точки хо Е Е, то она не является равномерно непрерывной. и 6 Деиствительно, тогда при любом б > 0 в — окрестности хо найдутся точки х1, х2 Е Е такие, что ~У(х1) — 1 (х~) ~ > 1, хотя ~х1 — х2~ < б. Так обстоит дело с функцией Дх) = —, рассматриваемой на множестве х' К ~ О. В данном случае хо — — О.
Так обстоит дело и с функцией 1оя„х, определенной на множестве положительных чисел и неограниченной в окрестности точки хо = О. $2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Пример 6. Функция Дх) = х2, непрерывная на К, не является равно- мерно непрерывной на К. В самом деле, в точках х'„= 4п+ 1, х„" = ~/и, где и (= М, имеем ~(х'„) = = и+ 1, Дх'„б) = и, поэтому ~(х~) — У(хД = 1. Но 1 11ш (с/и+1 — ~/и) = 1пп =О, Уб-+ ОО ~/й+ 1+ ~л поэтому при любом о > О найдутся точки х'„, х'„' такие, что ~х'„— х'„'~ < б, в то время как ~(х'„) — ~(х'„') = 1. Пример 7.
Функция ~(х) = вшх2, непрерывная и ограниченная на К, не является равномерно непрерывной на К. Действительно, в точках х'„= — (от 1), х'„' = )) — "и, где и Е я, имеем )у(х'„) — у(х„")) = 1, в то время как 1пп ~х'„— х„"~ = О. После этого обсуждения понятия равномерной непрерывности функции и сопоставления непрерывности и равномерной непрерывности мы можем те- перь оценить следующую теорему. Т е о р е м а 4 (теорема Кантора — Гейне о равномерной непрерывности). Функцня, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке. Отметим, что в имеющейся литературе эту теорему обычно называют тео- ремой Кантора. Чтобы избежать разночтений, мы в дальнейшем при ссылках сохраняем это распространенное наименование.
~ Пусть 1.: Е -+ К вЂ” данная функция; Е = [а, Ь) и ~ (= С(Е). Посколь- ку ~ непрерывна в любой точке х (= Е, то (см. ~ 1, и. 1, 6') по е > О можно найти такую о-окрестность б.б'Р(х) точки х, что колебание ( б® У~е(х)) функ- ции 1' на множестве У~в(х) = Е ( ) б.у'Р(х) точек области определения функции, лежащих в бу" (х), окажется меньше е.
Для каждой точки х Е Е построим окрестность (.)~(х), обладающую этим свойством. Величина о при этом мо- жет меняться от точки к точке, поэтому правильнее, хотя и более громоздко, обозначить построенную окрестность символом Ув<*~(х), но, поскольку весь символ определяется точкой х, можно условиться в следующей сокращенной иси. б.у (х) УЦх) (х) и У(х) б.у'д(х)/2(х) Интервалы У(х), х е Е, в совокупности образуют покрытие отрезка Е =' = ~а, Ь~, из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конеч- иое покрытие Р(хс),..., т(х„). Пусть б = тсп(-б(хс),..., -б(х„)).
Пока(1 1 жем, что для любых точек х', х" (= Е таких, что ~х' — х" ~ < о, выполнено ~Дх') — ~(х")~ < е. Действительно, поскольку система интервалов У(х1),... ..., У(х„) покрывает Е, найдется интервал У(хб) этой системы, который со- держит точку х', т. е. ~х' — х;~ < -Б(х,). Но в таком случае ~х" — х;~ < ~х' — х"~ + ~х' — х;~ < о + — д(х,) < — б(х;) + — д(х,) = 6(х;). ГЛ.
1~. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Следовательно, х', х" Е Уе ' (х,) = Е П У~~*'~(х;) и потому ~Дх') — Дх")~ = ( д д(~; У ° ' (х;)) ( е. ~ Приведенные выше примеры показывают, что теорема Кантора существенно опирается на некоторое свойство области определения функции. Из доказательства видно, что, как и в теореме 3, это свойство состоит в том, что из любого покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
