В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Выясните, какова размерность кривизны. е) Покажите, что кривизну графика функции у = ~(х) в точке (х, ~(х)) можно вычкслить по формуле Й(х) = х 1 ( )213/2 Сопоставьте знаки й(х) и у" (х) с направлением выпуклости графика. Е) Подберкте константы а, Ь, В так, чтобы окружность (х — а) + (у — Ь) = В~ имела с данной параметрически заданной кривой х = х(Ф), у = у(Ф) в точке хо —— = х(Фо), уо = у(Фо) касание возможно более высокого порядка. Предполагаетсл, что х(Ф), у(й) дважды дифференцируемы и (х(йо), у(Фо)) ~Е (О, О).
Указанная окружкость называется сощ>икасающебс» окружностью кривой в точке (хо, уо). Ее центр называется центром кривизны кривой в точке (хв, уо). Проверьте, что ее радиус совпадает с определенным в Ь) радиусом кривизны кривой в этой точке. а) Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля, Уравнение профиля х + у~ = 1, где х > О, у > О. Рассчитайте траекторию движения частицы до ее приземления. $ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 1.
Комплексные числа. Подобно тому, как в области Я рациональных чисел алгебраическое уравнение ха = 2 не имело решений, уравнение х~ = — 1 не имеет решений в области действительных чисел й, и подобно тому, как, вводя внешний по отношению к Я символ 42 в качестве решения уравнения хз = 2, мы увязываем его с операциями в Я и получаем новые числа вида г1 + ~Г2гз, где г1, гх Е Я, можно ввести символ ю в качестве решения уравнения х~ = -1 и связать зто внешнее по отношению к К число ~ с действительными числами и арифметическими операциями в К. 259 5 5.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Замечательной особенностью указанного расширения поля К действительных чисел, кроме многого другого, является то, что в получающемся при этом поле С комплексных чисел уже любое алгебраическое уравнение с действительными илн комплексными коэффициентами будет иметь решение. Реализуем теперь намеченную программу. а.
Алгебраическое расширение поля К. Итак, вводим (следуя обозначению Эйлера) новое число 1 — мнимую едмиицу, такое, что 12 = — 1. Взаимодействие 1 с действительными числами должно состоять в том, что можно умножать 1' на числа у Е К, т. е. необходимо появляются числа вида 1у, и складывать такие числа с вещественными, т. е. появляются числа вида х+1У, где х,у Е К. Если мы хотим, чтобы на множестве объектов вида х + 1У, которые мы вслед за Гауссом назовем жо юмексмь1ми числами, были определены привычные операции коммутативного сложения и коммутативного умножения, дистрибутивного относительно сложения, то необходимо положить по определению, что (Х1 + 1У1) + (Х2 + 1У2):= (Х1 + Х2) + 3 (У1 + У2) и (х1+1У1) (хг+1уг):= (х1хг — У1уг)+1(Х1уг+хгу1) ° (2) Два комплексных числа х1 +1У1, Хг+1уг считаются равными в том и только в том случае, когда х1 —— хг и у1 — — уг. Отождествим числа х Е К с числами вида х + 1.
О, а 1 — с числом О + 1 1. Роль нуля в множестве комплексных чисел, как видно из (1), играет число О + 1 О = О Е К, роль единицы, как видно из (2), — число 1+ 1 О = 1 Е К. Из свойств вещественных чисел и определений (1), (2) следует, что множество комплексных чисел является полем, содержащим К в качестве подполя. Поле комплексных чисел будем обозначать символом С, а его элементы— чаще всего буквами 2 и и.
Единственный не очевидный момент в утверждении о том, что С вЂ” поле, который нуждается в проверке, состоит в том, что любое отличное от нуля комплексное число 2 = х+1у имеет обратное 2 1 по отношению к умножению, т. е. г л 1 = 1. Проверим это. Число х — 1У назовем сощнжекжым к числу л = х +1у и обозначим символом 2. Заметим, что я 2 = (хг+ уг) +1 О = хг+ уг ф О, если я ~ О. Таким образом, в качестве ~ следует взять,, 2'= -1 г+ г,г+ г г+уг Ь. Геометрическая интерпретация поля С.
Заметим, что после того, как алгебраические операции (1), (2) над комплексными числами введены, символ 1, который привел нас к этим определениям, перестает быть необходимым. гбО ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Комплексное число г = х+ ~у мы можем отождествить с упорядоченной парой (х, у) действительных чисел, называемых соответственно дейсшвишельноб частью и мнимой частью комплексного числа г (обозначения: х = Вег, у = йпг1)). Но тогда, считая пару (х, у) декартовыми координатами точки плоскости К~ = К х К, можно отождествить комплексные числа с точками этой плоскости или с двумерными векторами с координатами (х, у).
В такой векторной интерпретации покоординатное сложение (1) комплексных чисел соответствует правилу сложения векторов. Кроме того, такая интерпретация естественно приводит также к понятию модулл ~г~ комплексного числа г как модуля или длины соответствующего ему вектора (х, у), т. е. )з) = ~/Р + у~, если 2 = х + вр, а также к способу измерения расстояния между комплексными числами г1, гг как расстояния между соответствующими им точками плоскости, т. е. с помощью величины ~г1 — лг~ = Множество комплексных чисел, интерпретируемое как множество точек плоскости, называется комплексной плоскостью и также обозначается символом С, подобно тому, как множество вещественных чисел и числовая прямая обозначаются одним символом К. Поскольку точку плоскости можно задать также полярными координатами (г, ~р), связанными с декартовыми координатами формулами перехода х = гсоа~р, у = гяп<р, (5) комплексное число (6) можно также представить в виде г = г(соя<р+зя1п~р).
(7) Ц От лат. геев (вещественный) и пнаи1папив (мнимый). Записи (6) и (7) называют соответственно алгебраической и тригонометпрической формами комплексного числа. В записи (7) число г ) О называется модулем комплексного числа г (ибо, как видно из (5), т = ~г~), а у — аргументом числа г. Аргумент имеет смысл только при г ф. О.
В силу периодичности функций созе и я1п у аргумент комплексного числа определен с точностью до величины, кратной 2л, и символом Аг~ я обозначают множество углов вида у+2яй, Й Е У, где у — какой-то угол, удовлетворяющий соотношению (7). Если желают, чтобы комплексное число 261 $ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ однозначно определяло некоторый угол у Е Аг8 я, то договариваются заранее о диапазоне, в котором его выбирают.
Чаще всего это бывает полуинтервал 0 «р ( 2л или полуинтервал — я < ~р ( л. Если такой выбор сделан, то говорят, что выбрана ветвь (или главная ветвь) аргумента. Значения аргумента в пределах выбранного диапазона обычно обозначают символом агя г. Тригонометрическая форма (7) записи комплексных чисел удобна при выполнении операции умножения комплексных чисел. В самом деле, если л1 = г1(соз~р1+1зш~р1), л2 — — г~ (соз р~ + ю зш у2), то Е1 ' Г2 = (Г1 СОЗ ф1 + Ф Г1 З1П ф1)(Гр СОЗ ф~ + 3 Гд З1П фЗ) = = (г1г~ сОзф1 созфр — г1гз з|пф1 з1пф~) + + в (г1гр яп <р1 соз <рр + г1 гг соз ~р1 зш <рг ), г1 хр — — г1г2(соз(ср1+ срз) +тяп(ср1+ срр)).
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Заметим, что мы на самом деле показали, что если ~р1 Е Агя л1 и ~рг Е Агя зр, то (Ф1+ <ра) Е Аг8 (з1 хя). Но, поскольку аргумент определен с точностью до 2ггй, можно записать, что Агц (з1 зр) = Агд х1 + Агя аз, понимая это равенство как равенство множеств, правое из которых есть совокупность чисел вида ~р1 + ~о2, где <р1 6 Аг8л1, а у2 6 Аг8 юг. Таким образом, сумму аргументов полезно понимать в смысле равенства (9).
При таком понимании равенства аргументов можно, например, утверждать, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их модули и аргументы. Из формулы (8) по индукции вытекает следующая формула Муавра1): если я = г(соз~р+юяп~р), то з" = г" (созп<р+зяппу). (10) С учетом разъяснений по поводу аргумента комплексного числа формулу Муавра можно использовать, чтобы в явном виде выписать все комплексные решения уравнения з" = а. Действительно, если а = р(созф+ з з1п4) и в силу формулы (10) я" = г" (совий+ е яппи), 1) А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
