В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 66
Текст из файла (страница 66)
2' Пример 16. (81п х + соз х),/ соз х (Са х + 1) 4$6х / й 1 (ФКХ+1)2 / И+1)2 Ф+ 1 +с= с— 1 1+ ф~х Пример 17. 2 ~ г ~ ~~ г 4ЗХ 2зш Зх — Зсоз23х+ 1 У соз23х (2$д23х — 3+ (1+ Сд23х)) ~з 1 /' Н~ЖЗХ 1 1 за 1 Г2 1 Чг 3/ Згд23х — 2 3/ ЗР— 2 3.273/ 3~2 1 1 Изз 1 1 ~и — 1 З~/6,/ и2 — 1 6~/б ~зз+ 1! /з 28+1 ~~3* †.„~ Ч Ъ 1 = — 1п +с= — 1п 1 6Л Пример 18. соз" х „ /' соз2 х Ызш х /' (1 — ~ ) М зш х / зшгх / $7 г -7 -5 1 -6 1 -4 6 4 4яп4х 6зшвх Зи 38+ 1 Зги -*+1 = 42агс® — +с= 42агсФд +с= ~/2агсФд +с, ~/2 ~12 42 ГЛ.
У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ то Щ, ...ы4 =г у 1 — 12 2$ '1 2 и дело свелось к интегрированию рациональной функции. Однако такой путь часто приводит к очень громоздкой рациональной функции, поэтому следует иметь в виду, что в ряде случаев существуют и другие возможности рационализации интеграла. Ь. В случае интегралов вида /В(со82х, ип~х) ах или /г(СКх)(1х, где г(и) — рациональная функция, удобна подстановка $ = ФК х, ибо г 1 сках СО3 х= 31П Х= 2 1+ЯК х 1+ф х (1Х (Й сй = —, т. е. сЬ = со32х' ' ' 1+ ФКгх Выполнив указанную подстановку, получим соответственно Л(СО8 Х, 81П Х) с1Х = о / с(тдх)дх = /т(С) —.
с. В случае интегралов вида я(саэх, вы~ х) выход вд» /))(соесх, хшх) сохо ох можно внести функции 81п х, со3 х под знак дифференциала и сделать замену $ = соех или Ф = 3п1х соответственно. После замены зти интегралы будут иметь вид — /))(с,1 — сь) дс (1 — Ф~, 1) сй.
4. Порвооорвввых вида ) )ь(соха, х!во) ох. Пусть Я(о,с) — рацво- Р(и, и) нальная функция от и и о, т. е. отношение ' полиномов, являющихся Ю(и, и) линейными комбинациями мономов и е", где т = О, 1, ..., и = О, 1, ... Для вычисления первообразной /В(со8х, 81пх) Нх существует несколько приемов, из которых один — вполне универсальный, хотя и не всегда самый экономный. а.
Сделаем замену Ф = ф —. Поскольку 2 1 — ®вЂ” 2х 2$к— х СО8Х = 2 2 2 х у 81ПХ 1+1~ 2 1+ фкг — ' (Ь 2й (й=, т.е. их= 2со82 х ' 1+ ФК2 х 2 2 317 $ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ б. рассмотрим теперь случай, «огда р = чсохг+ бх то, т. е. речь идет об интегралах вида гс(х, ь/ахг т бх т с) бх. Выделяя полный квадрат в трехчлене ах2+ ох+с и делая соответствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к одному из следующих трех простейших: / гг(г сгг-~ у) бг /уй(г,/~г — г) бг /'д(г,у~ —,Х) йг (гб) Для рационализации этих интегралов теперь достаточно положить соот- ветственно ьггг+ у = г — 1 Iсг . у = с— г/гг ь г Ск + г гЛг — Т = и(с — г), или ьусг - у = п(г+ у), и г/гг — Т = г— чсГ гг и(у — г), плп тсà — су = и(у т г), пли ь/à — гг = ги а 1. Эти подстановки были предложены еще Эйлером ~см.
задачу 3 в конце параграфа), Проверим, например, что после первой подстановки мы сведем первый интеграл к интегралу от рациональной функции. В самом деле, если тсгг + г = Си+ 1, то ге+ 1 = Стиг+ 2 си + 1, откуда и, в свою очередь, ,/гг т 1 = ""'. ,ц2 ' В(вЬ (р, сЬ (р) сЬ р сйр, В(',сЬ(р, вЬ(р) вЬ(р йр Я(ипег,спер)соердгс пли — ~Я(спер,г!пр)ггпрбр. Пример 20. дх ' 1 И 1 й х+ч'хгтйхтй у х+ьуж+у)гту г С вЂ” 1ьг/ге+у Таким обрааом, г п г/р + 1 аыраэплись рапиопальпо через и, а следомь тельно, интеграл привелся к интегралу от рациональной функции.
Интегралы (18) подстановками Ф = вЬ (р, Ф = сЬ (р, 1 = вш (р ~или $ = сов (р) соответственно приводятся также к тригонометрической форме ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 318 и — 1 Покатав /Вв а у = и — В, имеем 1 = и — 2Ви, откуда В = —. Поэтому 11 Й~ 1 1 11 1 1 1~ + -/ = -1п~и- Ц+ — ~ ~ — — — — -~Й~ = 2/ и2(и — 1) 2 2/ ~и — 1 и2 и( 1 1 1и — 11 1 = — 1п ~ и — Ц + — 1п ~ — ~ + — + с. 2 2 ~ м ~ 2и Теперь остается проделать обратный путь замен: и = 8+4Г+ 1 и 8 = х+ 1. с.
Эллиптические интегралы. Очень важными являются также первообразные вида (21) (1+ йх2) (22) где й и Й вЂ” параметры, причем во всех трех случаях параметр Й лежит в интервале ~0, Ц. Подстановкой х = сов <р эти интегралы можно свести к следующим каноническим интегралам или их комбинациям: (23) иву — дв в!паев в/у — два!п~м ИО, (24) (25) ( — да!и м)в/у — даввп'у где Р(х) — многочлен степени и > 2, Такой интеграл, как было показано Абелем и Лиувиллем, вообще говоря, уже не выражается через элементарные функции.
При п = 3 и и = 4 интеграл (19) называется эллиптическим, а при и > 4 — гиперэллиптпическим. Можно показать, что общий эллиптический интеграл элементарными подстановками с точностью до слагаемых, выражающихся через элементарные функции, приводится к следующим трем стандартным эллиптическим интегралам: 319 $ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ Интегралы (23), (24), (25) называются соответственно эллидддпичесдсими инпдегралами первого, второго и тпрепвего рода (в форме Лежандра).
Через г'(й, у) и Е(дс, <р) обозначают эллиптические интегралы Щ и (24) первого и второго рода соответственно, выделяемые условиями г'(Й,О) = 0 и Е(к, О) = О. Функции г'(Й, до), Е(Й, у) часто используются, и потому составлены достаточно подробные таблицы их значений для 0 < й < 1 и 0 < ддо < ~г/2. Эллиптические интегралы, как показал Абель, естественно рассматривать в комплексной области, в неразрывной связи с так называемыми эллиптическими функциями, которые соотносятся с эллиптическими интегралами так не, как, например, функциа вшм сннееграесм в = вхсвшн. И$м Задачи и упражнения 1.
Мепдод Остроградскогод1 выделения рациональной части интеграла от правильной раддиональноб дроби. Пусть — — правильная рациональная дробь; 9(х) — многочлен, имеющий те Р(х) Я(х) же корни, что н Ц(х), но кратности 1; Яд(х) = —. с')(х) Их) Покажите, что а) Имеет место следующая формула Остроградского: — Их = — + / — сдх, Р(х) Рд (х) Г р(х) <их) а (х) У Ч(х) (26) в полученнои дифференцированием формулы Остроградского, дробь ~ — после / Рд(х) ~ж) надлежащих сокращений приводится к знаменателю Я(х). с) Многочлены д(х), Яд(х), а затем н многочлеиы р(х), Рд(х) можно найти алгебраическим путем, даже не зная корней миогочлена Я(х). Таким образом, рациональную часть интеграла (26) можно полностью найти, даже не вычислив всей первообразной.
д) М. В. Остроградский (1801 — 1861) — выдающийся русский механик и математик, один из инициаторов прикладного направления исследований в Петербургской математической школе. где —, — — правильные рациональные дроби, причем ~ — сЬ вЂ” трансценРд(х) р(х) Г р(х) Яд(х)' о(х) ,У е(х) дентнаи функция. (В силу этого результата дробь — в (26) называется раддиона вноб настаю Рд(х) 9д(х) интеграла / — ддх.) Г Р(х) „/ Я(х) Ь) В формуле ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ З2О й) Выделите рациональную часть интеграла (26), если Р(х) = 2хв+ Зхб+ бх4+ бх~+ 10х~+ Зх + 2, Ц(х) = х + Зхв+ 5х + 7х4+ 7х~+ 5х~+ Зх + 1 (см. пример 17 в $5 этой главы). 2. Пусть ищется первообразная В(совх, вшх) Их, (27) где В(а, т)) = ' — рациональная функция.
Р(и, т)) Я(и, т/) Покажите, что а) если В( — и, т)) = В(а, т)), то В(а, т)) имеет вид В1 (а, т)); Ь) если В( — а,т/) = -В(а,ту)) то В(и,и) = а В~(а~,т)) и подстановка Ф = а1пх рациона)птзирует интеграл (27); с) если В( — а, — т)) = В(а, т/), то В(а, т)) = Вг ( —, т)~) и подстановка $ = $8 х рационализирует интеграл (27). 3.
Интпвгра/ьы вада Р(х) ч/ахеоьхос .) (х — хо)" и а оьао (Ах + В) Ых (хетр*та) .~/ахах-Ьхас /П(а,ЛхеРЬх~- )Р*. (28) а) Проверьте, что интеграл (28) приводится к интегралу от рациональной функции следующими ттодстттвновк(ььфа Эйлера: Е = /ах~трх О с и ч/аа, есха а ) Р, — 1, если х1, х2 — действительные корни трехчлена ах~+ Ьх + с. Х вЂ” ХП Ь) Пусть (хв,ув) — точка кривой 1/~ = ах + Ьх+ с, а $ — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (хв, 1/()) и пересекающей кривую в некоторой точке (х,у). Выразите координаты (х,у) через (х(),у()) и $ и свяжите зти формулы с подстановками Эйлера.
с) Кривая, задаваемая алгебраическим уравнением Р(х, у) = О, называется т/накурса/ььной, если она допускает параметрическую запись х = х(Ф), у = 1/(Ф) при о ощи радионаеааасс фуи ций х(ь), р(х). поиани е, что интеграе ) Я(а, р(х)) Рх, где В(а, т)) — рациона)тьная функция, а р(х) — алгебраическая функция, удовлетворяющая уравнению Р(х, тт) = О, задающему уникурсаиьную кривую, приводится к интегралу от рациональной функции. Й) Покажите, что интеграл (28) всегда можно свести к вычислению интегралов следующих трех типов: $7. ПЕРВООВРАЗНАЯ 4. а) Покажите, что интеграл от дифференциального бинома, где ти, и, р — рациональные числа, приводится к интегралу (а + Ы)Р з" Ю, (29) ) заменои х = может быть приведена аС+,8 7б+1 й) Функция В(х, к виду В1(г, ) е) Функция В(х, /у) может быть представлена в виде суммы В1(х, р) + Вх(х,в) М где В1 и Вз — рациональные функции.
Г) Любая рациональная функция может быть представлена как сумма четной и нечетной рациональных функций. я) Если рациональная функция В(х) четка, то она имеет вид г(хз), а если нечетна, то вид хг(хз), где г(х) — рационаиьная функция. Ь) Любая функция В(х, /у) приводится к виду В1(х,у)+ ' + ' х. Вг(х, у) Вз(х, у) Л Л 'е) любой аагегрвв вада |Я)х, е/Рех)) ых, где Р)х) — моего'ивв егвергой степени, с точностью до элементарных слагаемых приводится к интегралу г(Р) й А (1+ пз,~з) (1+ пз, ~з) где г(Ф) — рациональная функция, А = ~1. где р, б1 — рациональные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
