В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Поскольку мы знаем, как по г(й) искать г(й) и далее г(й), то уже сейчас мы в состоянии ответить на вопрос, может ли какая-то пара функций (х(й), у(й)) задавать движение тела т вокруг М. Для этого надо найти х(8), у(1) и проверить, выполнены ли соотношения (8). Система (8) является примером системы так называемых дифференциальных уравнений. Пока что мы можем только проверять, является ли некоторый набор функций решением системы. Как искать решение или, лучше сказать, как исследовать свойства решений дифференциальных уравнений, изучается в специальном и, как уже сейчас можно понять, весьма ответственном отделе анализа — теории дифференциальных уравнений.
задает прямую, которая в силу указанных выше обстоятельств должна быть признана касательной к траектории в точке (х(Фо), у(Фо)). Итак, эталоном для определения скорости движения служит скорость равномерного прямолинейного движения, задаваемого линейным соотношением (7). Эталонное движение (7) подгоняется н исследуемому так, хан этого требует соотношение (5). То значение ч(йо), при котором (5) выполнено, может быть найдено предельным переходом (6) и называется скоростью движения в момент ~д. Рассматриваемые в классической механике движения, описываемые законом (1), должны допускать сравнение с таким эталоном, т.
е. должны допускать линейную аппроксимацию, указанную в (5). Если г(1) = (х(Ф), у(4)) — радиус-вектор движущейся точки т в момент 1, г(1) = (х(1), у(1)) = ч(Ф) — вектор скорости изменения г(~) в момент 1, а г(1) = = (х(й), у(й)) = а(й) — вектор скорости изменения к(й), или ускорение в момент 1, то уравнение (1) можно записать в виде 175 $1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ Операция отыскания скорости изменения векторной величины, как было показано, сводится к отысканию скорости изменения нескольких числовых функций — координат вектора. Таким образом„эту операцию следует прежде всего научиться свободно выполнять в простейшем случае вещественнозначных функций вещественного аргумента, чем мы теперь и займемся. ~(х) — ~(а) = А.
(х — а)+о(х — а) при х -+ а, х Е Е. (9) Иными словами, функция дифференцируема в точке а, если изменение ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной х — а смещения от точки а. Замечание. Как правило, дело приходится иметь с функциями, определенными в целой окрестности рассматриваемой точки, а не только на каком-то подмножестве этой окрестности. Определение 02. Линейная функция А. (х — а) из (9) называется дифференииалом функции ~ в точке а.
Дифференциал функции в точке определен однозначно, ибо из (9) следует ~(х) — У(а) . ~ о(х — а) 1 Еэх-+а х — а Еэх-+а ~, х — а,/ и в силу единственности предела число А определено однозначно. Определение 1. Величина ~(х) — Да) Еэх-+а х — а (10) называется производной функции ~ в точке а. Соотношение (10) можно переписать в эквивалентной форме ~(х) — ~(а) х — а где а(х) -+ 0 при х -+ а, х б Е, что в свою очередь равносильно соотношению ~(х) — 1.(а) = ~'(а)(х — а) + о(х — а) при х -+ а, х Е Е. (11) Таким образом, дифференцируемость функции равносильна наличию у нее производной в соответствующей точке.
2. <Функция, дифференцируемая в точке. Начнем с двух предварительных определений, которые мы чуть ниже несколько уточним. Определение 01. Функция ~: Е + К, определенная на множестве Е с с К, называется диффереииируемой в точке а е Е, предельной для множества Е, если существует такая линейная относительно приращения х-а аргумента функция А (х — а), что приращение ~(х) — Да) функции ~ представляется в виде 176 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Если сопоставить эти определения с тем, что было сказано в пункте 1, то можно заключить, что производная характеризует скорость изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал доставляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в окрестности рассматриваемой точки. Если функция ~: Е + К дифференцируема в различных точках множества Е, то при переходе от одной точки к другой как величина А, так и функция о(х — а) в (9) могут меняться (к чему мы уже явно пришли в (11)).
Указанное обстоятельство следует отметить уже в самом определении дифференцируемой функции, и мы приведем теперь это основное определение в его полной записи. Определение 2. Функция ~: Е + К, заданная на множестве Е с К, называется ди44еренцируемой в точке х Е Е, предельной для множества Е, если (12) где Ь ~-+ А(х)Ь вЂ” линейная относительно Ь функция, а а(х;Ь) =,о(Ь) при Ь вЂ” )О,х+ЬЕЕ. Величины Ьх(Ь):= (х + Ь) — х = Ь Ь~(х; Ь):= ~(х+ Ь) — Дх) называют соответственно приращением аргументпа и приращением Яункции (соответствующим этому приращению аргумента).
Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами Ьх и Ь ~(х) самих функций от Ь. Итак, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в этой точке как функция приращения аргумента Ь является линейной с точностью до поправки, бесконечно малой при Ь вЂ” + О в сравнении с приращением аргумента. Определение 3, Линейная по Ь функция Ь ~-+ А(х)Ь из определения 2 называется дифференциалом фуксии ~: Е -+ К в точке х Е Е и обозначается символом сЦ(х) или Щ(х), Таким образом, ф'(х)(Ь) = А(х) Ь. Из определений 2, 3 имеем ~~(х; Ь) — с(~(х)(Ь) = а(х; Ь), причем а(х; Ь) = о(Ь) при Ь -+ О, х+ Ь Е Е, т.
е. разность между приращением функции, вызванным приращением Ь ее аргумента, и значением при том же Ь 177 ~ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ <ФУНКЦИЯ линейной по Ь функции «д (х) оказывается бесконечно малой выше чем первого порядка по Ь. По этой причине говорят, что дифференциал есть (алавная) лв»«ейная часть ««рмрагценил фунхции.
Как следует из соотношения (12) и оиределения 1, ,7(х + Ь) — 7" (х) л-+о Ь х+А, хан поэтому дифференциал можно записать в виде п,7(х)(Ь) = ~ (х) Ь. (13) В частности, если 7"(х) = х, то, очевидно, 7" (х) = 1 и ~Ь(Ь) = 1 Ь = Ь, поэтому иногда говорят, что «дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением». Учитывая это равенство, из (13) получаем п,7(х)(Ь) = 7'(х) дх(Ь), (14) т. е. сЩх) = 7'(х) дх. Равенство (15) надо понимать как равенство функций от Ь.
Из (14) получаем <Щх) (Ь) Ых(Ь) т. е. функция — (отношение функций сЧ(х) и ««х) постоянна и равна 7'(х). Ч( ) Их По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обозначают символом Ч(х) — наряду с предложенным впоследствии Лагранжем' > символом ~'(х). Ых В механике, кроме указанных символов, для обозначения производной от функции ~р(1) по времени $ используется символ у(1) (читается «у с точкой от Ь). Ц Ж.
Л. Лагранж (1736 — 1813) — знаменитый французский математик и механик. 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала. Пусть 7: Е -+ К вЂ” функция, определенная на множестве Е С К, и хо — фиксированная предельная точка множества Е. Мы хотим подобрать постоянную со так, чтобы она лучше всех остальных констант характеризовала поведение функции в окрестности точки хо.
Точнее, мы хотим, чтобы 178 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ разность ~(х) — со при х -~ хо, х 6 Е была бесконечно малой в сравнении уже с любой не нулевой постоянной, т. е. ~(х) = со+о(1) при х -+ хо х Е Е. (17) Последнее соотношение равносильно тому, что 1пп ~(х) = со. Если, в ЕЭх +хо частности, функция непрерывна в точке хо, то 1пп У(х) = Дхо) и, естеЕЭх-+хо ственно, со = ~(хо). Попробуем теперь подобрать функцию со+ с1(х — хо) так, чтобы иметь У(х) = со+ с1(х — хо) + о(х — хо) при х -э хо х Е Е.
(18) Очевидно, это — обобщение предыдущей задачи, поскольку формулу (17) мож- но переписать в виде ~(х) = со+.о((х — хо) ) прн х -+ хо, х Е Е. Из (18) при х -+ хо, х Е .Е немедленно следует, что со — — 1ип ~(х), и если ЕЭх-+хо функция непрерывна в точке, то со — — ~(хо). Если со найдено, то из (18) следует, что Лх) — со —— 11ш ЕЭх-+хо Х вЂ” ХО И вообще, если бы мы искали полипом Р„(хо, х) = со+ с1(х — хо) +... + + с„(х — хо)" такой, что Дх) = со + с1 (х — хо) +... + с„(х — хо)" + + о((х — хо)") при х -+ хо,.
х Е Е, (19) то мы последовательно и вполне однозначно нашли бы со —— Йп Дх), ЕЭх — +хо ~(х) — со с1 — — 1пп ЕЭх — эхо Х вЂ” ХО ~(х) — ~со + ... + с„ 1(х — хо)" '~ с„= 1пп ЮЭх-+хо (х — хо)" при условии, что все указанные пределы существуют; в противном случае условие (19) невыполнимо и задача решения не имеет. Если функция ~ непрерывна в точке хо, то из (18), как уже отмечалось, следует, что со —— Дхо) и мы приходим к соотношению Дх) — ~(хо) = с1(х — хо) + о(х — хо) при х -~ хо, х Е Е, равносильному условию дифференцируемости функции ~(х) в точке хо. 179 $1.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ Отсюда находим Л~) — У( о) у,( ) Еэх-~хо Х вЂ” ХО Таким образом, доказано Утверждение 1. Функция ~: Е -+ К, непрерывная в тпочке хо Е Е, предельной длл множества Е С К, допускаетп линейное приближение (18) в тпом и тполько в том случае, когда она дифференцируема в этпой точке. Функция о7(х) = со+ с1(х — хо) (20) при со = Дхо) и с1 — — ~'(хо) является единственной функцией вида (20), удовлетворяющей соотношению (18). Итак, функция ~р(х) = ~(хо) + ~'(хо)(х — хо) (21) доставляет наилучшее линейное приближение функции 1' в окрестности точки хо в том смысле, что для любой другой-функции вида (20) ~(х) — ~р(х) ф ~ о(х — хо) при х -+ хо, х б Е. Графиком функции (21) является прямая у — У(хо) = У'(хо)(х — хо), (22) проходящая через точку (хо, Дхо)) и имеющая угловой коэффициент У'(хо), Поскольку прямая (22) доставляет наилучшее возможное линейное приближение графика функции у = ~(х) в окрестности точки (хо, ~(хо)), то естественно принять Определение 4.
Если функция ~: Е -+ К определена на множестве Е С К и дифференцируема в точке хо Е Е, то прямая, задаваемая уравнением (22), называется касашвльной к графику этой функции в точке (хо, Дхо)). Рисунок 15 иллюстрирует все основные понятия, связанные с дифференцируемостью функции в точке, которые мы к настоящему моменту ввели: приращение аргумента и соответствующие ему приращение функции и значение дифференциала; на рисунке изображены график функции, касательная к графику в точке Ро — — (хо, ~(хо)) и, для сравнения, произвольная прямая (называемая обычно секущей), проходящая через Ро и некоторую точку Р ~ Ро графика функции.
Развитием определения 4 является О и ре делен ие 5. Если отображения ~: Е -1 К, д: Е -+ К непрерывны в точке хо Е .Е, предельной для множества Е С К, и ~(х) — д(х) = о((х — хо)") при х -+ хо, х Е Е, то говорят, что ~ и д имеют в точке хо касание пор*дка п (или, точнее, порядка нв ниже и). При и = 1 говорят, что отображения ~ и д касаются друг друга в точке хо. В соответствии с определением 5 отображение (21) касается в точке хо Е Е отображения 7: Е + К, дифференцируемого в этой точке. 7 Зорич В. Л. 1 ! 180 ГЛ. ~.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теперь можно также сказать, что полином Р„(хд, х) = сд + с1(х — хд) + +... + с„(х — хд)" из соотношения (19) имеет с функцией ~ касание не ниже чем порядка п. ~ (хх,) Ь ~ (х )(х — х ) ~(хд) хд+Ь Рис. 15 Число Ь = х — хд, т. е. приращение аргумента, можно рассматривать как вектор, приложенный к точке хд и определяющий переход из хд в х = хо+ Ь.
Обозначим совокупность таких векторов через Тй(хд) или Тлле,.') Аналогично, обозначим через Труд) или ТЯ„, совокупность векторов смещения от точки уд по оси у (см. рис. 15). Тогда из определения дифференциала видно, что отображение Ч(хд): ТЖ(хд) -+ ТУйИ(хд)), (23) задаваемое дифференциалом Ь ~-~,г(хд) Ь = д~(хд)(Ь), касается отображения Ь | — + Дхд + Ь) — ~(хд) = Ь~(хд, 'Ь), (24) задаваемого приращением дифференцируемой функции. Заметим (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
