В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Итак, мы определили формулу Тейлора (7) и получили вид (8), (11), (12) остаточного члена формулы Тейлора. Мы получили соотношения (14), (16), (18), (25), (29), позволяющие оценивать погрешность вычисления важных элементарных функций по формуле Тейлора. Наконец, мы получили разложения этих функций в степенные ряды. Определение б. Если функция ~(х) имеет в точке хо производные любого порядка и Е 1Ч, то ряд Пхо) + — У'(хо)( — хо) + " . + — У("'(хо)(х — хо)" + ... 1! и! называется рядом Тейлора функции ~ в точке хо. где ( лежит между 0 и х. Если (х~ < 1, то, используя оценку (24), имеем ~т„(0;х)~ < о 1 — — ... 1 — — (1+~)~ ')х~"+'. (29) Прн увеличении а на единицу правая часть неравенства (29) умножается на ! (1 — )н~.
Но поскохаку )н~ < 1, то при достаточно боаыпах аначениах и, и+1 независимо от значения а, будем иметь! ~1 — — 1х~ < д < 1, если ф < д < 1. и+1/ ! Отсюда следует, что при любом а Е Ж и любом х из интервала (х~ < 1 выполнено т„(0; х) -+ О, когда а -+ оо; поэтому на интервале (х~ < 1 справедливо полученное Ньютоном разложение (бином Ньютоиа) $3 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 221 Не следует думать, что ряд Тейлора каждой бесконечно дифференцируемой функции сходится в некоторой окрестности точки хо, ибо для любой последовательностк со, с1, ..., с„, ... чисел можно построить (это не совсем просто) функцию Дх) такую, что У®(хо) = с„, и Е 1Ч. Не следует также думать, что если ряд Тейлора сходится, то он обязательно сходится к породившей его функции.
Сходимость ряда Тейлора к породившей его функцик имеет место только для так называемых акалитпических фуксий. Вот пример Коши неаналитической функции: е 1~*, если хф.О, У(х) = О, если х =О. Исходя кз определения производной и того, что х~ е '~* -+ О при х -+ 0 независимо от значения й (см. пример 30 нз ~ 2 гл. П1), можно проверить, что ~1"1(О) = 0 для и = О, 1, 2, ... Таким образом, ряд Тейлора в данном случае состоит только из нулевых членов и его сумма тождественно равна нулю, в то время как ~(х) ф 0 при х ф- О. В заключение остановимся на локальном варианте формулы Теклора. Вернемся снова к задаче о локальном приближении функции ~: Е -+ й полиномом, которую мы начали обсуждать в ~ 1, п.
3. Мы хотим подобрать полином Р„(хо., х) = со + с1(х — хо) +... + с„(х — хо)" так, чтобы иметь ,1'(х) = Р„(хо,х) +о((х — хо)") при х -+ хо, х б Е, или, подробнее, У(х) = со + с1 (х — хо) +... + с„(х — хо)" + + о((х — хо)") при х -+ хо, х Е Е. (32) Сформулируем в явном виде по существу уже доказанное Утверждение 3. Если поликом Р„(хо,х) = со + с1(х — хо) + ... + + с (х — хо)", удовлетпворяющий условию (32), сутаестпвуетп, тпо ок едикстпв еккл.
~ Действктельно, из условия (32) последовательно и вполне однозначно (в силу единственности предела) находятся коэффициенты полинома со = 11ш ~(х), ЕЭх-+хо ~(х) — со ЕЭх-+хо Х вЂ” ХО ~(х) — ~со+... + с„1(х — хо)" '~ 11ш и ЕЭх-+хо (х — хо)" 222 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Докажем теперь следующее Утверждение 4 (локальная формула Тейлора). Пусть Š— отрезок с концом хо Е К. Если фрнкцил ~: Е -+ й имеет в точке хо все производные ~'(хо),..., У~"~(хо) до порядка и включительно, то справедливо следующее представление: У(х) = У(хо) + , (х — хо) + ...
+ , (х — хо)" + У (хо) У (хо) +о((х — хо)") при х -+ хо, х Е Е. (33) Таким образом, задачу локального приближения дифференцируемой функции решает полином Тейлора соответствующего порядка. Поскольку полином Тейлора Р„(хд, .х) строится из условия совпадения всех его производных до порядка п включительно с производными соответствующего порядка функции ~ в точке хо, то ~®(хо)-Р1"1(хо, хо) = О (й = О, 1,... ..., и) и справедливость формулы (33) устанавливает следующая Ле м м а 2. Если функция 1о: Е -+ й, определенная на отрезке Е с концом хо, такова, что она имеет в точке хо все производные у'(хо), ..., ~р~"~(хо) до порядка и включительно и у(хо) = ф(хо) =... = ~р~"~(хо) = О, то <р(х) = = о((х — хо)") при х -+ хо, х Е Е. < При и = 1 утверждение вытекает из определения дифференцируемости функции <р в точке хо, в силу которого ср(х) = ср(хо) + ср'(хоИх — хо) + о(х — хо) при х -+ хо, х Е Е, и, поскольку ~р(хо) = <р'(хо) = О, имеем У(х) = о(х — хо) при х -+ хо, х Е Е.
Предположим, что утверждение доказано для порядков п = й — 1 > 1. Покажем, что тогда оно справедливо также для порядка и = Й > 2. Заметим предварительно, что поскольку <р®(хо) = (~р(~ ~)) (хо) = 11ш ЕЭх-+хо х хо то существование у<"1 (хо) предполагает, что функция <р1~ 1~ (х) определена на Е хотя бы вблизи точки хо. Уменьшая, если нужно, отрезок Е, можно заранее считать, что функции <р(х), ф(х), ..., <р1" Ц(х), где Й > 2, определены на всем отрезке Е с концом хо. Поскольку й > 2, то функция <р(х) имеет на Е производную <р'(х) и по условию (Ф ) (хо) = ° = (Ю )~~ Ц(хо) = О. Таким образом, по предположению индукции <р'(х) = о((х — хо) ) при х -+ хо, х Е Е.
з 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 223 Тогда, используя теорему Лагранжа, получаем ср(х) = ср(х) — у(хо) = ср'(()(х — хо) = а(()(е — хо)" '(х — хо), где ~ — точка, лежащая между хо и х, т, е. 1~ — хо ! < !х — хо!, а а(4) -+ О при ~ -+ Е, ( 6 Е. Значит, при х -+ хо, х Е Е одновременно будем иметь ( -+ Е, 4 Е Е и а(~) — ~ О, и поскольку 1р(х)! < !аИ)!!х — хо!~ '1х — хо1, то проверено, что у(х) = о((х — хо) ) при х -+ хо, х б Е. Таким образом, утверждение леммы 2 проверено принципом математической индукции.
Ь Соотношение (33) называется локальной формулой Тейлора, поскольку ука занный в нем вид остаточного члена (так называемая форма Пеано) (хо,'х) = о((х — хо) ) (34) Р~(хо; х) = У(хо) + —, (х — хо) +... +, (х — хо), У (хо) У " (хо) написали формулу Тейлора У(х) = Х(хо) + (х хо) + ° ° ° + (х — хо) +'г (хо,х) У (хо) У~ ~(хо) и получили следующие ее важнейшие конкретизации: Если ~ имеет проиэводную порядка и+ 1 в интервале с концами хо, х, то Ях) =У(хо)+ 1, (х — хо)+...+, (х — хо)" + + (х — х ) "+' (35) (и+ 1)! где ~ — тачка, лежащая между хо и х. позволяет делать заключения только об асимптотическом характере связи полинома Тейлора и функции при х -~ хо, х 6 Е.
Формула (33) удобна, таким образом, при вычислении пределов и описании асимптотики функции при х -+ хо, х е Е, но она не может служить для приближенного вычисления значений функции до тех пор, пока нет фактической оценки величины т„(хо, х) = о((х — хо)"). Подведем итоги. Мы определили полином Тейлора 224 ГЛ. У. ДИ4>ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Если У имеетп в тпочке хе все производные до порядке и > 1 включительно, тпо ~(х) = Г(хо) + , (х — хе) + ...
+ , (х — хе)" + о((х — хо)"). (36) ~'(хо) ~!">(хр) Так что для бесконечно дифференцируемых функций, с которыми в подавляющем большинстве случаев имеет дело классический анализ, формула (35) содержит в себе локальную формулу (36). В частности, на основании формулы (37) и разобранных выше примеров 3 — 10 можно теперь выписать следуюшую таблицу асимптотических формул при х-~О: е* = 1+ — х + — х +... + — х" + 0(х"+1), 1! 2! соех =1 — — х + — х —...
+ — х +0(х ), 2 1 4 ( 1) 2и 2а+2 2! 4! (2п)! 1 1 хз + х5 + х2в+1 + 0(х2~+з) (-1)" 3! 5! * (2п + 1)! В1П Х + — х2+ — х4+ + х211+0( 2в+2) 2 1 4 1 2! 4! (2п) ! 1*= +-хз+-, ь+ 1 1 1 2в+1 + 0( 2в+3) 3! 5! ' (2а+1)! ( 11тв-1 2+ 3 + ( ) в+0( л+1) 2 3 '' п ~х+ х +* ° ° + а(с1 — 1) 2 а(о — 1)... (а — а + 1) „, „+1) (1+х)~ =1+ Соотношение (35), называемое формулой Тейлоре с остпаточным членом в форме Лазранжа, очевидно, является обобщением теоремы Лагранжа, в которую оно превращается при и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
