В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 52
Текст из файла (страница 52)
247). Пример 12. Исследуем выпуклость функции ~(х) = в1пх (см. рис. 26 на с. 247). Поскольку ~о(х) = — г1пх, то ~"(х) < 0 на интервалах тт.2й < х < тт(2й+1) и ~о(х) > Онаинтервалахл(2Й вЂ” 1) < х < тт 2Й, гдето б Е. Отсюда, например, следует, что дуга графика функции а1п х на отрезке 0 < х < — лежит над 2 стягивающеи ее хордои всюду, кроме концевых точек; поэтому я1пх > -х при О < х < —. 2 Укажем теперь еще одну характеристику выпуклой функции, геометрически эквивалентную тому, что выпуклая область на плоскости лежит по одну сторону от касательной к ее границе. Утверждение 6.
Дифференцируемая ка иктпервале 1а,Ь[ функция т: '1а,Ь[ -+ Й выпукла (вниз) на 1а, Ь[ тпогда и тполько тпогда, когда ее график всеми своими тпочками лежитп ке ниже любой проведенной к нему касатпельной. При этпом для стпрогой выпуклостпи функции необходимо и достпатпочно, 241 $4 ИООЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ чтобы все точки графика, эа исключением самой точки касаниц лежали строго выше этой касательной. ~ Необходимость. Пусть хв е]а,Ь[. Уравнение касательной к графику в точке (хв ~(хв)) имеет вид "в = 1(хо) + У (хо)(х — хв) позтому У(х) — у(х) = У(х) — У(хв) — У'(хв)(х — хв) = (~'(() — ~'(хв))(х — хв), где ~ — точка между х и хв.
Так как ~ выпукла, то функция ~'(х) не убывает на ]а, Ь[ и знак разности ~'(() — Г(хв) совпадает со знаком разности х — хв, поэтому ~(х) — р(х) > 0 в любой точке х Е ]а, Ь[. Если ~ строго выпукла, то ~' строго возрастает на]а,Ь[и, значит, ~(х) -у(х) > 0 при х 6]а,Ь[ и х ф хе. Достаточность. Если для любых точек х, хв Е ]а, Ь[ ~(х) — и(х) = ~(х) — Дхв) — ~'(хв)(х — хв) > О, (13) У(х) — У(хо) ( уу( ) х — хв то л)-~(") „,(., „,„... х — хв Таким образом, для любой тройки точек х1, х, хр Е ]а, Ь[ такой, что х1 ( ( х ( хг, получаем е' > 1+х, причем если х ~ О, то неравенство строгое.
Пример 14. Аналогично, пользуясь строгой выпуклостью вверх функции 1п х, можно проверить, что при х > 0 справедливо неравенство 1пх(х — 1, причем зто неравенство является строгим, если х ~ 1. Дх) — Дх1) Дхр) — ~(х) ( > х х1 хг — х причем строгое неравенство в (13) влечет строгое неравенство в последнем соотношении, которое, как мы видим, совпадает с записью (12) определения выпуклой функции. ~ Рассмотрим примеры. Пример 13. Функция ~(х) = е* строго выпукла. Прямая р- = х+ 1 является касательной к графику этой функции в точке (О, 1), так как ДО) = = е~ = 1 и ~'(О) = е'[,-а = 1. В силу утверждения 6 заключаем, что для любого х Е Й 242 ГЛ.
Ч ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ При построении графиков функций бывает полезно выделять точки перегиба графика. Определение 3. Пусть ~: У(хо) -+ й — функция, определенная и дифференцируемая в окрестности У(хо) точки хо е Й. Если на множестве о У (хо) = (х б У(хо) ~х < хе) функция выпукла вниз (вверх), а на множе- о стве У+(хо) = (х 6 У(хо) ~ х > хо) выпукла вверх (вниз), то точка (хо, Дхо)) графика называется его пючкой перегиба. Таким образом, при переходе через точку перегиба меняется направление выпуклости графика, а это, в частности, означает, что в точке (хо, ~(хо)) график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую ее сторону. Аналитический признак абсциссы хо точки перегиба легко усмотреть, сопоставляя утверждение 5 и утверждение 3. А именно, можно сказать, что если ~ дважды дифференцируема в точке хо, то, поскольку ~'(х) в точке хо имеет максимум или минимум, необходимо ~" (хо) = О.
Если же вторая производная ~"(х) определена в У(хо) и всюду в У (хо) о имеет один знак, а всюду в У+(хо) — противоположный знак, то этого до- о о статочно для того, чтобы ~'(х) в У (хе) и в У+(хо) была монотонна, но имела разный характер монотонности, Тогда в силу утверждения 5 в точке (хо, Дхо)) произойдет изменение направления выпуклости графика, т. е. (хо,,1(хо)) будет точкой перегиба. Пример 15. В примере 12, рассматривая функцию Дх) = з1пх, мы нашли участки выпуклости и вогнутости ее графика.
Покажем теперь, что точки графика с абсциссами х = ~гй, й е Ж, являются точками перегиба. Действительно, ~" (х) = — з1п х; ~" (х) = 0 при х = л.й, Й е Е. Кроме того, при переходе через эти точки ~" (х) меняет знак, что является достаточным признаком точки перегиба (см. рис. 26 на с. 247). Пример 16.
Не следует думать, что переход кривой с одной стороны касательной на другую ее сторону в некоторой точке является достаточным признаком того, что эта точка является точкой перегиба. Ведь может так случиться, что ни в левой, ни в правой ее окрестности кривая не сохраняет определенный характер выпуклости. Пример легко построить, усовершенствовав пример 5, приведенный по схожему поводу. Пусть 2 з+ за ~ при х~О 0 при х=О.
Тогда хз < Дх) < Зхз при 0 < х и Зхз < Дх) < хз при х < О, поэтому график этой функции касается оси абсцисс в точке х = 0 и переходит в этой точке из нижней полуплоскости в верхнюю. В то же время производная 14. ИССЛЕДОВАНИЕ <РУНКЦИЙ 243 функции ~(х): бх +Зх нп — 2сов при х ф О, г г 1 1 У'(х) = О при х =О, не монотонна ни в какой полуокрестности точки х = О.
В заключение вновь вернемся к определению (11) выпуклой функции и докажем следующее Утверждение 7 (неравенство Иенсена'>). Если ~: ]а,Ь[ -+ И вЂ” выпуклая функция, х1, ..., х„— тпочки интпервала ]а, о[, а~, ..., а„— неотпри цатпелъные числа тпакие, чтпо а~ +... + а„= 1, тпо справедливо неравенстпвто Датх~ + ... + а„х„) < а~Дхт) +... + а„~(х„). (14) ° т При и = 2 условие (14) совпадает с определением (11) выпуклой функции. Покажем, что если (14) справедливо для и = тп — 1, то оно справедливо и для и = тп. Пусть, для определенности, в наборе а1, ..., а„имеем а„ф О. Тогда аг а„ ф = аг + ... + а„ > О и — + ... + — = 1. Используя выпуклость функции, Р Р находим /аг ав У(атх1 +...
+ а„х„) = ~ атх~ + ~3 ~ — хг +... + — х„< < атУ(х~) + И вЂ” хг + + — х /аг а„ поскольку а1 + 9 = 1 и ~ — хг +... + — х„Е ]а, о[. ,в -,' Далее, по предположению индукции ~( — хг +... + — х„3 < — Дхг) +... + — У(х„). ~Р Р / Р Р Следовательно, .т(а1х1 + ... + а х„) < а1У(х1) + Я вЂ 'хг + ... + †" х„ < ~~ а1У(х1) + аг,т (хг) + ° .. + атвуд(хв) В силу принципа индукции заключаем, что (14) верно для любого п Е 1Ч. (Для и = 1 (14) тривиально.) 1ь Ц И. Л.
Иенсен (1859 — 1925) — датский математик. 9 Зорич В. А. 244 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ~(а1х1+... + а„х„) > а1Дх1) +... + а„Дх„). (15) П р и м е р 17. Функция ~(х) = 1п х строго выпукла вверх на множестве положительных чисел, поэтому в силу (15) а11п х1 +... + а„1п хл ( 1п(а1 х1 +... + а„х„) или х1'."х„"" <а1х1+ "+а х (16) прих;>О, а,>0 (1=1,...,и) и ~ а,=1.
1=1 1 В частности, если а1 — — ... — — а„= —, получаем классическое неравенство и' х1+... +х„ Х1 ° - ° Хл ~ (17) между средним геометрическим и средним арифметическим п неотрицательных чисел. Знак равенства в (17) возможен, как отмечалось выше, только при 1 1 х1 = х2 — — ... — — х„. Если же в (16) положить и = 2, а1 — — —, а2 — — —, х1 — — а, р ч х~ — — Ь, то вновь получим уже известное нам неравенство (5).
Пример 18. Пусть Дх) = хР, х > О, р > 1. Поскольку такая функция выпукла, имеем Полагая здесь д = Р, а; = Ьь~,') Ь~), х; = а;Ь,. ~~"' ~, Ь1, вновь 1=1 получаем неравенство (7) Гельдера 1 1 где — + — =1 и р>1. р я При р < 1 функция ~(х) = х" выпукла вверх, поэтому аналогичными рассуждениями можно получить и другое неравенство (8) Гельдера. Заметим, что, как видно из доказательства, строгой выпуклости отвечает строгое неравенство Иенсена, т, е. если среди чисел а1, ..., а„по крайней мере два отличны от нуля, то знак равенства в (14) может иметь место тогда и только тогда, когда х1 —— ...
— — х„. Для функции, выпуклой вверх, разумеется, получается обратное по отношению к неравенству (14) неравенство з4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 4. Правило Лопиталя. Остановимся теперь на одном частном, но иногда полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правило Лопиталя1). Утверждение 8 (правило Лопиталя). Пустпь фуюсции У: ]а,Ц вЂ” ~ К и д: ]а,Ь[ -+ К дифференцируемы на интпервале ]а,Ц ( — оо < а < Ь < +со), причем д'(х) ф 0 на ]а,Ь| и У'(х) — -+ А при х -+ а+О ( — оо < А <+оо). д'(х) Тогда в каждом из двух следующих случаев; 1' (У(х) -+ 0) Л(д(х) -+ 0) при х-+ а+О 2 д(х) -+ оо при х -+ а+0 буде 7п — -+ А при х -+ а+ О.
У(х) д(х) Аналогичное утпверждение справедливо и нри х -+ Ь вЂ” О. Коротко, но не вполне точно правило Лопиталя формулируют так: предел отношенил функций равен пределу о»пношенил их производных, .если последний существует,. ~ Если д'(х) ф О, то на основании теоремы Ролля заключаем, что д(х) строго монотонна на ]а, Ь|. Значит, уменьшив, если нужно, промежуток ]а, Ь( за счет сдвига в сторону конца а, можно считать, что д(х) ф 0 на ]а, Ь[.
Для х, у Е]а, Ь~ по теореме Коши найдется точка ~ б]а,Ь~ такая, что У(*) — УЬ) У'Ы) д(х) — д(у) д'(4) Перепишем это равенство в удобном для нас сейчас виде При х — ~ а+ 0 согласованно с изменением х будем стремить у к а+ 0 так, чтобы при этом — -+0 и — — »О.
УЬ) дЬ) д(х) д( ) 1) Г. Ф. де Лопиталь (1661 — 1704) — французский математик, способный ученик Иоганна Бернулли, маркиз, для'которого последний в 1691 — 1692 гг. написал первый учебник анализа. Часть этого учебника, посвященная дифференциальному исчислению, в слегка измененном виде была опубликована Лопиталем под своим именем. Таким образом, «правилом Лопиталя» мы обязаны Иоганну Бернулли. 24б ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЦ В любом из данных нам двух вариантов 1' и 2' это, очевидно, можно сделать. Так как ~ лежит между х и у, то вместе с х и у также ~ — ~ а+ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
