В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е.не опре- делен. Определение 2. Пусть функция х (-+ 7'(х) определена на промежутке [а, В[ и интегрируема на любом отрезке [а, Ь] С [а, В[. Величина если указанный предел существует, называется несобственным интпегралом ош фурии,7 по промежутку [а, В[. Суть этого определения состоит в том, что в любой окрестности конечной точки В функция ~ может оказаться неограниченной. Аналогично, если функция х (-+ ~(х) определена на промежутке ~А,Ь) и интегрируема на любом отрезке [а, Ь1 С ~А, Ь), то по определению полагают ГЛ.
х'1, ИНТЕГРАЛ и также по определению полагают Ь ь У(х)Бх:= Бт /1(х)Бх. О Пример 2. Исследуем, при каких значениях параме р амет а а сходится интеграл /й (2) Поскольку при а Е )О, Ц ,1 х' ~, если ау~1, 1 — о О 1 |й= 1пх~„ если а=1, то предел Г(Ь 1 1пп ( — =— а-Б+О / ха 1 — (2 О существует только при а < 1. Итак, интеграл (2) определен только при а < 1. Пример 3. О О в*ах = Бт Ге*Бх = 1!т (е*) ) = 1!т (1 — е ) = 1.
О-+ — ОО „( О-Ф вЂ” ОО О вопрос о сходимости несобственного интеграла решается оди- наково как ля несобственного интеграла по неограниченному р у у, наково как для несо ственн ии неог аниченной около од- так и для н для несобственного интеграла от функции, неограни ем ас- ного из концов промежутка и нтегрирования то в дальнеишем мы буд р 1 сматривать оба эти случая вместе, введя ду сле ющее основное Определение 3.
усть ~а,()~— 3. П ~ ~— конечный или бесконечный промежу- ток, а х (-+ у(х) — функция, у( ) — ф определенная на нем и интегрируемая на каждом отрезке (а, Ь) ( [а,()~. Тогда по определению иФ ь |((х)Бх:= Бт /1(х)Бх, (3) О О если указанныи предел при Ь -+ (), Ь (= (,, („у Ь (а ()(, с ществует. е В дальнейшем, если не оговорено противное, р р ассмат ивая несобственныи интеграл (3) мы будем предполагать, что подынтегральная функция удовле- /1 творяет условиям определения 3. ~ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Кроме того, для определенности мы будем пока считать, что несобственность интеграла связана только с верхним пределом интегрирования. Рассмотрение случая, когда особенность интеграла связана с нижним пределом, проводится дословно так же.
Из определения 3, свойств интеграла и свойств предела можно сделать следующее заключение о свойствах несобственного интеграла. Утверждение 1. Пусть х )-) 1(х) и х )-) д(х) — функиии, определенные на промежутке [а,ы[ и интпегрируемые на любом отрезке [а, Ц С [а,ы[. Пусть длл них определены несобстпвенные интпегралы 1(х) дх, (х) сКх. (5) Тогда а) Если ь) Е К и 1 Е тих[а,м), тпо значения интеграла (4), понимаемого как в несобстпвенном, шак и в собстпвенном смысле, совпадают. Ь) 11ри любых Л1, Л2 Е К фуякиил (Л11 + Л2д)(х) иншегрируема в несобственном смысле яа [а,ь)[ и справедливо равенстпво (Л1~+ Лгд)(х) сЕх = Л1 ~(х) сЬ+ Л2 д(х) сЕх.
а а а с) .Если с Е [а,ы[, тпо И с Ы /Дл) Нх = ~1(х) Их + (1(х) Нш. а а с ~ а) Следует из непрерывности функции на отрезке [а, со], на котором 1 Е Я.[а, ы1. с1) Ясли ~р: [а, у[ -+ [а,ы[ — гладкое, стпрого монотпонное отображение, причем <р(а) = а и р(Я -+ ы при,В -+ у, д Е [а, у[, шо несобственный интеграл от функции Ф )-+ (1 о )р)(1) )о'(Ц яа [а...т[ существует и справедливо равенство Ы 7 гл. у1. ИНТЕГРАЛ ц Следует из того, что при Ь Е [а ~4 ь ь ь р у <. ~д д)(х) дх = л1~ Пд) дд + ~д) Ж~~ ~ дд дд в с) Следует из равенства ь е ь г ~~,1 д, = /'у~д~ дд; ( ~(х) дд, а а с справедливого при любых Ь, с Е [а, ы[.
й) Следует из формулы замены переменной в определенном интеграле. В Замечание . в 1. К свойствам несобственного интеграла, выраженным в интег и ова- 1 сле ет еще добавить весьма полезное правило интегрир е ем в сле ющей ния по частям в несобственном интеграле, которое мы приведем в сл ду формулировке: Если )".,д б С(1)[а,ш[ и суи4естпвуетп предел . 1пп (~.д)(х), тпо фуннтьии д ременно интпеарируемы или не МЬе~р ру Ййе~ и емы в несобстпвен-д и донов во авенстпво ном смысле на [а,и[ и в [ [ случае интпеерируемостпи справедливо рав и /(у д)(х)дх = ц дКх)~, — /(у .ддх)дд, О где (~ д)(х)~, = 1пп (У . д)(х) — (~ д)(а). х-ды х е(дд,дд( ~ Это следует из формулы ь ь (у дид)дх = (~ д)(д)(' — ~ц'.д)(д)дд а О интегрирования по частям в собственном интеграле.
° $5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 391 3 а м е ч ан и е 2. Из пункта с) утверждения 1 видно, что несобственные интегралы ~(х) «Ь, ~(х) Их сходятся или расходятся одновременно. Таким образом, в несобственных интегралах, как и в рядах, сходимость не зависит от начального куска ряда или интеграла. По этой причине иногда, ставя вопрос о сходимости несобственного интеграла, вообще опускают тот предел интегрирования, около которого интеграл не имеет особенности. При таком соглашении полученные в примерах 1, 2 результаты можно записать так: Г сЬ интеграл ~ — сходится только при о > 1; / ха Г «ь интеграл у — сходится только при а < 1.
./ х" +о Знак +О в последнем интеграле показывает, что рассматривается область х>0. Заменой переменной из последнего интеграла сразу получаем, что «Й: интеграл [[ сходится только при а ( 1. о *о+о 2. Исследование сходимости несобственного интеграла а. Критерий Коши. В силу определения 3, сходимость несобственного интеграла (3) равносильна существованию предела функции при Ь -ь «о, Ь Е ~а, «о~. Поэтому справедливо следующее Утверждение 2 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Вслн функция х «-+ Дх) определена на промежутке [а,«о~ и ннтеераррема ха аидом отрезке [а,«[ С [а,и[, то аатеграе ~~[х[дх еходатае О тогда и только тогда, когда длл любого е > О можно указать В «= ~а,««~ 392 ГЛ.
У1. ИНТЕГРАЛ шак, чшо при любых Ь1, Ьг Е [а,м[ шакина, чшо В < Ь1, В < Ьг, имееш месшо соошноиьение ьр ь1 ~ Действительно, ведь ь1 ь1 поэтому выписанное условие есть просто критерий Коши существования пре- дела функции У(Ь) при Ь вЂ” ь ы, Ь е [а,1) [. ~ Ь. Абсолютная сходимость несобственного интеграла Определение 4. Про несобственный интеграл „~Дж) сЬ говорят, что а ои тобетсе абсолютно, если сходитсл иитегрел ) )с )сх) бх. О В силу неравенства ьа ь, / )Дсх) бх /дСх)бх Х ь, ь1 Следствие (интегральный признак сходимости ряда).
Если ж р-ь ~(х)— определенная на промежушке [1, +оо[ неотприцашельная, невоэрвстпаюи1вц интпегрируемая на каждом ошреэке [1, Ь] С [1, +оо[ функциц шо ряд ~~Ь, У(ть) = У(1) + У(2) + -. в=1 и утверждения 2 можем заключить, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Исследование абсолютной сходимости сводится к исследованию сходимости интеграла от неотрицательной функции.
Но в этом случае имеем Утверждение 3. Если функция ~ удовлешворяетп условиям определения 3 и Дх) > О на [а,ы[, шо несобсшвенный иншеграл (3) сущесшвуетп в шом и тполько в шом случае, когда функция (6) ограничена на [а,и[. ~ Действительно, если ~(х) > О на [а,1)[, то функция (6) неубывающая на [а, ы[ и потому она имеет предел при Ь -+ и, Ь е [а,ы[, если и только если она ограничена. вр В качестве примера использования этого утверждения рассмотрим такое его $5.
несОБстВенный интеГРАл 393 и интеграл Дх) сй сходятся или расходятся одновременно. 4 Из приведенных условий вытекает, что при любом п Е 1( выполнены неравенства п+1 у(в+1)< ~ ~(д)дх<дй). дд После суммирования этих неравенств получаем й й+1 й д(в ~-1) < / дх) д«1 ~(в) дд=1 1 дд=1 или вй+1 — ~(1) < У'(к+ 1) < вй, й ь где вй — — ~ ~(п), а У(Ь) = /~(х)(Ь. Поскольку вй и У(Ь) — неубывающие в=1 1 функции своих аргументов, то полученные неравенства и доказывают высказанное утверждение.
В В частности, теперь можно сказать, что результат примера 1 эквивалентен тому, что ряд 1 =1 сходится только при а > 1. Наиболее часто используемым следствием утверждения 3 является следующая Теорема (теорема сравнения), Дустпь функции х )-д ~(х), л (-'ь д(х) определены на промежутке [а,м[ и интегрируемы на лтобом отрезке) ~а, Ь1 (. )а,ы~. Если на (а,()( О < Дх) ( д(х), то из сходимостпи интпеграла (5) следует сходимость интеграла (4) и спра- ведливо неравенство /д*)дх < / д(х)д<, а из расходимости интпеграла (4) следуетп расходимостаь интеграла (б), ГЛ.
'И. ИНТЕГРАЛ ~ Из условий теоремы и неравенств для собственного интеграла Римана при любом Ь б ~а,~)~ имеем Ь Ь У(ь) = /У(х) их < /д(х) их = Д(д). Поскольку обе функции У, Д неубывающие на [а,1)~, то теорема следует из написанного неравенства и утверждения 3. ~ Замечание 3. Если про функции ~, д, участвующие в теореме, вместо неравенств О < ~(х) < д(х) известно, что они неотрицательны на ~а,м~ и одного порядка при х -+ 1), х 6 ~а, ы~, т.
е. что найдутся такие положительные константы с1, с~, что с1~(х) < д(х) < с2Дх), то с учетом линейности несобственного интеграла из доказанной теоремы в этом случае можно заключить, что интегралы (4), (5) сходятся или расходятся одновременно. Пример 4. Интеграл сходится, так как ~Дйг 1 Д+~ ~З/2 при х -++ос. Пример 5. Интеграл сходится абсолютно, ибо при х ) 1. Следовательно, з "'х з "'х 1 Пример б. Интеграл 395 $5. несОБстВенный интеГРАл сходится,так как е * < е * при х ) 1 и е*сЬ< 1 И расходится,ибо 1 1 — >— 1пх х при достаточно больших значениях х. Пример 8.
Интеграл Эйлера в)'~2 1пашх1Ь сходится, так как ~1па1пх~ ~1пя~ <— 1 1/Х при ж — 1 +О. Пример 9. Эллиптический интеграл при О < Й2 ( 1 сходится, поскольку Щ вв) (1 в)с/в 16р ~/мвй- сосо о сходится, так как /'~1П (р ()р д)1/2 ~/сов~ — сов~с = при 0 -+ )р — О. Пример 7. Интеграл при х — ~ 1 — О. Пример 10. Интеграл +оо / с *Вв= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
