В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Тогда, перемножив в разложении (34) многочлена скобки (х — хь)(х — хь), получим многочлен х — (хь + хь) х + ~х~~г второго порядка с действительными козффициентами. Число с„, в нашем случае равное а„, вещественное, и его можно внести в одну из скобок разложения, не меняя ее степени. ° Перемножив одинаковые скобки в разложении (34), зто разложение можно переписать в виде 279 $5. кОмплексные числА и элементАРные а>ункции Число тс называется кратпностпью корня х~.
Поскольку Р(х) = (х — х )»' Я(х), где Я(х;) ~ О, то где В(хт) = й Я(хт) ф О. Таким образом, мы приходим к следующему заклю- чению. Следствие 3. Казсдый корень х. многочлена Р(х) кратпностпи й„> 1 является корнем кратностпи й. — 1 многочлена Р'(х) — производной Р(х). Не будучи пока в состоянии найти корни многочлена Р(х), мы на основании последнего утверждения и разложения (35) можем найти многочлен р(х) = = (х — х1)... (х — хр), корни х1,..., хр которого совпадают с корнями Р(х), но все они уже кратности 1.
Действительно, по алгоритму Евклида сначала найдем многочлен д(х)— наибольший общий делитель Р(х) и Р'(х). В силу следствия 3, разложения (35) и теоремы 2, многочлен д(х) с точностью до постоянного множителя равен произведению (х — х1)"' '... (х — хр)» ', поэтому, поделив Р(х) на д(х), с точностью до постоянного множителя (от которого можно затем избавиться дополнительным делением на коэффициент при Ы') получим многочлен р(х) = =( — )...( — х ).
Следствие 4. а) Если Я(х) = (х — х1) '... (х — х„) и — — правильная Р(х) Я(х) дробь, тпо сущестпвуетп и притпом единстпвенное предстпавление дроби — в ~И ) виде Р(х) ~ 1- а» (36) Ь) Если Р(х) и Я(х) — многочлены с дейстпвитпельными козффиииентпами и я(х) = (х — х1)»'...
(х — х~)»'(ха+ р1х+ 91)н'... (ха+ р„х+ о„) " тпо Рассмотрим теперь отношение В(х) = — двух многочленов, где Я(х) ф Р(х) Я(х) ф сопв$. Если степень Р(х) больше степени Я(х), то, применив алгоритм деления многочленов, представим Р(х) в виде Р(х) = р(х)Щх) + г(х), где р(х) и т(х) — некоторые многочлены, причем степены'(х) уже меньше, чем степень Я(х). Таким образом, получаем представление В(х) в виде В(х) = т(х) т(х) = р(х) + —, где дробь — уже правильная в том смысле, что степень т(х) Я(х) ' Я(х) меньше степени Я(х).
Следствие, которое мы сейчас сформулируем, относится к представлению правильной дроби в виде суммы дробен, называемых простпейшими. 280 ГЛ.Ч. ЛИФНЫХ>ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Р(х) существует и притом единственное представление правильной дроби— Я(х) в виде 1 й, и тл. ~+ "~ ~~ ~, 37 где а~ь, Ь ц, с;~ — действительные числа. Заметим, что универсальным, хотя и не всегда самым коротким способом фактического отыскания разложений (36) или (37) является метод неопределенных коэффициентов, состоящий в том, что сумма в правой части (36) или (37) приводится к общему знаменателю Я(х), после чего приравниваются коэффициенты полученного числителя и соответствующие коэффициенты многочлена Р(х).
Система линейных уравнений, к которой мы при этом приходим, в силу следствия 4 всегда однозначно разрешима. Поскольку нас, как правило, будет интересовать разложение конкретной дроби, которое мы получим методом неопределенных коэффициентов, то кроме уверенности, что это всегда можно сделать, нам от следствия 4 пока ничего больше не требуется. По этой причине мы не станем проводить его доказательство. Оно обычно излагается на алгебраическом языке в курсе высшей алгебры, а на аналитическом языке — в курсе теории функций комплексного переменного. Рассмотрим специально подобранный пример, на котором можно проиллюстрировать изложенное. Пример 17.
Пусть р(х) = 2хв+ Зхб+6х4+6хз+ 10х~+ Зх+ 2, Я(х) = х~+Зх~+5хь+7х4+7х~+5х +Зх+1; требуется найти разложение (37) дроби —. Р(х) Я(х) Прежде всего, задача осложнена тем, что мы не знаем разложения многочлена Я(х). Попробуем упростить ситуацию, избавившись от кратности корней Я(х), если таковая имеет место. Находим Я'(х) = 7хв + 18хв + 25х4 + 28хз + 21хз + 10х + 3. Довольно утомительным, но выполнимым счетом по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель И(х) = х4+2х +2х +2х+1 многочленов Я(х) и Я'(х). Мы выписали наибольший общий делитель с единичным коэффициентом при старшей степени х. Разделив Я(х) на И(х), получаем многочлен д(х) = х +х +х+1, г81 1 5. кОмплексные числА и элементАРные Функции имеющий те же корни, что и многочлен Я(х), но единичной кратности. Корень — 1 многочлена д(х) легко угадывается.
После деления д(х) на х + 1 получаем хг + 1. Таким образом, д(х) = (х'+ 1)(х + 1), после чего последовательным делением И(х) на хг + 1 и х + 1 находим разложение о(х): д(х) — (х+ 1)г( г + 1) а вслед за этим и разложение Я(х) = (х + 1)з(х + 1)г. Таким образом, в силу следствия 4Ь) ищем разложение дроби — в виде Р(х) Фх) Р(х) ап а1г а1з бпх + сп 61гх+ сгг = — + + + + Я(х) х+ 1 (х+ 1)г (х+ 1)з хг+ 1 (ха+ 1)г Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты полученного в числителе многочлена и соответствующие коэффициенты многочлена Р(х), приходим к системе семи уравнений с семью неизвестными, решая которую, окончательно получаем Р(х) 1 2 1 х — 1 х+ 1 ®х) х+1 (х+1)г+ (х+цз + хг+1+ (хг+1)г' Задачи и упражнении 1. Используя геометрическую интерпретацию комплексного числа: а) поясните неравенства !з1 + кг! ( !л1 ! + !аг! н !з1 +...
+ з ! ( !з1! +... + !з„!; Ь) укажите геометрическое место точек на плоскости С, удовлетворяющих соотношению !л — 1!+ !а+1! < 3; с) изобразите все корни степени п нз 1 н найдите нх сумму; й) поясните действие преобразования плоскости С, задаваемого формулой з «-+ Б. 2. Найдите суммы: а) 1 + о+... + Ч"; Ь) 1+я+" +Ч" +" пр !я! <1. с) 1+ е'"' +... + е'""; д) 1 + те'~ +...
+ т" е'""'; е) 1+ те'" +... + т" е'"" +... при !т! < 1; Г) 1+ тсозр+... + т"сов иу; ц) 1+тсоз«р+... +т"созиу+... при !т! < 1; ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ь) 1 + г О1п у +... + г" О1п иу; 1) 1 + ге1пу+... + гвош пу+... при ~г~ < 1. ®~~в 3.
Найдите модуль и аргумент комплексного числа 11ш (1+ -) и убедитесь, в-+во ~ в) что зто число есть е'. 4. а) Покажите, что уравнение е = а относительно ш имеет решение ~и = 1п ~г~+ +~ Агя х. Естественно считать ш нотпурал»ным логарифмом числа г. Таким образом, ы = 1 и а не есть функциональное соотношение, поскольку Агя г многозначен. Ь) Наидите 1п 1 и 1 и ~. с) Положим г = е ~"'. Найдите 1 и е'. Й) Используя представление аи = о1п г = —. (е" — е '*), получите выражение для 21 г = агсошг.
е) Есть ли в С точки, где ~е1п г~ = 2? 5. а) Исследуйте, во всех ли точках плоскости С функция 1(г) = 1 1+ гг непрерывна. Ь) Разложите функцию в степенной ряд при ао = О и найдите его радиус 1+ яг сходимости. с) Решите задачи а) и Ь) для функции , где Л б К вЂ” параметр. Не 1 +Лэ э7 возникает ли у вас гипотезы относительно того, взаимным расположением каких точек на плоскости С определяется радиус сходимости? Можно ли было понять это, 1 оставаясь на вещественной оси, т. е. раскладывая функцию, где Л Е Й и 1+ Лэаг ' х Е Й? б. а) Исследуйте, является лн непрерывной функция Коши уЕО Ля) = О, я=О в точке г = О.
Ь) Будет ли непрерывно ограничение Пн функции ~ иэ задачи а) на вещественную ось? с) Существует ли ряд Тейлора функции у из а) в точке ао = О? с1) Бывают ли аналитические в «о Е С функции, ряд Тейлора которых сходится только в точке го? е) Придумайте степенной ряд ~ с„(л — го)", который сходится только в точке го. вжо 7.
а) Выполнив в степенном ряде Я А„(г — а)в формально подстановку г — а = в=о = (а — го) + (ао — а) и приведя подобные члены, получите ряд Я Св(я — хо)" и в=о выражения его коэффициентов через величины А», (яо — а), я = О, 1,... Ь) Проверьте, что если исходный ряд сходится в круге ~» — а~ < В, а ~ао — а~ = = г < В, то ряды, определяющие Св, п = О, 1,..., сходятся абсолютно и ряд С„(г — го)" сходится при ~г — го~ <  — т. в=о ~ б.
ПРИМЕРЫ ПРИЛО>КЕНИИ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 283 с) Покажите, что если Дл) = 2„А„(л — а)" в круге ~л — а~ < В, а ~ло — а~ < а=О < я, то в круге ~г — го~ < Я вЂ” ~ао — а~ функция ~ допускает представление ~(я) = = Х. С.(л — ~о) . я=О 8. Проверьте, что а) когда точка я Е С пробегает окружность Ц = г > 1, точка ти = я+ л пробегает эллипс с центром О и фокусами в точках ~=2; Ь) при возведении комплексных чисел в квадрат, точнее, при отображении и~ ~+ ~ и~~ такой эллипс переходит в дважды пробегаемый эллипс с фокусом в нуле; с) при возведении комплексных чисел в квадрат любой эллипс с ценгром в нуле переходит в эллипс с фокусом в нуле.
8 6. Некоторые примеры использования диФференциального исчисления в задачах естествознания В этом параграфе мы разберем несколько довольно далеких друг от друга по постановке задач естествознания, которые, однако, как выяснится, имеют довольно близкие математические модели. Модель эта — не что иное, как простейшее дифференциальное уравнение для интересующей нас в задаче функции. С разбора одного такого примера — задачи двух тел — мы, кстати, вообще начинали построение дифференциального исчисления. Исследование той системы уравнений, которую мы при этом получили, пока нам недоступно. Здесь же будут рассмотрены вопросы, которые можно до конца решить уже на нашем нынешнем уровне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
