В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Приведите пример, показывающий, что в теореме 3 условие непрерывности в точке уо не является излишним. 7. а) Два тела с массами тп~ и тпрр соответственно перемещаются в пространстве только под действием сил взаимного притяжения. Используя законы Ньютона (формулы (1) и (2) из Я 1), проверьте, что величина е = (-тю~ + 2 ~из) + ( 0 ~„"~) =: к + У где о~ и о2 — скорости тел, а т — расстояние между ними, не меняется при таком движении. Ъ) Дайте физическую интерпретацию величины Е = К + У и ее составляющих.
с) Распространите результат на случай движения и тел. З 3. Основные теоремы дифференциального исчислении 1. Лемма ~Ферма и теорема Ралли Определение 1. Точка хо Е Е С Й называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней — локальным максимумом (минимумом) функции ~: Ж -~ Й, если существует окрестность Уе(хо) точки хо в множестве Я такая, что в любой точке х Е Уе(хо) имеем ~(х) < ~(хо) (соответственно, Дх) > ~(хо)). о Определение 2. Если в любой точке х Е Уе(хо)~хо = Уе(хо) имеет место строгое неравенство Дх) < Дхо) ®х) > Дхо)), то точка хо Е .Е называется тпочкой стпрогого локального максимума (минимума), а значение функции в ней — стпрогим локальным максимумом (минимумом) функции ~: .Е -+ Й.
Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстпремума, а значения функции в них — локальными экстпремумами функции. Пример 1. Пусть -1 0 1 2 х Рис. 20 х~, если -1<х<2, У(х) = 4, если 2<х (рис. 20). Для этой функции: х = -1 — точка строгого локального максимума; х = 0 — точка строгого локального минимума; х = 2 — точка локального максимума; х > 2 — точки экстремума, являющиеся одновременно точками и локального максимума, и локального минимума, поскольку здесь функция локально постоянна. $3.
ОснОВные теОРемы диФ<веРенциАльнОГО исчисления 211 П р и м е р 2. Пусть у(х) = яп — на множестве Е = Ж ~ О. 1 /тт ъ~ -1 Точки х = ~- + 2йя~, й Е Е, являются точками строгого локального ~ — 1 максимума, а точки х = — -+2йтт), Й Е У, — точками строгого локального минимума для Дх) (см, рис. 12). Определение 4.
Точку хо Е Е экстремума функции ~: Е -+ й будем называть точкой внутпреннеео энстремума, если хо является предельной точкой как для множества Е = (х Е .Е~х < хо), так и для множества Е+ — — (х Е Е~х ) хо). В примере 2 все точки экстремума являются точками внутреннего экстремума, а в примере 1 точка х = -1 не является точкой внутреннего экстремума. Лемма 1 (Ферма). Если функция у: Š— ~ й дифферениируема в тпочхе внутпреннеао экстпремума хо Е Е, то ее производная в этпое, тпочке равна нулто: ~'(хо) = О. я По определению дифференцируемости функции в точке хо У(хо+ Ь) — У(хо) = У'(хо) Ь+ ст(хо> Ь) Ь> где а(хо, .Ь) -+ О при Ь -+ О, хо + Ь е Е.
Перепишем это соотношение в виде У(хо + Ь) — 1(хо) = ~~'(хо) + ст(хо, ЬЯЬ Поскольку хо — точка экстремума, то левая часть равенства (1) либо неотрицательна, либо неположительна одновременно для всех достаточно близких к нулю значений Ь таких, что хо + Ь б .Е. Если бы было г (хо) ф. О, то при Ь достаточно близких к нулю величина .т'(хо) + а(хо, Ь) имела бы тот же знак, что и У'(хо), ибо а(хо, Ь) -+ О при Ь вЂ” ~ О, хо + Ь 1:- Е.
Что же касается самого значения Ь, то оно может быть как положительным, так и отрицательным, коль скоро хо — точка внутреннего экстремума. Таким образом, предположив, что ~'(хо) ф. О, мы получаем, что правая часть (1) меняет знак при изменении знака Ь (если Ь достаточно близко к нулю), в то время как левая часть (1) не может менять знака (если Ь достаточно близко к нулю). Это противоречие завершает доказательство, ~ Замечания к лемме Ферма.
1' Лемма Ферма дает, таким образом, необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции. Для невнутренних экстремумов (как точка х = -1 в примере 1) утверждение о том, что ~'(хв) = О, вообще говоря, неверно. 2' Геометрически лемма вполне очевидна, ибо она утверждает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику горизонтальна (ведь ~'(хо) есть тангенс угла наклона касательной к оси Ох). 8 Зорич В, Л. 212 ГЛ, У. ДнфФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3 Физически лемма означает, что при движении по прямой в момент начала возврата (экстремум)) скорость равна нулю.
Из доказанной леммы и теоремы о максимуме (минимуме) функции, непрерывной на отрезке, вытекает следующее Утверждение 1 (теорема Ролля1)), Если функция ~: [а, Ь] -+ К непрерывна на отпрезтсе [а, Ь], дифференцируема в интервале ]а, Ь[ и 1(а) = 1"(Ь), тпо найдетпся тпочаа ~ Е ]а, Ь[ шакая, что ~Я) = О, м Поскольку функция ~ непрерывна на отрезке [а, Ь], то найдутся точки х,хат е [а, Ь], в которых она принимает соответственно минимальное и максимальное из своих значений на этом отрезке. Если Дж,„) = Дхм), то функция постоянна на [а, Ь], и поскольку в этом случае ~'(х) = О, то утверждение, очевидно, выполнено.
Если же У(х ) ( У(хм), то, поскольку У(а) = У(Ь) одна из точек х, хм обязана лежать в интервале ]а, Ь[. Ее мы и обозначим через ('. По лемме Ферма ~Я) = О. ° 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении. Следующее утверждение является одним из наиболее часто используемых и важных средств исследования числовых функций. Теорема 1 (теорема Лагранжа о конечном приращении). Если функцил .т': [а,Ь] -+ й непрерывна на отпрезне [а, Ь] и дифференцируема в интервале ]а, Ь[, то нат1детсл точна с е.
]а; Ь[ такал, что ° 6 Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию ~(х) = У(х)— т(Ь) — Да) (х-а), Ь вЂ” а которая, очевидно, непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема в интервале ]а, Ь[ и на его концах принимает равные значения: Р(а) = Р(Ь) = Да). Применяя к Р(х) теорему Ролля, найдем точку ~ е ]а, Ь[, в которой Е'(О = У'Ы) — ~( ) ~( ) =О. Рнс. 21 Ь вЂ” а Замечания к теореме Лагранжа.
1' Геометрически теорема Лагранжа означает (рис. 21), что в некоторой точке ® 1'(~)), где ( Е ]а, Ь[, 1) М. Ролль (1652 — 1719) — французский математик. $3 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 213 касательная к графику функции будет параллельна хорде, соединяющей точки (а, Да)), (д, ДЬ)), ибо угловой коэффициент последней равен ДЬ) — Да) 2 Если х интерпретировать как время, а ДЬ) — Да) — как величину перемещения за время Ь вЂ” а частицы, движущейся вдоль прямой, то теорема Лагранжа означает, что скорость ~'(х) частицы в некоторый момент ( е ) а, Ь| такова, что если бы в течение всего промежутка времени (а, д] частица двигалась с постоянной скоростью ~'Я), то она сместилась бы на ту же величину ~(Ь) — ~(а).
Величину ~'(~) естественно считать средней скоростью движения в промежутке ~а, д~, 3' Отметим, однако, что при движении не по прямой средней скорости в смысле замечания 2' может не быть. Действительно, пусть, например, частица движется по окружности единичного радиуса с постоянной угловой скоростью ы = 1. Закон ее движения, как мы знаем, можно записать в виде г(Ф) = (соя Ф, Бш Ф).
Тогда г(Ф) = ~(Ф) = (- вш 1, сова) и ~ч~ = = 1. В моменты Ф = 0 и Ф = 2г частица находится в одной и той же точке плоскости г(0) = г(2я.) = (1, О), и равенство г(2я) — г(0) = ч(() (2я — О) означало бы, что ч(~) = О, но это невозможно. Однако мы сознаем, что зависимость между перемещением за некоторый промежуток времени и скоростью движения все же имеется. Она состоит в том, что даже вся длина Ь пройденного пути не может превышать максимальной по величине скорости, умноженной на время в пути.
Сказанное можно записать в следующей более точной форме: Как будет в свое время показано, это естественное неравенство действительно всегда справедливо. Его тоже называют теоремой Лагранжа о конечном приращении, а формулу (2), справедливую только для числовых функций, часто называют теоремой Лагранжа о среднем значении (роль среднего в данном случае играет как величина ~'(() скорости, так и точка ~, лежащая между а и Ь). 4' Теорема Лагранжа важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке.
До сих пор мы не имели такой теоремы о конечном приращении и характеризовали только локальное (бесконечно'малое) приращение функции через производную или дифференциал в фиксированной точке. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Следствия теоремы Лагранжа Следствие 1 (признак монотонности функции).
Если в любой точке некотпорого интпервала производная функции неотприцатпельна (положитпельна), тпо функция не убываетп (возрастпаетп) на этпом интпервале. ~ Действительно, если х1, х2 — две точки нашего интервала и х1 < х2, т. е. хз — х1 ) О, то по формуле (2) У(хг) — У(х1) = т"(4)(хг — х1), где х1 < ( < хг, и, таким образом, знак разности, стоящей в левой части равенства, совпадает со знаком 1'((). ° Разумеется, аналогичное утверждение можно высказать о невозрастании (убывании) функции с неположительной (отрицательной) производной. Замечание. На основании теоремы об обратной функции и следствия 1, в частности, можно заключить, что если на каком-то промежутке 1 числовая функция 1(х) имеет положительную или отрицательную производную, то функция 1 непрерывна на 1, монотонна на 1, имеет обратную функцию 1 определенную на промежутке 1' = 1(1) и дифференцируемую на нем.
Следствие 2 (критерий постоянства функции). Неттрерывная на отпрезке [а, Ь] функция постпоянна на нем тпогда и тполько тогда, когда ее производная равна нулю в любой тпочке отпрезка [а, Ь] (или хотпя бы интпервала ]а, Ь[). я Интерес представляет только доказательство того факта, что если У'(х) = О на ]а, Ь[, то для любых х1, х2 Е [а, Ь] имеет место равенство 1(х1) = = 1(х2). Но зто вытекает из теоремы Лагранжа, по которой У(х2) У(х1) = ~Я) (х2 — х1) = О, ибо ~ лежит между х1 и хз, т. е. ~ Е ]а, Ь[ и ~'(~) = О.
~ 3 ам е чан ие. Отсюда, очевидно, можно сделать следующий (как мы увидим, очень важный для интегрального исчисления) вывод: если производные Г1(х), Р2(х) двух функций Р1(х), Гг(х) совпадают на некотпором промежутпке, тп. е. г",'(х) = Р~г(х), тпо на зтпом промежутке разностпь Р1 (х) -Рг(х) есть постпоянная функция.
Полезным обобщением теоремы Лагранжа, которое тоже основано на теореме Ролля, является следующее Утверждение 2 (теорема Коши о конечном приращении). Пусть х = = х(1) и у = у(Ф) — функции, непрерывные на отпрезке [а„д] и дифференцируемые в интпервале ]а,,о[. Тогда набдетпся тпочка т е ]а„8[ такая, чтпо х'(т)(у(8) — у(а)) = у'(т)(х(В) — х(а)). $3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 215 Если к тпому же х'(Х) у~ О при любом Х Е]а„В[, то х(а) ф х(В) и справедливо равеисшво у(,8) — у( ) у'( ) (4) х(,8) — х(а) х'(т) ~ Функция Р(Х) = х(Х)(у(,8) — у(а)) — у(Х)(х(ф) — х(а)) удовлетворяет условиям теоремы Рояля на отрезке [а„В], поэтому найдется точка т Е]а„В[, в которой Г'(т) = О, что равносильно доказываемому равенству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
