В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В силу определения дифференцируемости функции ~: Е -+ Й в точке хО Е Е Е имеем ~(х) — ~(ХО) = А(ХО)(х — ХО) + о(х — хо) при х -+ хО х Е Е. Пример 8. Пусть Дх) = ~х~ (рис. 18). Тогда в точке хО = 0 Дх) — ДХО) х-~хо-О Х вЂ” ХО ~(х) — ~(ХО) 1х) — 0 . -х 11п1 — = 1пп — = — 1, х-+-О Х вЂ” 0 х-+ — О Х 1пп )х~ — 0 . х 1пп — = 1.
х-++О Х вЂ” 0 х-++О Х х-+хо+О Х вЂ” ХО Следовательно, в этой точке функция не имеет производной, а значит, и не дифференцируема в этой точке. Пример 9, Покажем, что ех+" — ех = = ехЬ+ о(Ь) при Ь ~ О. Таким образом, функция ехр(х) = ех дифференцируема, причем Нехр(х)Ь = ехр(х)Ь, у=! х! ИЛИ 11Ех = ЕхСЬ, И тЕМ СаМЫМ ЕХР' Х = ЕХР Х, или — =е .
0 Х Ых Рис. 18 ~ ех+" — ех = ех(е" — 1) = ех(Ь+ о(Ь)) = = ехЬ+ о(Ь). Мы воспользовались полученной в примере 39, гл. Ш, ~ 2, п. 4 формулой е" — 1 = Ь+ о(Ь) при Ь-+ О. а Поскольку правая часть этого равенства стремится к нулю при х ~ хО, х Е Е, то 1нп ~(х) = ДхО), так что дифференцируемая в точке функция обязана Евх-+хо быть непрерывной в этой точке. Покажем, что обратное, конечно, не всегда имеет место. 187 1 1.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ Пример 11. 1п~х+6~ — 1п1х~ = — Ь+о(6) при Ь-+ Он х ф О. 1 х Таким образом, с1 1пф = — сЬ и 1 11пФ 1 х с1х х и 1п)х4-й) — 1п)х) = 1п(1Š— ). При ~Ь~ Х )х~ имеем ~1Š— ~ = 1Е-, поэтому длх достаточно мелмх значений 61 Ь х х Ь можно написать 1п~х+6~ — 1пф = 1п 1+ -) = — +о~ — ) = — 6+о(6) х) х ~х) х при Ь -+ О. Мы воспользовались здесь тем, что, как показано в примере 38, гл. Ш, ~ 2, п, 4, 1п(1+ 1) =1+ о(1) при 1-+ О. ° Пример 12. 10$а~х+ 6) — 1ОЯаф = — Ь+ 0(6) при Ь -+ О, х ~ О, 1 0 с а у~ 1. Таким образом, д1оц,)х~ = сЬ и 1 011оц ф 1 х1па 01х х1па 1оКа~х + Ь~ — 1оКа~х~ = 1о~а 1+ — = 1ода 1+— Мы воспользовались формулой перехода к другому основанию логарифмов и соображениями, изложенными при рассмотрении примера 10.
1)р Задачи и упражнения 1. Покажите, что а) касательная к эллипсу х р — + — =1 а~ Ь2 в точке (хо,1йо) имеет уравнение ххо ряо — + — =1 а2 ЬП Ь) световые лучи от источника, помещенного в одном нз двух фокусов Р1 —— = (- / э — Ьэ,о), и = (~/а~ — Ь,О) эллипса с пелуосааис е > Ь > О, соехраэмте эллиптическим зеркалом в другом фокусе. Пример 10.
а*+" Таким образом, с1а* ах+ Л ах ах (аЛ вЂ” а* = а' 1п а Ь + о(6) при Ь -+ 0 и а > О. х = ах1пасЬ и — = а*1па. 01х Ц ах(ЕЛ)п а 1) а*(61па+о(61па)) = а*1паЬ+о(6) при Ь-+ О. ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2. Напишите формулы для приближенного вычисления значений а) аш (- + а) при значениях а, близких к нулю; Ь) зш(30'+ а') при значениях а', близких к нулю; с) сов (4 + а) прн значениях а, близких к нулю; с1) сов (45'+ а') при значениях а', близких к нулю. 3.
Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ы. Пусть р = у(х) — уравнение кривой, получающейся в сечении поверхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения. И а) Покажите, что ~'(х) = — х, где д — ускорение свободного падения (см. при- У мер 5). Ь) Подберите у(х) так, чтобы функция ~(х) удовлетворяла условию, указанному в а) (см. пример 6). с) Изменится ли приведенное в а) условие на функцию у(х), если ось вращения не будет совпадать с осью стакана? 4. Тело, которое можно считать материальной точкой, под действием силы тяжести скатывается с гладкой горки, являющейся графиком дифференцируемой функ- р = У(х) а) Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения, которое имеет тело в точке (хо, ро).
Ъ) В случае, когда ~(х) = х~ и тело скатывается с больпюй высоты, найдите ту точку параболы у = х~, в которой горизонтальная составляющая ускорения максимальна. 5. Положим х, если0<х(-, 1 Фо(х) = 2' 1 — х, ес - <х< 1, и продолжим эту функцию на всю числовую прямую с периодом 1. Эту продолженную функцию обозначим через ~ре. Пусть, далее, У"(~) 4" ~Ро(4"~). Функция ~р„имеет период 4 " и производную, равную +1 нли — 1 всюду, кроме точек х = — п Е Е. Пусть й 2п+ДФ ~(х) = ~ <р„(х). в=1 Покажите, что функция ~ определена и непрерывна на К, но ни в одной точке не имеет производной. (Этот пример принадлежит известному современному голландскому математику Б. Л. Ван дер Вардену.
Первые примеры непрерывных функций, не имеющих цронзводной, были построены Больцано (1830 г.) и Вейерштрассом (1860 г.).) 189 $2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ~ 2. Основные правила дифференцирования Построение дифференциала заданной функции или, что равносильно, отыскание ее производной называется операцией дифференцирования функции1). 1. Дифференцирование и арифметические операции Теорема 1. Если функции ~: Х -+ И, д: Х -+ К дифференцируемы в точке х Е Х, то а) их сумма дифференцируема в х, причем (~+ д)'(х) = (~'+ д')(х); Ъ) их произведение дифференцируемо в х, причем (Д .
д)'(х) = ~'(х) д(х) + ~(х) д'(х); с) их отношение дифференцируемо в х, если д(х) ф О, причем с Я ~'(х) д(х) — ~(х) д'(х) д/ д'( ) ~ В доказательстве мы будем опираться на определение дифференцируемой функции и свойства символа о( ), установленные в гл. П1, ~ 2, и. 4. а) (~ + д)(х + Ь) — (~ + д)(х) = (~(х + Ь) + д(х + Ь))— — У(х) + д(х)) = У(х+ Ь) — У(х)) + (д(х+ Ь) — д(х)) = = (~'(х)Ь+ о(Ь)) + (д'(х)Ь+ о(Ь)) = (~'(х) + д'(х))Ь+ о(Ь) = = (У' + д') (х) Ь + о(Ь). Ъ) (~ д)(х+ Ь) — (~. д)(х) = Дх+Ь)д(х+ Ь) — ~(х)д(х) = = (~(х) + ~'(х)Ь+ о(Ь))(д(х) + д'(х)Ь+ о(Ь)) — ~(х)д(х) = = У'( )д(х)+ Х(х)д'(х))Ь+о(Ь). с) Поскольку функция, дифференцируемая в некоторой точке х е Х, непрерывна в этой точке, то, учитывая, что д(х) ф О, на основании свойств непрерывных функций можем гарантировать, что при достаточно малых ~)При математической равносильности задачи отыскания дифференциала и задачи отыскания производной, все же производная и дифференциал — не одно и то же, и позтому, например, во французском математическом языке имеются два термина: дег«ча11оп— «деривация», нахождение производной (скорости), и ййегепйаМоп — «дифференцирование», нахождение дифференциала.
ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕЦИЕ значениях и также д(х+ Ь) ф О. В следующих выкладках предполагается, что Ь мало: — (х + Ь) — ~ (х)— 1 (т(х+ И~д(х) — ~(х)д(х+ и)) = д(х)д(х + Ь) .~.о(1)) ((д(ш).~.д'(х)д.~-о(д))д(х) — д(л)(д(х) д.д(л)ь ~.о(д))) = ~уг(х) = (,(, + (д))((Г( )д(*) — П*)д(*))а+а(д)) = .т'(х)д(х) — т(х)д'(х) дг(х) Мы воспользовались тем, что в силу непрерывности функции д в точке х и того, что д(х) ф О, 1пп 1 1 л-ю д(х) д(х + Ь) дг(х) ' т. е 1 1 д(х)д(х + Ь) дг(х) ( г + о(1) где о(1) есть бесконечно малая при й -+ О, х+ и б Х. ~ С л е д с т в и е 1. Проиэводная отп линейной комбинации дифференцируемых функций равна линейной комбинации ттроизводных этпих фуюсций.
~ Поскольку постоянная функция, очевидно, дифференцируема и ее производная всюду равна нулю, то, считая в утверждении Ь) теоремы 1, что .т: — сопят = с, имеем (сд)'(х) = сд'(х). Используя теперь утверждение а) теоремы 1, можем записать (С1~ + сгд) (х) = (с1~) (х) + (сгд) (х) = с1.~ (х) + сгд (х). С учетом доказанного,по индукции проверяем,что (с1 ~1 +... + с„т„)'(х) = с1 Д (х) +... + с„Д(х). ° Следствие 2. Если функции т1, ..., Д„дифференцируемы в тпо псе х, тпо (Л . Хп) (х) = Л(х) Уг(х) . Удд(х) + Л(х) Ь(х) Хз(х) .
Хп(х) + ... + ~1(х) ... ~„ 1(х)Д„',(х). ~ Для п = 1 утверждение очевидно. Если оно справедливо для некоторого п Е 1Ч, то в силу утверждения Ь) 191 $2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ теоремы 1 оно справедливо также для (и+ 1) Е М. В силу принципа индукции заключаем о верности приведенной формулы для любого т1 Е И. ° Следствие 3. Из взаимосвязи ттроизводной и дифференииала следуетв, чтпо тпеорема 1 можетп бытпь записана тпакже через дифференииалы. Именно: а) ЙЦ + д) (х) = се) + дд(х); Ь) д(У д)(х) = д(х)ЙЯх) + ~(х)дд(х); с) Й(Й(х) —, если д(х) ф О. ух г() ~ Проверим, например, а). Действительно, 40+д)(х)Ь = У+д)'(х)Ь = У'+д'Пх)Ь = = (,1'(х) + д'(х))Ь = ~'(х)Ь+ д'(х)Ь = = Ц(х) Ь + Йд(х) Ь = Щ(х) + Ид(х)) Ь, и совпадение функций д(~ + д)(х), и~(х) + с1д(х) проверено.
~ х = а',х'+агх +о', х' = а'х' + а'х'+ Ьг. — г Поскольку любой вектор (в аффинном пространстве) определяется парой точек, а его координаты суть разности координат начала и конца вектора,, то координаты одного и того же вектора в этих двух системах должны быть связаны соотношениями 11' = аР + агт1 6 =а 11 +а 11 1 2 (2) Если закон движения точки в одной системе задается функциями х~(й), хг(й), то в другой — функциями х1(Ф), хг(Ф), связанными с первыми посредством соотношений (1). Дифференцируя соотношения (1) по времени $, по правилам дифференцирования находим х1 = а'х'+ а'х 1 2 х =ах1+ах. 1 2 (3) Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
