В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Тогда сг® Р, ~') = ~~ 1 Ья; = 1, 1=1 в то время как ст® Р, Я = ~~~ О Ьх; = О. 1=1 Таким образом, интегральные суммы функции Р(з) не могут иметь предел при Л(Р) -+ О. С точки зрения критерия Лебега неинтегрируемость функции Дирихле тоже очевидйа, поскольку функция Ю(х) разрывна в каждой точке отрезка (О, 1], который, как было показано в лемме 2, не есть множество меры нуль. Пример 2. Рассмотрим функцию Римана 1 тп — если я Е Я и х = — — несократимая дробь, Я.(х) = И' Я О, если х Е В~Я. Мы уже рассматривали эту функцию в гл.
ГЧ, 3 2, п. 2, и знаем, что функция Я,(х) непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных точках. Таким образом, множество точек разрыва функции К(х) счетно и потому имеет меру нуль. В силу критерия Лебега можно заключить, 12 Зорич В. А. ГЛ, ЧЬ ИНТЕГРАЛ З4О что функция Я,(х) интегрируема на любом отрезке [а, Ь] С Й, несмотря на то, что точки разрыва этой функции попадают в любой отрезок любого разбиения отрезка интегрирования. Пример 3. Рассмотрим теперь еще один, менее классический вопрос и пример. Пусть 1: [а, Ь] -+ й — интегрируемая на [а, Ь] функция, принимающая значения на отрезке [с, а], на котором непрерывна функция д: [с, а] -+ й.
Тогда композиция у о1: [а, Ь] -+ Й, очевидно, определена и непрерывна во всех точках отрезка [а, Ь], в которых непрерывна функция 1. В силу критерия Дебега отсюда следует, что (д о1) Е Я,[а, Ь]. Покажем теперь на примере, что композиция произвольных интегрируемых функций — уже не всегда интегрируемая функция. Рассмотрим функцию д(х) = [зрь](х). Эта функция равна единице при х ф. О и нулю при х = О.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что если, например, на отрезке [1, 2] рассмотреть в качестве 1 функцию Римана И(х), то на этом отрезке композиция (д о1)(х) есть не что иное, как функция Дирихле Р(х). Таким образом, наличие даже одной точки разрыва у у(х) привело к неинтегрируемости композиции у о 1. Задачи и упражнения 1. Теорема Дарбу. а) Пусть в(1; Р) и 8(1; Р) — нижняя и верхвял суммы Дарбу вещественноэначной функции 1, определенной и ограниченной на отрезке [а, Ь], отвечающие разбиению Р этого отрезка. Покажите, что для любых двух разбиений Р1, Р2 отрезка [а,Ь] справедливо неравенство вЯР1) < 8ЯМ.
Ъ) Пусть разбиение Р лвляетсл продолжением разбиения Р отрезка [а, Ь] и пусть Ь;„..., Ь;, — те отрезки разбиения Р, которые содержат точки разбиения Р, не входящие в разбиение Р. Покажите, что справедливы оценки О < э(У; Р) — э(У; Р) < У; [а, Ь]) . (~М, +... + ~М, ), О < вЦ; Р) — а(~; Р) < ы® [а, Ь]) (Ьх;, +...
+ Ьхс ). с) Величины 1 = впр в(1; Р), 1 = шХ 8(1; Р) называются соответственно нижним р и верхним интпегралом 4арбу функции 1 на отрезке [а, Ь]. Покажите, что 1 4~ 1. 6) Докажите теорему Дарбу: 1 = Бш 8(~; Р). ЦР)-+О е) Покажите, что (1 Е %[а, Ь]) е=ь (1 = Х). 1) Покажите, что 1 Е 7Ца, Ь] тогда и только тогда, когда для любого е > О найдется такое разбиение Р отрезка [а, Ь], что Я(1; Р) — в(1; Р) < е. $1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 341 2.
Кантпорово множество лебегово«1 меры нуль. а) Канторово множество, описанное в задаче 7 8 4 гл. П, не"четно. Проверьте, что оно тем не менее есть множество меры нуль в смысле Лебега. Укажите, как следует видоизменять конструкцию канторова множества, чтобы получить аналогичное всюду «дырявое» множество, не являющееся множеством меры нуль. (Его тоже называют канторовым.) Ь) Покажите, что заданная на отрезке [О, Ц функция, равная нулю вне канторова множества и единице в точках канторова множества, интегрируема по Рнману на этом отрезке, если и только если канторово множество имеет меру нуль.
с) Постройте неубывающую, непрерывную н не постоянную на отрезке [О, Ц функцию, которая имеет нулевую производную всюду, кроме, быть может, точек канторова множества меры нуль. 3. Критпериб Лебега. а) Проверьте непосредственно (без ссылки на критерий Лебега) интегрируемость функции Римана из примера 2 настоящего параграфа. Ь) Покажите, что ограниченная функция у е Я,[а, Ь) тогда и только тогда, когда для любых двух чисел г > 0 и б > О найдетсн разбиение Р отрезка [а, Ь) такое, что сумма длин тех отрезков разбиения, на которых колебание функции больше г, не превосходит Ю.
с) Покажите, что у Е Я,[а, Ь] тогда и только тогда, когда у ограничена на [а, Ь] и для любых чисел г > 0 и Ю > 0 множество точек отрезка [а, Ь], в которых 1. имеет колебание больше чем г, можно покрыть конечным число интервалов, сумма длин которых меньше б (критпери«1 Дюбуа-Ребмона ц). Й) Используя предыдущую задачу, докажите критерий Лебега ннтегрируемостн функции по Риману. 4. Покажите, что если У, д б Я.[а, Ь] и ~, д действительны, то шах(~, д) е Я.[а, д] и шш (,~, д) б Я,[а, Ь).
5. Покажите, что ь ь а) если У, д Е Я[а, Ь) и у(х) = д(х) почти всюду на [а, Ь], то /У(х) сЬ = /д(х) ах; а а Ь) если У Е Я,[а, Ь] и ~(х) =д(х) почти всюду на [а, Ь], то д может не быть интегрируемой по Риману на [а, Ь), даже если д определена и ограничена на [а, Ь]. 6. Ннтпеграл ош вектпорноэначной функции. а) Пусть г($) — радиус-вектор точки, движущейся в пространстве; го = г(0)— начальное положение точки; у(т) — вектор скорости как функция времени.
Восстановите г($) по го и функции у(1). Ь) Сводится ли интегрирование векторнозначной функции к интегрированию вещественнозначных функций? с) Верен ли для векторнозначных функций критерия интегрируемостн, выраженный в утверждении 2'? с1) Верен ли критерий Лебега для векторнозначных функций? е) Какие из понятий и фактов этого параграфа переносятся на функции с комплексными значениями? Ц П. Дюбуа-Реймон (1831 — 1889) — немецкий математик. 12* ГЛ. ~1. ИНТЕГРАЛ 342 ]1 2. Линейность,аддитивность и монотонность интеграла 1. Интеграл как линейная функция на пространстве Я.[а, Ь] Теорема 1. Если ) и д — интпеерируемые на отпреэке [а,Ь] функции, пьо их линейнал комбинация о~+)8д тпакже лвллетсл интеерируемой но [а, Ь] функцией причем ~(оя <-)ур)(х) дх = а/Г(х)дх т ~3[ р(х) дх. ° я Рассмотрим интегральную сумму для интеграла, стоящего в левой части соотношения (1), и преобразуем ее: УЪ рд рд (а~+,8д)®)Ьх; = а~~» ~((;)Ьж;+)8» д®)Ьк;.
й=1 й=1 й=1 (2) Поскольку правая часть последнего равенства стремится к линейной комбинации интегралов, стоящих в правой части равенства (1), если параметр Л(Р) разбиения стремится к нулю, то левая часть равенства (2) тоже имеет предел при Л(Р) -+ О и этот предел совпадает с пределом правой части. Таким образом, (а~+,8д) (= 7Ца, Ь] и выполнено равенство (1). ° Если множество %[а, Ь] рассматривать как векторное пространство над ь полем действительных чисел, а интегра)1 „~Дя) сь — как действительнознача ную функцию, определенную на векторах пространства %[а, Ь], то теорема 1 утверждает, что интеграл есть линейная функция на векторном пространстве %[а, Ь].
Во избежание возможной путаницы, функции, определенные на функциях, называют обычно функционыьами. Таким образом, мы доказали, что интеграл есть линейный функционал на векторном пространстве интегрируемых функций. 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования. ь Значение ввтеграеа ~дх) дх = щ; [а, й[) зависит «ак от подывтеграеьной О функции, так и от отрезка, по которому ведется интегрирование. Например, если ~ б %[а, Ь], то, как мы уже знаем, Д~ д б 7Ца„8], если [а„8] С ~а, Ь], т. е. Ф опредедеи витегрве ~ ~(х) дх, которые мы момем исследовать с точки зрение его зависимости от отрезка [а„8] интегрирования. 52 ЛИНЕИНОСТЬ АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 343 Л ем м а 1.
Если а < Ь < с и ~ Е %[а, с], то Я~„ц Е 7Ца, Ь], Д~ь с1 б Е[д,с] и имеет место равенство1') с Ь с ~да) нв = /у(х) ш+ /дх) ш. с с ь (3) ~ Отметим прежде всего,что интегрируемость ограничений функции ~ на отрезки [а, Ь] и [Ь, с] гарантируется утверждением 4 из предыдущего параграфа. с Далее, поскольку У Е %[а, с], то при вычислении интеграла / Дх) сЬ как а предела интегральных сумм мы вправе выбирать любые удобные нам разбиения отрезка [а, с]. В качестве таковых будем сейчас рассматривать только те разбиения Р отрезка [а, с], которые содержат точку Ь. Каждое такое разбиение с отмеченными точками (Р, ~), очевидно, порождает разбиения (Р', Я)) и (Р", Я отрезков [а, Ь] и [Ь, с] соответственно, причем Р = Р'ОР" и ~ = ('0(".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
