В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 74
Текст из файла (страница 74)
° 5. Некоторые примеры. Рассмотрим теперь некоторые примеры использования полученных формул и доказанных в последних двух параграфах теорем о свойствах интеграла. Пример 1. «/2 уу/2 ,/1:Р( = /Б:'р~ а= / е а= -1 -«/2 -«'/2 «/2 1 à — (1+ со82$) сВ = — ~$+ — з1п 2$~ ~ 2~ 2 ~~ «/2 2 -«/2 Оценим последнюю сумму. Поскольку ~ е Я,[а,д], функция,/ ограничена на [а, Ь]. Пусть [~(х) ~ ( С на ~а, Ь]. Тогда 362 ГЛ "Л.
ИНТЕГРАЛ а) я1птх созпхдх = О, с) (сов~пхбх=в при т, и (= 1Ч. 1 Г а) /вшшх совпхбх = — ув (вш(п ею)х — в!п(п — ш)х) бх = 2l 1Г 1 1 — сов(п+ т)х+ соя(п — т)х~ = О, 2~ п+т и — т если и — т ф О. Случай, когда и — ш = О, можно рассмотреть отдельно, и в этом случае, очевидно, вновь приходим к тому же результату. 1 Г 1Г 1 Ь) у в1п~т)хпх = — ~ (1 — соя2тх)(Ь = — х — — вш2тх( = ~г. 2 цу 1 Г 1Г 1 с) „~ сов~пх Ых = — ~ (1+ соз2пх)(Ь = — ~х+ — яп2пх~~ = ~г.
2 ./ 2~ 2и Пример 3. Пусть Г Е Я.~-а,а]. Покажем, что О 2 /у(х) бх, если ~ — еетпвл фующпз, Г(х) сЬ = о О, если à — нечетная функция. Если Г'(-х) = Г(х), то о о о о Для вычисления интеграла мы сделали замену переменной х = 81п1, а затем, найдя первообразную получившейся после этой замены подынтегральной функции, воспользовались формулой Ньютона — Лейбница. Конечно, можно было бы поступить и иначе: найти довольно громоздкую перваобрвзпую — х 1 — хв Š— ассвш х функции с/Г- хв и затем зосполззо. 1 ф 1 2 2 ваться формулой Ньютона — Лейбница. Пример показывает> что при вычислении определенного интеграла, к счастью, иногда удается избежать отыскания первообразной подынтегральной функции.
Пример 2. Покажем, что $ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ Если же ~( — х) = — ~(х), то, как видно из тех же выкладок, получим а а а /Х<*)а =/и~-*)+а*))~ =/об*= -а О О Пример 4. Пусть ~ — определенная на всей числовой прямой й периодическая функция с периодом Т, т.
е. ~(х+ Т) = Дх) при х Е й„ Если ~ — интегрируемая на каждом конечном отрезке функция, то при любом а )= Й имеет место равенство а+Т т / <*) =/<*), т. е. интеграл от периодической функции по отрезку длины периода Т этой функции не зависит от положения отрезка интегрирования на числовой прямой: а т а+У а+Т а о т т о а =/у(а)И т/у~х)б*+/1!атт) 1а= О а о т о а т = /л*) б*+/л(.) б*+/ма = /л.) б*.
о а о о Мы сделали замену х = $ + Т и воспользовались периодичностью функции Дх). 1 П р и м е р 5. Пусть нам нужно вычислить интеграл / зш х~ сЬ, например, о с точностью до 10 з. Мы вивеи, что иервеебревиаа. /ва хе дх (ивтеграа Фревеха) ве вверюивется в элементарных функциях, поэтому использовать формулу Ньютона— Лейбница здесь в традиционном смысле нельзя. Поступим иначе. Исследуя в дифференциальном исчислении формулу Тейлора, мы в качестве примера (см. гл. Ч, ~ 3, пример 11) нашли, что на отрезке [-1, Ц с точностью до 10 з имеет место равенство Ошх т х — — х + — х =: Р(х), 1 з 1 з 3'.
5! Но если ~з1пх — Р(х)[ < 10 з на отрезке [-1,11, то верно также, что ~зш хз — Р(хз) ~ < 10 з при 0 < х < 1. ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ Следовательно, 1 1 ) хшх Их — /Р(х ) Ых о о < ) )х1пх — Р(х ))<х < /10 э<х < 10 ~. Таким образом, для вычисления интеграла ~ я1п х~ Ых с нужной точностью о достаточно вычислить интеграл / Р(х~) сЬ. Но о /Р(х ) Ых= /(х~ — —,х + —,х1х) <х = о о — х — — + — х 1~ = — — — + — = 0,310 ~ 10 1 з 1 т - 1 11~) 1 1 1 -з 3 3!7 5!11 )~а 3 3!7 5!11 поэтому 1 | а1пх~с8х = 0,310 ~ 2 10 з =0,31 ~ 10 ~. а Пример б, Величина~1 = — ~ Дх) (Ь называется иншегральны.н сред- 1 г Ь вЂ” а й ним значений функции но о1пуезне [а, Ь). Пусть ~ — определенная на й и интегрируемая на любом отрезке функция..
Построим по У новую функцию х+б Рб(х) = — у ,Г(Х) й, 1 Г 2о х+б+й )х".б(Х + х"х) — х"'б(Х) [ =— 1 26 / уЯа~х / УР)а < < 1 (С[6! + С[6)) = С)л,!, значение которой в точке х есть интегральное среднее значений ~ в о-окрестности точки х, Покажем, что функция Еб(х) (называемая исреднением Г) более регулярна по сравнению с Г. Точнее, если ~ интегрируема на любом отрезке [а, Ь), то Рб (х) непрерывна на Ж, а если ~ (= С(й), то Рб(х) Е С1 ц (Ж).
Проверим сначала непрерывность функции Рб (х): 365 з 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ если ~~(Ф) ~ < С, например, в 2о-окрестности точки х и ~Ь~ < о. Из этой оценки, очевидно, следует непрерывность функции Гб(х). Если же ~е С(Й), то по правилу дифференцирования сложной функции поэтому из записи гб(х) = — ~ У($)Ю вЂ” — / ГЯЮ 1 Г 1 Г м/ ю/ получаем, что У(х + Ю) — У(х — 6) 2о ФУНКЦИЮ гб(Х) ПОСЛЕ ЗаМЕНЫ $ = Х+ И ПЕРЕМЕННОЙ ИНтЕГРИРОВаНИЯ МОЖНО записать в виде б Еб(х) = — ! ~(х+и)Ж. 1 2о! -б Если Г б С(К), то, применяя первую теорему о среднем, находим, что Х'б(х) = — Г(х+ 7.) 2о =,~(х+ т), 2о где ~т~ < о, Отсюда следует, что гб(х) — У(х) ~ что вполне естественно.
Задачи и упражнении 1. Используя интеграл, найдите а) Йю в + ° ° ° + 1 е ) и-ьоо (в+ 1)л (2о)~~' 1'*+2" +...+о' 2. а) Покажите, что любая непрерывная на интервале функция имеет на нем первообразную. Ь) Покажите, что есин Г Е С~ц[а, Ь[, то Г может быть представлена как разность двух неубывающих на отрезке [а, 6) функций (см. задачу 4 из З 1). 3. Покажите, что в предположении гладкости функции у вторая теорема о среднем (теорема 6 из $ 2) интегрированием по частям непосредственно сводится к первой теореме о среднем. Збб ГЛ.
у1. ИНТЕГРАЛ 4. Покажите, что если у б С(й), то для любого фиксированного отрезка [а,д] по заданному е > О можно так подобрать Ю > О, что на [а, Ь] будет выполнено неравенство ]Ею(х) — ~(х)] < е, где Р1 — осредненне функции, рассмотренное в примере 6. 5.
Покажите, что х~ Г е' 1 х — М вЂ” сх при х -+ +оо. $ х2 1 6. а) Проверьте, что функция ~(х) = / з1п$~ М при х -+ оо имеет следующее представление: Ь) Найдите Бш ХУ(х) и Бш ХДх). х-+оо х +оо 7. Покажите, что если у: Ж -+ й — периодическая, интегрируемая на каждом отрезке [а, Ь] С Й функция„то функция Г(х) = У(~) а а может быть представлена в виде суммы линейной и периодической функций. 8. а) Проверьте, что при х > 1 и и Е И функция Р (х) = — / (в+у'хв — 1 саву) Юу о есть полипом степени и (и-6 поликом Лежакдра). Ь) Покажите, что 9. Пусть ~ — вещественнозначная функция, определеннал на отрезке [а, Ь] С й, а ч1,..., ( — различные точки этого отрезка.
Значения игиперколлкиоккого ноликома Лаеракжа степени т — 1 1(х):=,~ ~®) П 'Ф1 совпадают в точках (1,..., ( (узлах интерполяции) со значениями функции У, причем если у Е С~ ~[о, Ь], то У(Х) ~вх 1(Х) = , У (<(Х))Мх,(Х), где м (х) = П (х — 41), а 1,(х) Е ]а, Ь[ (см. задачу 11 в Я 3 гл. У). $3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ Пусть ~; = — + — 9;, тогда д, б [-1, 1], 3 = 1, ..., т.
6+а Ь вЂ” а а) Покажите, что где В частности, а~) Ьо(х)дх=(Ь вЂ” а)у —, если ш=1, 9~ =0; 2 О «г) |ш~(х)юх= — )ла)«ль)), еа««=2, В = — 1, ю =1; Ф ь аз) И(х)йх = — ~(а) +4У вЂ” + ~(Ь), если пз = 3, В~ — — -1, дз =О, А дз — — 1. Ъ) Считал, что ~ е С~ )[а,Ь] и полагая М = шах ф~)(х)~, оцените величину хе ~а,ь') В абсолютной погрешности в формуле ь ь ~(х) Их = Ь ь(х) ~Ь+ В ь и покажите, что ~В ~ ( —, / ~м (х)]с~х. а с) В случаях а~ ), аз), аз) формула (е) называется соответственно формулой арлмо1)голавликов, трапеций и )зарабол. В последнем случае ее называют также формулой Симпсона'1. Покажите, что в случаях а) ), аз), аз) имеют место следующие формулы: Вз = — — (Ь вЂ” а), Вз = — (Ь- а), У (с«З) 3 У (43) Б 12 2880 где 4'~, ~з, 43 Е [а, Ь], а функция У принадлежит соответствующему классу С~" ~[а, Ь].
Й) Пусть ~ есть полипом Р. Какова наивысшая степень полиномов Р, для которых точны формулы прямоугольников, трапеций и парабол соответственно? Ц Т. Симпсон (1710 — 1761) — английский математик. ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ Пусть Л = —; хз = а + Ыс, х = О, 1, ..., и; уз — — ~(хь).
е) Покажите, что в следующей формуле ирлмоузольникое Д(х) ах = и(уо + уз + ° ° ° + уют — з) + В1 О остаток имеет вид Вз = — (Ь вЂ” а) Ь, где ( Е [а, Ь]. У'Ы) 2 1) Покажите, что в следующей формуле гпраиециб У(х) ах = ((УО + ув) + 2(У1 + У2 + ° ° ° + ув-1)~ + Вз й О остаток имеет вид Вз = — — (Ь вЂ” а) Ь, где ( е (а, Ь]. У' (О з и) Покажите, что в следующей формуле Симисоиа (формуле иарабол) з ~(х) 1х = 3 [(уо+у„)+4(уг+уз+... + У.-з)+ й + 2(уг + У4 + .. + у»-з)] + Вз, которая пишется при четных значениях и, остаток Вз имеет вид ~'"в Вз = — — (Ь вЂ” а)Ь', 180 где ( Е [а, Ь].
Ь) Исходя из соотношения 1 ~г=4 о вычислите ~г с точностью до 10 з, пользуясь формулами прямоугольников, трапеций и парабол. Обратите внимание иа эффективность формулы Симпсона, которая по этой причине является наиболее распространенной кеадрагиурнов формулой (так называют формулы численного интегрирования в одномерном случае, отождествляя интеграл с площадью соответствующей криволинейной трапеции). 10.
Преобразуя формулу (7), получите следующие виды записи остаточного члена формулы Тейлора, где положено Ь = х — а: $ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА З 4. Некоторые приложения интеграла Использование интеграла в приложениях часто происходит по одной и той же схеме, которую по этой причине полезно изложить один раз в чистом виде. Этому посвящен первый пункт настоящего параграфа. 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл.
Обсуждая в З 2 свойство аддитивности интеграла, мы ввели понятие аддитивной функции ориентированного промежутпха. Напомним, что это функция (а„В) )-+ 1(а,Я, которая каждой упорядоченной паре (а„д) точек а,,О )= ~а, Ь] фиксированного отрезка [а, Ь] ставит в соответствие число Х (а, )9), причем так, что для любой тройки точек а,,В, у )= ~а, Ь] выполнено равенство Х(а, у) = 1(а,Я+ХЦЗ, Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
