В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 62
Текст из файла (страница 62)
К нему тоже можно прийти из уравнения (18), если вос- и=О пользоваться следующим часто применяемым приемом, называемым методом неопределенных коэффициентов. Будем искать решение уравнения (18) в виде суммы степенного ряда Дх) = св + с1х+... + с„х" +..., (20) коэффициенты которого подлежат определе- 0 Ь2Ь нию, Рис. 46 Как мы видели (см. ~ 5, теорема 1), из (20) У'"'(0) следует, что с„=, . Но в силу (18) ДО) = У'(0) = ... = У~"~(О) = ... и, поскольку ДО) = 1, имеем с„= —, т. е. если решение имеет вид (20) и 1 и! ' ДО) = 1, то обязательно ~(х) = 1+ — х+ — х +...
+ — х" + .. 2 1 и 1! 2! ' п! Можно было бы независимо проверить, что функция, определяемая этим рядом, действительно дифференцируема (и не только при х = 0) и что она удовлетворяет уравнению (18) и начальному условию ДО) = 1. Однако мы не будем на этом останавливаться, ибо наша цель состояла только в том, чтобы понять, согласуется ли введение экспоненциальной функции как решения уравнения (18) при начальном условии ДО) = 1 с тем, что мы раньше подразумевали под функцией ехрх. Заметим, что уравнение (18) можно было бы рассматривать в комплексной области, т. е.
считать х произвольным комплексным числом. При этом все проведенные рассуждения останутся в силе, быть может, только частично потеряется геометрическая наглядность метода Эйлера. Таким образом, естественно ожидать, что функция 2 1 и Е' =1+ — 2+ — 2 +...+ — ли+ .. 1! 2.' п! является и притом единственным решением уравнения У'( ) =1(2) удовлетворяющим условию ДО) = 1. 6. Колебания.
Если тело, подвешенное на пружине, отклонить от положения равновесия, например, приподняв, а затем отпустив его, то оно будет совершать колебания около положения равновесия. Опишем этот процесс в общем виде. ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пусть известно, что на материальную точку массы т, способную перемещаться вдоль числовой оси Ох, действует сила Р = — йх, пропорциональная'> отклонению точки от начала координат.
Пусть нам известны также начальное положение хо = х(0) нашей точки и ее начальная скорость по = х(0). Требуется найти зависимость х = х(Ф) положения точки от времени. В силу закона Ньютона, эту задачу можно переписать в следующем чисто математическом виде: решить уравнение шх(~) = — йх(~) (21) при начальных условиях хо — — х(0), х(0) = оо. Перепишем уравнение (21) в виде х(ь) + — х(с) = О й (22) и попробуем вновь воспользоваться экспонентой, а именно попробуем подобрать число Л так, чтобы функция х(Ф) = е"' удовлетворяла уравнению (22).
Подставляя х($) = е"' в (22), получаем Л + — ел' =О, или Л + — =О, 2 й тв (23) е = сову — Ф вЂ” г в1п ~ — ~, /й .. /й т т е ь = сов ~ — $ + в вш ~ — Ф, ;.~~7- ГГ .. ~ь Поскольку при дифференцировании по действительному времени 8 происходит отдельно дифференцирование действительной и мнимой частей функции е, то уравнению (22) должны удовлетворять порознь и функция сов ~( — 1 и лс ~й Ч Ж функция вшу — Ф. И это действительно так, в чем легко убедиться прямой ЦВ случае пружины козффициент к > О, характеризующий ее жесткость, называют козфФиииектвом жесьпкостпи пружины.
й т. е. Л1 — — — у — —, Л~ — — у — —. Поскольку т > О, то при й > О мы имеем два чисто мнимых числа: Л1 = -г ~~ — и Л~ = а ~( —. На это мы не рассчитывали ~т т ! но тем не менее продолжим рассмотрение. По формуле Эйлера з 6. пРимеРы пРиложении В зАдАчАх естествознАния 295 проверкой. Итак, комплексная экспонента помогла нам угадать два решения уравнения (22), линейная комбинация которых х(1) = с1 сов ~ — 1+ с2 61п ~( — 1, т ~т ' (24) очевидно, также является решением уравнения (22). Коэффициенты с1, с2 в (24) подберем из условий хо — — х(0) = с1, оо = х(0) = — с~у — вш~ — 1+ с2~ — сов~ — й( = с2у —.
т т Таким образом, функция х(Ф) = хо сов ~ — 1 + оо ~ — в1п ~ — 1 Ч (25) является искомым решением. Делая стандартные преобразования, (25) можно переписать в виде х(Ф) = хо+ оо — вш ~~ — й+ а, 5т (26) где ции е"" = ехр -~ — — Ф~, е"" = ехр~ф — — Ф~ будут вещественными реше- т пнями уравнения (22) и функция х(~) = е~'~+с е~'~ (27) также будет решением. Постоянные с1 и с2 подберем из условий < хо — х(0) = с1 + с2, оо = х(О) = с1 Л1 + с2 Л2 а = агсвш хо хо + ео 2 2т /с Таким образом, при й > 0 точка будет совершать периодические колеГГ бания с периодом Т = 2я ~ —, т.
е. с частотой — = — ~ —, и амплитудой 1/ь' Т 2я ~(т' хо2+ оо2 —. Мы утверждаем это потому, что из физических соображений ясно, что решение (25) поставленной задачи единственно. (См. задачу 5 в конце параграфа.) Движение, описываемое функцией (26), называют простыми гармоническими колебанилми, а уравнение (22) — уравнением еармоничесхих колебании Вернемся теперь к случаю, когда в уравнении (23) й < О.
Тогда две функ- 296 ГЛ.Ч. ДИ432ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Полученная система всегда однозначно разрешима, ибо ее определитель л — л ~о. Поскольку числа Лд и Лг противоположного знака, то из (27) видно, что при й с 0 сила г = — йх не только не стремится вернуть точку в положение равновесия х = О, но со временем неограниченно уводит ее от этого положе- Э ния, если хо или д)о отлично от нуля. То есть в этом случае х = 0 — точка неустойчивого равновесия.
В заключение рассмотрим одну вполне естественную модификацию уравнения (21), на которой еще ярче видна польза показательной функции и формулы Эйлера, связывающей основные элементарные функции. Предположим, что рассматриваемая нами частица движется в среде (воздухе или жидкости), сопротивлением которой пренебречь нельзя.
Пусть сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. Тогда вместо уравнения (21) мы должны написать уравнение хМ = — ах'(~) — ~х(~), которое перепишем в виде х(ю) + — х(ю) + — (с) = О. а. й (28) Если вновь искать решение в виде х(Ф) = е"', то мы придем к квадратному уравнению + — Л+ — =О, г а пд т а' — 4тй корни которого Ав в = — к 22Т2 2т Случай, когда аг — 4тй > О, приводит к двум вещественным корням Лд, Лг, и решение может быть найдено в виде (27). Мы рассмотрим подробнее более интересный для нас случай, когда аг— — 4тй < О.
Тогда оба корня Лд, Лг комплексные (но не чисто мнимые!): а . ъг4тй — вв л д 2тп 2т а . /4тй — ав + Формула Эйлера в этом случае дает а ев" = ехр(- — 41(совис — 4вшис), 2222 / ев*' = ехр ( — — 4) (сов ив + в вш ий) а 22уй у 4тй — ав где м = . Таким обрекем, мы находим двв вешествевкьш решения 2т ехр(- — 4) совий, ехр( — — 41вшив урввкеквя (28), угадать которые было $6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 297 бы уже довольно трудно.
Затем ищем решение исходной задачи в виде их линейной комбинации х($) = ехр~- ~ Й(с1 совмФ+с281пм~), 2тп т (29) подбирая с1 и сз так, чтобы удовлетворить начальным условиям ж(0) = яо л(0) = ио. Получающаяся при этом система уравнений, как можно проверить, всегда однозначно разрешима. Таким образом, после преобразований из (29) получаем решение задачи в виде х(~) = А ехр( — ~~) 8!п(иФ+ а), (30) где А и а — константы, определяемые начальными условиями. Из этой формулы видно, что благодаря множителю ехр1 — ~ Й, где а > О, 2тп /' тп > О, в рассматриваемом случае колебания будут затпухающими, причем скорость затухания амплитуды зависит от отношения -~.
Частота колебаний 1 1 Й /абаз — м = — — — ~ — ) меняться во времени не будет. Величина ы тоже за2к 2~г тп ~2тп) Й а висит только от отношении —, —, что, впрочем, можно было предвидеть на основании записи (28) исходного уравнения. При а = 0 мы вновь возвращаемся к незатухающим гармоническим колебаниям (2б) и уравнению (22). Задачи и упражнения 1. Козффициентп полезного дебстпвия реактпивного движения. а) Пусть Я вЂ” химическая энергия единицы массы топлива ракеты, ы — скорость истечения топлива.
Тогда — со есть кинетическая энергия выброшеннои единицы 1 2 2 массы топлива. Коэффициент а в равенстве — ш = а© есть коэффициент полезного 1 2 2 действия процессов горения и истечения топлива. Для твердого топлива (бездымный порох) ш = 2 км/с, Я = 1000 кквл/кг, а для жидкого (бензин с кислородом) м = 3 км/с, Я = 2500 ккал/кг. Определите в этих случаях коэффициент а.
Ь) Коэффициент полезного действия (к. и. д.) ракеты определяется как отноиз шение ее конечной кинетической энергии тп„— к химической энергии сгоревшего 2 топлива тт9. Пользуясь формулой (4), получите формулу для к. п. д. ракеты через ' тпк, тпт, Я и ст (см. а)). с) Оцените к. и. д. автомобиля с жидкостным реактивным двигателем, если автомобиль разгоняется до установленной в городе скорости 60 км/час. с1) Оцените к, и. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
