В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ракеты на жидком топливе, выводящей спутник на низкую околоземную орбиту. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИОЧИОЛЕНИЕ е) Оцените, для какой конечной скорости реактивное движение на жидком топливе имеет наибольший к. п. д. 1) Укажите, при каком отношении масс шт/т„топлива и корпуса к. п. д.
ракеты с любым видом топлива становится максимально возможным. 2. Барометприческая формула. а) Используя данные п. 2 настоящего параграфа, получите формулу поправочного члена для учета зависимости давления от температуры столба воздуха, если зта температура подвержена изменениям (например, сезонным) в пределах ~40' С. Ь) Найдите по формуле (9) зависимость давления от высоты при температурах — 40'С, 0'С, 40'С и сравните зти результаты с результатами, которые дает ваша приближенная формула из а). с) Пусть температура воздуха в столбе меняется с высотой по закону Т'(Ь) = = — аТ0, где Та — температура воздуха на поверхности Земли, а а ~ 7 10 ~ см Выведите при этих условиях формулу зависимости давления от высоты.
й) Найдите давление в шахте на глубинах 1 км, 3 км, 9 км по формуле (9) и по формуле, которую вы получили в с). е) Воздух независимо от высоты примерно на 1/5 часть состоит из кислорода. Парциальное давление кислорода составляет также примерно 1/5 часть давления воздуха. Определенный вид рыб может жить при парциальном давлении кислорода не ниже 0,15 атмосфер. Можно ли ожидать, что этот вид встретится в реке на уровне моря? Может ли он встретиться в речке, впадающей в озеро Титикака на высоте 3,81 км? 3. Радиоактпиеныб распад.
а) Измеряя количество радиоактивного вещества и продуктов его распада в пробах пород Земли и считая, что сначала продукта распада вообще не было, можно примерно оценить возраст Земли (во всяком случае, с того момента, когда зто вещество уже возникло). Пусть в породе имеется тп г радиоактивного вещества и г г продукта его распада. Зная период Т полураспада вещества, найдите время, прошедшее с момента начала распада, и количество радиоактивного вещества в пробе того же объема в начальный момент.
Ь) Атомы радия в породе составляют примерно 10 '~ часть всех атомов. Каково было содержания радия 10, 10 и 5 10 лет тому назад? (5 10 лет ориентировочно считается возрастом Земли.) с) В диагностике заболеваний почек часто определяют способность почек выводить из крови различные специально вводимые в организм вещества, например креатин (еклиренс тестэ), Примером, иллюстрирующим обратный процесс того же типа, может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у больного, внезапно потерявшего много крови. Во всех зтих случаях уменьшение количества введенного вещества (или, наоборот, восстановление недостающего количества) подчиняется закону Ф = Фее ~, где М вЂ” количество (или, иными словами, число молекул) вещества, еще оставшегося в организме по прошествии времени Ф после введения количества Юа, а т — так называемая посп~оянная времени: это время, по прошествии которого в организме остается 1/е часть первоначально введенного количества вещества.
Постоянная времени, как легко проверить, в 1,44 раза больше времени полужизни (или времени полураспада), по истечении которого в организме остается половина первоначального количества вещества. 1 б. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Пусть радиоактивное вещество выводится из организма со скоростью, характеризуемой постоянной времени т0, и в то же время спонтанно распадаетсл с постоянной времени т~. Покажите, что в этом случае постоянная времени т, характеризующал длительность сохранения вещества в организме, определяетсл из соотношения -1 -1 -1 т то +т й) У донора было взято некоторое количество крови, содержащее 201 мг железа; для того чтобы компенсировать потерю железа, ему было велено принимать трижды в день в течение недели таблетки сернокислого железа, содержащие каждая 67 мг железа.
Количество железа в крови донора восстанавливается до нормы по экспоненциальному закону с постоянной времени, равной примерно семи суткам. Полагая, что с наиболыпей скоростью железо нз таблеток включается в кровь сразу же после взятия крови, определите, какая примерно часть железа, содержащегося в таблетках, включится в кровь за все время восстановления нормального содержания железа в крови.
е) Больному со злокачественной опухолью было введено с диагностическими целями некоторое количество радиоактивного фосфора Рз~, после чего через равные промежутки времени измерялась радиоактивность кожи бедра. Уменьшение радиоактивности подчинялось экспоненциальному закону. Так как период полураспада фосфора известен — он составляет 14, 3 суток, — по полученным данным можно было определить постоянную времени процесса уменьшения радиоактивности за счет биологических причин. Найдите эту постоянную, если наблюдениями установлено, что постоянная времени процесса уменьшения радиоактивности в целбм составляет 9,4 суток (см.
выше задачу с)). 4. Поглощение излучения. Прохождение излучения через среду сопровождается частичным поглощением излучения этой средой. Во многих случаях (линейная теория) можно считать, что, проходя через слой толщиной 2 единицы, излучение ослабляетсл так же, как при последовательном прохождении через два слоя толщиной 1 каждый. а) Покажите, что при указанном условии поглощение излучекил подчиняется закону 1 = 1ое ', где 1е — интенсивность излучения, падакяцего на поглощающее вещество, 1 — интенсивность после прохождения слоя толщиной 1, а Й вЂ” коэффициент, имеющий размерность, обратную размерности длины.
Ь) Коэффициент и в случае поглощения света водой в зависимости от длины волны падающего света, например, таков; ультрафиолет, я = 1,4 10 ~; синий, л = = 4,6-10 4; зеленый, я = 4,4.10 4; красный> я = 2,9 10 ~. Солнечный свет падает вертикально ка поверхность чистого озера глубиной 10 м. Сравните интенсивности каждой из перечисленных вьппе компонент солнечного света над поверхностью озера и на дне. 5. Покажите, что если закон движения точки х = х(Ф) удовлетворяет уравнению шх + ях = О гармонических колебаний, то: а) величина Е = + — постоянна (Е = К+ У вЂ” сумма кикетической мха(Ф) лх~(4) 2 2 нъй~ (Ф) йх~(~) К = и потенциальной У = — энергий точки в момент Ф); 2 2 Ь) если х(0) = Он х(0) = О, то х(Ф):-0; с) существует и притом единственное движение х = х(8) с начальными условиями х(0) =хо и х(0) =во.
Зоо ГЛ. Ч. ДИФч»ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИС««ИСЛЕНИЕ «1) Проверьте, что если точка движется в среде с трением и х = х(Ф) удовлетворяет уравнению тих + ах + ях = О, а > О, то величина Е (см, а)) убывает. Найдите скорость этого убывания и объясните физический смысл полученного результата, учитывая физический смысл величины Е.
б. Движение под дебстпеием гуноесно4~~ центпральной симы (плоский осцнллятор). В развитие рассмотренного в и. 6 и задаче 5 уравнения (21) линейного осциллятора рассмотрим уравнение тпг(Ф) = — Йг($), которому удовлетворяет радиус-вектор г(1) точки массы ти, движущейся в пространстве под действием притягивающей центральной силы, пропорциональной (с коэффициентом пропорциональности я > О) расстоянию ~г(1) ~ от центра.
Такая сила возникает, если точка соединена с центром гуковской упругой связью, например пружиной с коэффициентом жесткости Й. а) Продифференцировав векторное произведение г(1) х г(1), покажите, что все движение будет происходить в плоскости, проходящей через центр и содержащей векторы го = г($о), го = г(Фо) начального положения и начальной скорости точки (плоский осциллятор). Если векторы го = г(Фо), го = г($о) коллинеарны, то движение будет происходить на прямой, содержащей центр и вектор го (линейный осциллятор, рассмотренный в п. 6). Ь) Проверьте, что орбитой плоского осциллятора является эллипс и движение по нему периодично.
Найдите период обращения. с) Покажите, что величина Е = тт»г~($) + яг (Ф) сохраняется во времени. «1) Покажите, что начальные данные го = г($о), го = г(Фо) вполне определяют дальнейшее движение точки. 7. Эллмипичностпь п ьанетпных орбитп. Предыдущая задача позволяет рассматривать движение точки под действием центральной гуковской силы происходящим в плоскости. Пусть это плоскость комплексной переменной « = х +»у. Движение определяется двумя вещественными функциями х = х($), у = у($) или, что то же самое, одной комплекснозначной функцией « = «($) времени Ф.
Полагая для простоты в задаче б тв = 1, Й = 1, рассмотрим простейший вид уравнения такого движения «(Ф) = — «(Ф). а) Зная из задачи 6, что решение этого уравнения, отвечающее конкретным начальным данным «о = «(Фо), «о = «(8о), единственно, найдите его в виде «($) = = с1е" + сне " и, используя формулу Эйлера, проверьте еще раз, что траекторией движения является эллипс с центром в нуле (в определенных случаях он может превратиться в окружность или выродиться в отрезок — выясните когда). Ь) Учитывая, что величина ~«(Ф) ~~ + ~«($) ~~ не меняется в процессе движения точки «($), подчиненного уравнению «($) = — «($), проверьте, что точка ти(Ф) = «~(Ф) по отношению к новому параметру (времени) т, связанному с Ф соотношением т = т($) Ю~ « И то таким что — = ~«($) ~ движется при этом подчиняясь уравнению — = — с— \ ц 3 \ йтз ~цу~л ' где с — постоянная, а ти = ти(«(г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
