В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Муавр (1667 — 1754) — английский математик. 262 ГЛ. вв'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ то г = ~(р и плр = ф + 2згй, Й Е У, откуда уь — — — + — й. Различные ком2я плексные числа получаются, очевидно, только при й = О, 1, ..., и — 1. Итак, мы находим п различных корней из а: «, = ~рр(сов(~ ~ — 'й)+ввш(~ Π— "Й)) ~й =О,1,...,и-ц. В частности, если а =1, т. е. р = 1 и ф = О, имеем «в = Ъ'«1 = сов ( — Й) В в в!о ( — Й) ~Й = О, 1,..., и — Ц. Эти точки находятся на единичной окружности в вершинах правильного п-угольника. В связи с геометрической интерпретацией самих комплексных чисел полезно упомянуть о геометрической интерпретации арифметических действий над ними. При фиксированном Ь е С сумму г + Ь можно интерпретировать как отображение С в себя, задаваемой формулой л р.+ я + Ь.
Это сдвиг плоскости на вектор Ь, При фиксированном а = !а!(сов у+ з а1п ~р) ф О произведение ал можно интерпретировать как отображение я ~+ ае С в себя, являющееся композицией растяжения в !а! раз и поворота на угол у Е Агя а. Это видно из формулы (8). 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами. Расстояние (4) между комплексными числами позволяет определить е-окрестность числа яо Е С как множество (,е Е С ! !г — го! < е) — это круг (без граничной окружности) радиуса е с центром в точке (хо, уо), если ло — — хо + ~уо. Будем говорить, что последовательность (г„) комплексных чисел сходвшсл к числу ло Е С, если 1пп !е„— ло! = О.
а-+оо Из неравенств и ах(!х — хо! !у — уо0 < !Ъ вЂ” о! < ! ' — хо! + !у — уо! (11) видно, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности действительных и мнимых частей членов этой последовательности. По аналогии с последовательностями вещественных чисел последовательность комплексных чисел (л„) называют фундаментпальноа или поеледоеатвельиостью Котии, если для любого е > О найдется номер Ж б Я такой, что при и, т ) Ф выполнено !.е„— л ! < е.
Из неравенств (11) видно, что последовательность комплексных чисел фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательности действительных и мнимых частей членов данной последовательности. Учитывая критерий Коши для вещественных последовательностей, мы, таким образом, на основании неравенств (11) заключаем, что справедливо следующее 1 5. комплексные числА и элементАрные Функции Утверждение 1 (критерий Коши).
Последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Если сумму ряда (12) »1 +»2 + ° +»и + комплексных чисел понимать как предел его частичных сумм в„= »1 +... +»„ при п -+ оо, то получаем также критерий Коши сходимости ряд®(12). Утверждение 2. Ряд (12) сходится тогда и только тогда, когда для любого е > О найдется число Ф е Я такое, что при лю6ых натуральных и) т>Ф имеем ! + ... + „! < е, (13) Отсюда, как, впрочем, и из самого определения сходимости ряда (12), видно, что для сходимости ряда необходимо, чтобы»„-+ О при п -+ оо. Как и в вещественном случае, ряд (12) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд !»1 ! + !»2! + + !» ! + - ..
Из критерия Коши и неравенства (14) !» +".+» !<!» !+" +!» ! следует, что если ряд (12) сходится абсолютно, то он сходится. Примеры. Ряды 1) 1+ — »+ — +...+ — "+..., 2 1 и 1! 21 '' и! *''' 2)» — — »+ — » 1 з 1 в 3! 5! 3) 1 — — »+ — » 2 1 4 2! 4! сходятся абсолютно при любом» Е С, ибо ряды 1') 1 + — !»! + — !»! + ..., 1 1 1! 2! 2г) !»! + !»!3 + !»!5 3') 1+ — !»! + — !»! +..., 2! 4! как мы знаем, сходятся при любом значении !»! Е Й, Заметим, что здесь мы воспользовались равенством !»"! = !»!". Пример 4.
Ряд 1+»+»2+... сходится абсолютно при !»! < 1, и его 1 сумма равна в = —. При !»! > 1 он не сходится, так как в этом случае общий член ряда не стремится к нулю. 265 т 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Следует иметь в виду не учтенный в формулировке утверждения 3, но возможный вырожденный случай, когда в формуле (17) В = О. В этом случае, разумеется, весь круг сходимости вырождается в единственную точку хо сходимости ряда (15). Из утверждения 3, очевидно, вытекает Следствие (первая теорема Абеля о степенных рядах).
Если степенной ряд (15) сходится при некотпором значении х', тпо он сходится и даже абсолюп1но при любом г, удовлетворяющем неравенстпву ~х — хо~ ( ~х' — го~ Те утверждения, которые пока были получены, можно рассматривать как простое развитие уже известных нам фактов. Теперь докажем два общих утверждения о рядах, которые мы раньше не доказывали ни в каком виде, хотя частично обсуждали затрагиваемые в них вопросы.
Утверждение 4. Если ряд г1+ аз+ ... + хп+ ... комплексных чисел сходитпся абсолютно, то ряд лп, + лп, +... + яп, +..., полученный перестпановкой1) его членов, тпакже абсолютпно сходитпся и к той же сумме. «Ф УчитываЯ схоДимость. РЯДа ч~~ ~хп~, по числУ е > О найДем номеР 1т' Е 1ч п=1 так, что ~~ !Хп~ ( е. п=Ф+1 Далее найдем номер К Е 1ч так, что среди слагаемых суммы зь — — х„, + +...
+ г„, при Й > К содержатся все слагаемые суммы зят = г1 +... + гтт, Если з = ~~ х„, то мы получаем, что при й > К п=1 ~з — зь~ ( ~з — зрт~+ ~зрт — зь~ ( ~ )гп~+ ~ ~г„~ (2е. и-И+1 Таким образом, показано, что зь -+ з при й -+ оо. Если применить уже ДОКаэаННОЕКРЯДаМ ~Х1~+~г2~+...+~гп~+... И ~зп,~+ ~гп,~+...+~гц)+..., получим, что последний ряд сходится. Тем самым утверждение 4 доказано полностью.
й Следующее утверждение будет относиться к произведению (а1+а2+...+ап+...) . (Ь1+Ь2+... +Ьп+...) рядов. Вопрос состоит в том, что если мы раскроем скобки и запишем всевозможные попарные произведения а;Ь, то в них нет естественного порядка суммирования, ибо есть два индекса суммирования. Множество пар (1, т), где 1, т Е Я, как нам известно, счетно, поэтому можно написать ряд с членами а;Ь, взятыми в некотором порядке. От того, в каком порядке эти члены Ц Членом с номером Й (й-м членом) второго ряда является член яп„с номером па ис; ходного ряда.
Отображение И Э Ъ | — + п1 Е И предполагается биективным отображением множества натуральных чисел И. ГЛ. 1~. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2бб брать, может зависеть сумма такого ряда. Но, как мы только что видели, в абсолютно сходящихся рядах сумма не зависит от перестановки слагаемых. Таким образом, желательно выяснить, когда ряд с членами а;Ь сходится аб- солютно.
Утверждение 5. Произведение абсолютно сходящихся рядов являе~пся абсолютпно сходящимся рядом, сумма нотпороео равна произведению сумм перемножаемых рядов. «1 Заметим сначала, что, какую бы конечную сумму " ,'а,Ь членов вида а;Ь мы ни взяли, всегда можно указать Ж так, что произведение сумм Ау = = а1 +... + ау и Ву = Ь1 +... + Ьм будет содержать все слагаемые исходной суммы. Поэтому )~ а Ьд) < ~)ага ) < 1 )а Ь~) =1 )а1 1 )Ьд) < 1 )а ).~ )ь~), 1,,у=1 1=1 1=1 1=1,у=1 Рассмотрим важный 1 в 1 тп Пример 8. Ряды ~ —,а", ~ —,Ь сходятся абсолютно. В произ- ,„, ~. ведении этих рядов будем группировать мономы а"Ь с одинаковой суммой и + ш = й показателей степени. Тогда получим ряд —,а" —,Ь Но ь — а" Ь = — ~~> ' а"Ь " = — (а+ Ь), и.'т. 'И п1()с — п).
'И юв+а=й а=О поэтому мы получаем, что —,а" ~ —,Ь = ~~~ —,(а+Ь) . п=о те=О ~=О (18) откуда вытекает абсолютная сходимость ряда ~; а;Ь~, сумма которого, та- 1, 1=1 ким образом, однозначно определена независимо от порядка слагаемых. В таком случае ее можно получить, например, как предел произведения сумм А„= а1 +... + а„, В„„= Ь1+... + Ь„при и -~ оо. Но А„В„-+ АВ при и -+ оо, где А = ~; а„и В = ~~; Ь„, что и завершает доказательство высказанного н 1 п=1 утверждения 5.
~ 267 $5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций. В примерах 1) — 3) мы установили абсолютную сходимость в С рядов, полученных распространением в комплексную область тейлоровских разложений функций е*, яш ж, соя ю, определенных на й. По этой причине естественны следующие определения функций е', соя л, япя в С: Я 1 3 е' = ехр я:= 1+ — я + — з~ + — я +..., 1! 2! 3! (19) 2 1 4 соял:= 1 — — л + — л 2! 4! (20) 3 1 5 Б1пя:= л — — л + — л 3! 5! (21) Подставим, следуя Эйлеру1), в (19) л = зр. Группируя соответствующим обра- зом слагаемые частичных сумм получающегося при этом ряда, найдем, что 1 ~ 2~ 3~ 4~ 5' 3 1 4 1 ~1 1 3 1 5 Р+ Р +4 Р Р+ Р 2! 4! / ~ 1! 3! 5! т.
е. (22) Это и есть знаменитая формрла Эйлера. При ее выводе мы пользовались тем, что 4з = -1, 43 = — 5, 44 = 1, 55 =4 и т. д. Число р в формуле (22) может быть как действительным, так и произвольным комплексным. Из определений (20), (21) видно, что соя(-я) = сояя, яп( — я) = — 51пл, т. е. соя л — четная функция, а Бш я — нечетная функция. Таким образом, е '" = совр — 4 я!п Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
