В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 65
Текст из файла (страница 65)
57. ПЕРВООВРАЗНАЯ с. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула (7) показывает, что при отыскании первообразной функции (~о(р) ($) у'($) можно поступать следующим образом: |(1 с,)(с), (с) . = |1(,(с)) ~с(с) = = /Ди) Ш = с (и) 4. с = Р(и(1)) + с, т. е. сначала произвести замену (р(Ф) = х под знаком интеграла и перейти к новой переменной х, а затем, найдя первообразную как функцию от х, вернуться к старой переменной Ф заменой х = (р(8). Пример 8. — = — / = — ~ — = — 1п ~х~ + с = — 1п (Ф~ + 1) + с. | Фа 1 ГИ(82+1) 1 Г(Ь 1 1 1+9 2,/ 1+9 2,/ х 2 2 Пример 9. ~~х 1 ох 1 "2 1пх / 2я1п х соя х / ф~ х совках 2 2 2 2 „сояг, = (п)и) + с = )п(сП и) и с = 1п(СП -! + с. Мы рассмотрели несколько примеров, в которых использовались порознь свойства а, Ъ, с неопределенного интеграла.
На самом деле в большинстве случаев зти свойства используются совместно. Пример 10. я1п2х совЗх Их = — ~ (вш5х — вшх) (Ь = | 1 Г 2./ 1/1 1 = -ц вш5х(Ь вЂ” „~ яшхдх~ = -~ — „~ яш5хд(5х)+ совх 2Ц 1 1 1 = — у яши йи+ — совх = — — соях+ — созх+ с = 10/ 2 10 2 = -созх — — соз5х+ с. 1 1 2 10 11 Зорич В. Л. 308 ГЛ. ~. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 11. агсвшх сЬ = х агсяпх — х Нагсвшх = 1 Г41 — *') = лагман!пт — ~ Ых = лыснЬт+ — ~ 1 — з =хагсяпх+ — ~ и ' сЬ =хагсзшх+и +с= 1 Г -1Г2 1Г2 2/ = х ысв1п х + с/ ( — л2 + с. Пример 12. е'*совЬхах = — ~созЬхае * = а,/ 1 г = — еах соз Ьх — — / е * асов Ьх = — е сои Ьх + — ~ е вш Ьх сЬ = ах Ь Г ах й а й а/ Ь = — е'х соз Ьх + — зш Ьх деа* = — еах сои Ьх + — е х яп Ьх— й а2 / а а2 Ь Г ах ~, а сов Ьх+ ЬЯпЬх ах Ь / ах Ь ц — еах Из1пЬх = е — — ~е сов х *И о а2 а,/ Из полученного равенства заключаем, что асовдх+ дяпЬх еах сои дх йю = е х+с.
а2+ Ь2 К этому результату можно было бы прийти, воспользовавшись форму- (а+1Ь) х лой Эйлера и тем обстоятельством, что первообразной функции е = е * соз Ьх + ге * яп Ьх является функция 1 (а+ьь), а — ь Ь (а+ьь) х + Ье а2+Ь2 е асовдх+ ЬяпЬх „. аяпЬх — ЬсовЬх е'*+ ~ е а2 + Ь2 а2 + Ь2 Это полезно иметь в виду и в будущем. При вещественном х это легко проверить непосредственно, продифференцировав действительную и мнимую части фуНКцнн — и (а+в'Ь) х а+зЬ В частности, отсюда получаем также, что ах * Ь ~ аз|пЬх ЬсозЬх ах еах з1п Ьх пх = а2+ Ь2 Уже этот небольшой набор разобранных примеров показывает, что при отыскании первообразных даже элементарных функций часто приходится прибегать к дополнительным преобразованиям и ухищрениям, чего совсем ~ 7.
ПЕРВООБРАЗНАЯ 309 не было при отыскании производных композиции тех функций, производные которых нам были известны. Оказывается, это не случайная трудность. Например, в отличие от дифференцирования, переход к первообразной элементарной функции может привести к функции, которая уже не является композицией элементарных. Поэтому не следует отождествлять фразу «найти первообразную» с невыполнимым порой заданием «выразить первообраэную данной элементарной функции через элементарные функции».
Вообще, класс элементарных функций — вещь очень условная. Имеется еще много важных для приложений специальных функций, которые изучены и затабулированы ничуть не хуже, чем, скажем, вш х или е*. Г вшх Например, интпегральный синус й х есть та первообразная ~ — Их функх вшх ции —, которая стремится к нулю при х -+ О. Такая первообразная сущех вшх ствует, но, как и любая другая первообразная функции —, она не является х композицией элементарных функций. Аналогично, функция С1х = ~ — й., Г совх х выделяемая условием С1 х -+ О при х -+ оо, не является элементарной.
Функция С1х называется ин«7«егральным косинусом. Г ях 1 Первообразная ~ — функции — также неэлементарна. Одна из перво/ 1вх 1вх образных этой функции обозначается символом 11 х и называется и««тпеграль»«ым логарифмом. Она удовлетворяет условию 11 х -+ О при х — ~ +О. (Подробнее о специальных функциях Й х, С1 х, 11 х будет сказано в гл. У1, ~ 5.) Учитывая эти трудности отыскания первообразных, составлены довольно обширные таблицы неопределенных интегралов.
Однако, чтобы успешно ими воспользоваться или чтобы не прибегать к ним, если вопрос совсем прост, необходимо иметь некоторые навыки обращения с неопределенными интегралами. Дальнейшая часть этого параграфа посвящена интегрированию функций из некоторых специальных классов, первообразные которых выражаются в виде композиции элементарных функций. 3. Первообразные рациональных функций. Рассмотрим вопрос об интегралах вида /В(х) дх, где В(х) = — есть отношение полиномов. Р(х) Я(х) Если действовать в области вещественных чисел, то, не выходя за пределы поля вещественных чисел, любую такую дробь, как известно из алгебры (см.
формулу (37) из ~ 5, п. 4), можно разложить в сумму ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ где р(х) — многочлен (он появляется при делении Р(х) на ц(х), только если степень Р(х) не меньше степени Ц(х)), а», Ь», с-» — однозначно определяемые действительные числа, а 4,~(х) = (х- х1)»'... (х — хс)~' (х +р|х+ т) ... (хг + р„х + д„) 0 том, как строить разложение (8), мы уже говорили в 2 5. После того как разложение (8) построено, интегрирование функции В(х) сводится к интегрированию отдельных слагаемых. Многочлен мы уже интегрировали в примере 1, поэтому остается рассмотреть только интегрирование дробей вида (х а)» (хг + рх+ ~)» ' Вопрос о первой из этих дробей решается сразу, ибо 1 (х — а)»+1+с при й ф 1, -й+ 1 1 , ах= (х — а)» 1п <х — а1+ с при й=1.
С интегралом Ьх+ с (хг + рх + д)» поступим следующим образом. Представим многочлен хг + рх + д в виде < *+ 2р1 + ~~ — 4р ), где ~ — 4рг > О, так как многочлен х +рх+д не имеет 1 2 вещественных корнеи. Полагая х+ -р = и и д — -р = а получаем 1 1 2 1 Ьх+ с ~Г аи+,8 (хг + рх + д) ",/ (иг + аг)» где а = Ь,,В = с — - Ьр. 1 2 Далее, и 1 14и~+ (и2 + а2)» 2 / (и2 + аг)» (иг+а ) + при Й ф.
1, 1 2 — 1п(иг + аг) (10) при Й=1, и остается разобраться с интегралом 1» = (иг + аг)» 311 1 Т. ПЕРВООБРАЭКАЯ Интегрируя по частям и делая элементарные преобразования, имеем аи и ( и~а« А= (~ 2 ~ а2)» («2 ~ а2)» у (из ~ а2) + +2~ ( (и2+ а~) — а~ и 2 +21 ' ' Ии = +2И» — 2йа 1»~1, (из + а2)» («2 + а2)»+1 (из + аз)» откуда следует рекуррентное соотношение 1 — — 1 2йа~ (~Р + а2)» 2йаз (12) позволяющее понижать степень к в интеграле (11). Но 11 легко вычислить: 1 Ж 1 а 1 = — агсФд — + с; из+ аз а а (13) таким образом, используя (12) и (13), можно вычислить также первообразную (П), Итак, мы доказали следующее Утверждение 2. Первообраэная лтобой рациональной функции В(х) = Р(х) Я(~) = — выражается через рациональные функции, а шакже шрансцендентпные функции 1и и агс1~.
Рациональная частпь первообразной, будуар« приведена к общему энаменатпелто, должна в качестпве тпакового имешь произведение всех сомножителей, на котпорые раскладываетпсл многочлен Я(х), шолько с кратпностплми на единицу меньшими, чем крашностпь «х вхождения в разложение Я(х). 2хз+5х+5 А В С + + (х — 1)(х + 1)(х + 2) х — 1 х + 1 х + 2 (14) нашей дроби в сумму простейших дробей. Приведя правую часть равенства (14) к общему знаменателю, имеем 2хз+ 5х+ 5 (А+ В+ С)хз+ (3А+ В)х+ (2А — 2 — С) (х — 1)(х + 1)(х + 2) (х — 1)(х+ Ц(х+ 2) 2хз+5х+5 Пример 13.
Вычислим ~, з, Нх. Поскольку подынтегрвльная функция является правильной дробью и, разложение знаменателя в произведение (х — 1)(х + 1)(х + 2) тоже известно, то сразу ищем разложение З12 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Приравнивая соответствующие коэффициенты числителей, получаем систему А+ В+ С =2, ЗА+ В =5, 2А — 2 — С =5, из которой находим (А, В, С) = (2, — 1, 1). Заметим, что в данном случае эти числа можно было бы найти и в уме, Действительно, домножая (14) на х — 1 и полагая затем в полученном равенстве х = 1, справа получим А, а слева — значение при х = 1 дроби, полученной из 2+5+5 нашей вычеркиванием в знаменателе сомножителя х-1, т.
е. А = = 2. 2 3 Аналогично можно было бы найти В и С. Итак, = 21п~х — Ц вЂ” 1п~х+ Ц+1п~х+ 2~+ с = 1п + с. (х — 1)г(х+ 2) х+1 Пример 14. Вычислим первообразную функции В(х) хг 2хе + 4хз 5х4 + 4хз 5хг (х — 1)г(хг + 1)г Прежде всего заметим, что дробь не является правильной, поэтому, раскрыв скобки и найдя знаменатель дроби Я(х) = х6 — 2хз+Зх4 — 4хз+Зхг — 2х+1, делим на него числитель, после чего получаем хз х4 + хз Зхг — 2х х+ ( цг( г+1)г а затем уже ищем разложение правильной дроби хз — х4+ хз — Зхг — 2х А В Сх+ Х) Ех+ Р ( (х — 1)г(х' + 1)' (х — 1) х — 1 (хг + 1)г хг + 1 ' Конечно, разложение можно найти каноническим путем, выписав систему шести уравнений с шестью неизвестными. Однако вместо этого мы продемонстрируем иные, иногда используемые, технические возможности.
Коэффициент А находим, домножив равенство (15) на (х — 1)г и положив затем х=1: А=-1. Перенесем дробь А (х — 1)2 с уже известным значением А = -1 в левую часть равенства (15). Тогда получим х4+хз+2хг+х 1 В Сх+~р 1~~~х+г' (х — 1)(хг+1)г х — 1 (хг+1)г хг+1 ' + + $ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ откуда, домножая (16) на х — 1 и полагая затем х = 1, находим В = 1. Перенося теперь дробь — в левую часть равенства (16), получим 1 х — 1 х2+х+2 Сх+П Ех+Р (17) (х2+ 1)2 (х +1)2 + 1 + Приводя правую часть равенства (17) к общему знаменателю, приравниваем числители х + х + 2 = Ех + Ех + (С + Е) х + (В + Р), откуда следует,что Е=О, Р=1, С+ Е = 1, В+У=2, или (С, И, Е, К) = (1, 1, О, 1). Теперь нам известны все коэффициенты в равенстве (15), Первые две дроби при интегрировании дают соответственно — и 1п~х — Ц.
Далее, 1 х — 1 1 / И(х2 + 1) /' Ь 2,7 (х2 + 1)2. ,/ (х2 + 1)2 2(х2 + 1) где И 1 1 с ! (х2+1)2 2 (х2+1)2 2 что следует из (12) и (13). Наконец, Ех+Р Г 1 дх = ~ сЬ = агсСд х. х2+1 / х2+1 Собирая все интегралы, окончательно имеем В(х)дх = -х + — + 1 2 1 х 3 2 х — 1 2(х2+ 1)2 + 1п~х — 1~ + — агсСд х + с. 2 Рассмотрим теперь некоторые часто встречающиеся неопределенные интегралы, вычисление которых может быть сведено к отысканию первообразной рациональной функции. 316 ГЛ.У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ е. Первоооржкые вида /Щв, рсв)) ов. Пусть, как в е вувкте 4, В(х, у) — рациональная функция.
Рассмотрим некоторые специальные перво- образные вида (х, у(х)) Йс, где у = у(х) — функция от х. Прежде всего, ясно, что если удастся сделать замену х = х(«) так, что обе функции х = х(«) и у = у(х(«)) окажутся рациональными функциями от «, то х'(«) — тоже рациональная функция и т.
е. дело сведется к интегрированию рациональной функции. Мы рассмотрим следующие специальные случаи задания функции у = у(х). а. Если у = " ах+ Ь , где и Е 1Ч, то, полагая «а =, получаем ах+ Ь сх+ И' сх+ Н' Ы « — Ь х ) а — с ° «ть и подынтегральное выражение рационализируется. П р и м е р . 19. +1 =«- — +« — 2 «з У (1 «)(1+ «+ «2) 2+« / ~3(1 — «) 3(1+ «+ «з) «2 2 Г + + = —,+-~ 1~- 1--у.' ', ' а~= 2 1 — «3 3 + -1 ~1 — ~ — - Ъ ~~~~«+ -~~ + -~— 3 ~~ 2у 41 2 2/ 1~ — — ахсФя — ~«+ — ~ + с, ,Гз Л~ Ы =3 где х+1 315 $7. ПЕРВООБРАЗНАЯ Пример 15. ~ 3 ~ ~ 2 ~ | йг /' 1 2Ф ° — Ю= 3+япх ~ 34 2й 1+0 1+ з2 ~~ 2 2 ~Й 21 '+3 2 1 с~и зз'+зз+з з/ (, 1у з з1, ~д1 Здесь мы воспользовались универсальной заменой $ = ~~ ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
