В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Таким образом, движения в центральном поле гуковских сил и движения в ньютоновском гравитационном поле оказались взаимосвязаны. 1~ Р. Гук (1635 — 1703) — английский естествоиспытатель, разносторонний ученый и экспериментатор. Открыл клеточное строение тканей и ввел сам термин «клетка». Стоял у истоков математической теории упругости и волновой теории света, высказал гипотезу тяготения и закон обратных квадратов для гравитационного взаимодействия. З01 $ 7. ПЕРВООВРАЗНАЯ с) Сопоставьте зто с результатом задачи 8 из $ 5 и докажите теперь эллиптич- ность планетных орбит.
й) Если вам доступен компьютер, то, взглянув еще раз на изложенный в и. 5 метод ломаных Эйлера, для начала подсчитайте этим методом несколько значений е*. (Заметьте, что кроме определения дифференциала, точнее, формулы Дх„) и т Дх„1) + ~'(х„1) Ь, где Ь = х — х„1, метод ничего не использует.) Пустьтеперьг(1) =(х(Ф),у(й)), го=г(0) =(1,0), го=г(0)=(0,1) и г(й) = — —. г(й) ~ .(~)~з ' Опираясь на формулы г(г ) =г(г -1)+~(Ф -1)Ь, ч(й„) ъ ч(й„1) + а(й„1) Ь, где ч(Ф) = г(1), а(1) = ч(й) = г(Ф), методом Эйлера рассчитайте траекторию движения точки, посмотрите, какой она формы и как она проходится точкой с течением времени. З 7. Первообраэная В дифференциальном исчислении, как мы убедились на примерах предыдущего параграфа, наряду с умением дифференцировать функции и записывать соотношения между их производными весьма ценным является умение находить функции по соотношениям, которым удовлетворяют их производные.
Простейшей, но, как будет видно из дальнейшего, весьма важной задачей такого типа является вопрос об отыскании функции Р(х) по известной ее производной Р'(х) = Дх). Начальному обсуждению этого вопроса и посвящен настоящий параграф. 1. Первообразная и неопределенный интеграл Определение 1.
Функция Р(х) называется первообразной функцией или первовбразной по отношению к функции ~(х) на некотором промежутке, если на этом промежутке функция Р дифференцируема и удовлетворяет уравнению г" (х) = ~(х) или, что то же самое, соотношению аГ(х) = ~(х) ах. Пример 1. Функция г(х) = агс~~х является первообразной для ~(х) = 1 > 1 1+ х2 на всеи числовои прямои, поскольку агсф х = —.
1+ х~. Пример 2. Функция Г(х) = агссф~ — является первообразной для функ- 1 1 ции Дх) = — как на промежутке всех положительных чисел так и на 1+х2 > полуоси отрицательных чисел, ибо при х ф 0 Г'(х) — = = ~(х). 1 2 х2 1+х~ Как обстоит дело с существованием первообразной и каково множество первообразных данной функции? 302 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В интегральном исчислении будет доказан фундаментальный факт о том, что любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную.
Мы приводим этот факт для информации читателя, а в этом параграфе используется, по существу, лишь следующая, уже известная нам (см. гл. Ч, ~ З,п. 1) характеристика множества первообразных данной функции на числовом промежутке, полученная из теоремы Лагранжа.
Утверждение 1, Если Рд(х) и Ер(х) — две первообразные функции ~(х) на одном и»пом же промежутпке, »по их разностпь г"д(х) — с2(х) постпоянна на эдпом промежупдке. Условие, что сравнение Кд и Рг ведется на связном промежутке, как отмечалось при доказательстве этого утверждения, весьма существенно. Это можно заметить также из сопоставления примеров 1 и 2, в которых производные функций Рд (х) = агс1~ х и г2(х) = агеева~ — совпадают в области й ~ О их совместного определения.
Однако Гд(х) — Гг(х) = агсФцх — агссФд — = агсгдх — агсг~х = О, 1 если х > О, в то время как Г~ (х) — Г2(х) = — дг при х < О, ибо при х < О имеем агссф — = дг + агсФд х. 1 Как и операция взятия дифференциала, имеющая свое название «дифференцирование» и свой математический символ аГ(х) = Р'(х) Нх, операция перехода к первообразной имеет свое название «неопределенное интегрирование» и свой математический символ (х) сЬ, называемый неопределенным интегралом от функции Дх) на заданном промежутке.
Таким образом, символ (1) мы будем понимать как обозначение любой из первообразных функции ~ на рассматриваемом промежутке. В символе (1) знак ~ называется знаком неопределенного интпеграла, ~— подынтпегральная функция, а Дх) сЬ вЂ” подынтегральное выражение. Из утверждения 1 следует, что если Р(х) — какая-то конкретная перво- образная функции ~(х) на промежутке, то на этом промежутке (2) т. е. любая другая первообразная может быть получена из конкретной Р(х) добавлением некоторой постоянной. $7.
ПЕРВООВРАЗНАЯ Если Р'(х) = Дх), т, е, Р— первообразная для У на некотором промежутке, то из (2) имеем (3) Кроме того, в соответствии с понятием неопределенного интеграла как любой из первообразных, из (2) следует также, что (4) Формулы (3) и (4) устанавливают взаимность операций дифференцирования и неопределенного интегрирования. Эти операции взаимно обратны с точностью до появляющейся в формуле (4) неопределенной постоянной С.
До сих пор мы обсуждали лишь математическую природу постоянной С в формуле (2). Укажем теперь ее физический смысл на простеишем примере. Пусть точка движется по прямой так, что ее скорость е($) известна как функция времени (например, о($):— в). Если х(1) — координата точки в момент $, то функция х(8) удовлетворяет уравнению х(Ф) = о(8), т. е. является первообразной для о(Ф). Можно ли по скорости и(8) в каком-то интервале времени восстановить положение точки на оси? Ясно, что нет.
По скорости и промежутку времени можно определить величину пройденного за зто время пути я, но не положение на оси. Однако зто положение также будет полностью определено, если указать его хотя бы в какой-то момент, например при $ = О, т. е. задать начальное условие х(0) = хе, До задания начального условия закон движения х(1) мог быть любым среди законов вида х(Ф) = х(Ф) + с, где х($) — любая конкретная первообразная функции о($), а с — произвольная постоянная. Но после задания начального условия х(0) = хо вся неопределенность исчезает, ибо мы должны иметь х(0) = х(0) + с = хо, т.
е. с = хо — х(0), и х(Ф) = хо + [х(Ф) — х(0)). Последняя формула вполне физичка, поскольку произвольная первообразная х участвует в формуле только в виде разности, определяя пройденный путь или величину смещения от известной начальной метки х(0) = хо.
2. Основные общие приемы отыскания первообразной. В соответствии с определением символа (1) неопределенного интеграла, он обозначает функцию, производная которой равна подынтегральной функции. Исходя из зтого определения, с учетом соотношения (2) и законов дифференцирования можно утверждать, что справедливы следующие соотношения: а. / (аи(х)+Хи(х))Ш = а~ и(х)Ш4-ф/и(х) ~Ь их. /(ии) (х) ~Ь = /и (х)и(х)Их+/и(х)х (х)ах+и. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 304 с. Если на некотором промежутке 1~ Дх) йг = .с'(х) + с, а у: 1с — ~ 1 — гладкое (т. е.
непрерывно дифферениируемое) отображение промежутка Х~ в 1~, то ~У*МЮМЖа= (Р*юН~) + (7) х сЬ= — х+ +с (аф1), 1 а+1 — Нх = 1п~х~+с, 1 х а* ~Ь = — а + с (О ( а ф. 1), 1па е сЬ = е*+с, созх сЬ = з1пх+ с, 1 2 Их ФКх+с1 соз2х 1 —.2 дх= — с~ах+с> з1п2х ~ агсз1пх+ с, <Ь = /Г ~7 ~ — ахссавж + с, Равенства (5), (6), (7) проверяются прямым дифференцированием их левой и правой частей с использованием в (5) линейности дифференцирования, в (6) правила дифференцирования произведения и в (7) правила дифференцирования композиции функций.
Подобно правилам дифференцирования, позволяющим дифференцировать линейные комбинации, произведения и композиции уже известных функций, соотношения (5), (6), (7), как мы увидим, позволяют в ряде случаев сводить отыскание первообразной данной функции либо к построению первообразных более простых функций, либо вообще к уже известным первообразным. Набор таких известных первообразных может составить, например, следующая краткая таблица неопределенных интегралов, полученная переписыванием таблицы производных основных элементарных функций (см. ~ 2, и.
3): 305 1 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 1 ~ агсФдх~+ с, ах = 1+ х2 1 — агссСдх+ с, — ах = ФЬх+с 1 сЬ2 х 1 — ах = — сФЬх+ с, яЬ х Их=1х~х+~/х ~1~+х, 1 х ~1 1 1 1+х~ Их = — 1п — ~+с. х2 =Ю Каждая из этих формул рассматривается на тех промежутках вещественной оси К, на которых определена соответствующая подынтегральная функция.
Если таких промежутков несколько, то постоянная с в правой части может меняться от промежутка к промежутку. Рассмотрим теперь некоторые примеры, показывающие соотношения (5), (б) и (7) в работе. Сделаем предварительно следующее общее замечание. Поскольку, найдя одну какую-нибудь первообразную заданной на промежутке функции, остальные можно получить добавлением постоянных, то условимся для сокращения записи всюду в дальнейшем произвольную постоянную добавлять только к окончательному результату, представляющему из себя конкретную первообразную данной функции.
а. Линейность неопределенного интеграла. Этот заголовок должен означать, что в силу соотношения (5) первообразную от линейной комбинации функций можно искать как линейную комбинацию первообразных этих функций. Пример 3. (ао + а1х +... + а„х") сЬ = = ао 1ах+а1 хах+... +а, х ах = с+ аох+ а1х2 + + а ха+1 1 2 1 ГЛ,Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 4.
х + — ((Ь = х~ + 2 /х + — йю = х х х ~1х+ 2 ~х1/2~~х+ ~1х 1 хз + — хз~з + 1п~х~ + с. У х 3 3 Пример 5. соа2 х дх = / — (1 + сои х) ()1х = — ~(1 + сов х) Ых = 2/ = — ~1с1х+ — () совх()1х = -х+ — е1пх+ с. Ь. Интегрирование по частим. Формулу (6) можно переписать в виде и(х)и(х) = /и(х)дс(х) + /с(х) Йг(х) ~-с или, что то же самое, в виде и(х) Ни(х) = и(х) и (и) — /и(х) Ии(х) + с. (6') Пример 6. Г 1 1пх~Ь = х1пх — хд1пх = х1пх — ~ х — <Ь = = х 1п х — 1 Их = х 1п х — х+ с. Пример 7. х~е~йх = х~де~ = х е' — е сЬ~ = х~е* — 2 хе*йх = = х~е* — 2 х Ые* = х е — 2 хе* — е*дх = х2е — 2хе* + 2е* + с = (хз — 2х + 2) е' + с. Это означает, что при отыскании первообразной функции и(х)о'(х) дело можно свести к отысканию первообразной функции и(х)п'(х), перебросив дифференцирование на другой сомножитель и частично проинтегрировав функцию, как показано в (6'), выделив при этом член м(х)о(х). Формулу (6') называют формулой иктпегрированиа по частпям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
