В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Таким образом, показано, что если х ф Г, то х — не предельная точка Е. Пусть г' = Р. Проверим, что множество С = К™ \ Р открыто в К™. Если х е С, то х ~ Р и потому х не является, предельной точкой множества г'. Значит, найдется такая окрестность точки х, в которой имеется:только конечное число точек х1, ..., х„множества Е.
Поскольку х,,ф Г, то можно построить, например, шаровые окрестности 01(х), ..., 0„(х) точки.х так, что х, ф 0;(х). Тогда 0(х) = П 0,(х) будет открытой окрестностью.тонки 1=1 х, которая вообще не содержит точек, Р, т. е. 0(х) С К™ ~ Е и, следовательно, множество К'" ~ г' = К ~ Р открыто, т. е. Е замкнуто в К'", ь 408 ГЛ.
УП. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3. Компакты в Ж ' Определение 8. Множество КС Ж™ называется компактом, если из любого покрытия К множествами, открытыми в Ж™, можно выделить конечное покрытие. Пример 12, Отрезок [а, Ь) С Ж1 является компактом в Ж' в силу леммы о конечном покрытии. Пример 13. Обобщением отрезка в $Г' является множество 1 = (х 6 Ж'" ~ а* < х' < Ь', з = 1, ..., т), которое называется т-мерным промежутиком, т-мерным брусом или т-мерным параллелепипедом. Покажем, что 1 — компакт в Ж"". ~ Предположим, что из некоторого открытого покрытия 1 нельзя выделить конечное покрытие.
Разделив каждый из координатных отрезков 11 = = (х' Е Ж ~ а' < х' < Ь') (з = 1, ..., т) пополам, мы разобьем промежуток 1 на 2™ промежутков, из которых по крайней мере один не допускает конечного покрытия множествами нашей системы. С ним поступим так же, как и с исходным промежутком. Продолжая этот процесс деления, получим последовательность вложенных промежутков 1 = 11 Э Хр ) ...:) 1 Э ..., ни один из которых не допускает конечного покрытия. Если Х„= (х б Ж™ ~ а'„< х' < Ь'„, 1 = 1,..., т), то при каждом е Е (1,..., т) координатные отрезки а,*, < х' < Ь,', (и = 1,2,...) образуют, по построению, систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.
Найдя при каждом 1 Е (1,, т) точку ~' Е ~а,'„Ь,',~, общую для всех этих отрезков, получим точку ~ = (~',..., ('™), принадлежащую всем промежуткам 1 = 11, 1~, ..., 1„, ... Поскольку ~ Е 1, то найдется такое открытое множество С нашей системы покрывающих множеств, что ~ е С. Тогда при некотором б > 0 также В®б) С С, Но по построению в силу соотношения (2) найдется номер Х такой, что 1„С В® б) С С при п > Ж, и мы вступаем в противоречие с тем, что промежутки Х„не допускают конечного покрытия множествами данной системы.
Ь Утверждение 3. Если К вЂ” компакт в Ж, то а) К вЂ” замкнутпое множестпво в Ж™; Ь) любое эамкнутпое в Ж множестпво, содержащееся в К, само является компактом. ° ф а) Покажем, что любая точка а Е К™, предельная для К, принадлежит К. Пусть а ~ К. Для каждой точки х б К построим такую окрестность С(х), что точка а обладает окрестностью, не имеющей с С(х) общих точек. Совокупность (С(х)), х б К, всех таких окрестностей образует открытое покрытие компакта К, из которого выделяется конечное покрытие С(х1), ..., С(х„).
Если теперь О;(а) — такая окрестность точки а, что 409 $1. ПРОСТРАНСТВО и И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ С(х,) П 0;(а) = дЗ, то множество О(а) = Д 0;(а) также является окрест1=1 ностью точки а, причем, очевиднод К й 0(а) = дсд. Таким образом, а не может быть предельной точкой для Х. Ь) ПУсть à — замкнУтое в Кддд множество и г С К. ПУсть 1С,х1, а д= А, — покрытие г' множествами, открытыми в Кддд.
Присоединив к нему еще одно открытое множество С = К ~ Е, получим открытое покрытие Кддд и, в частности, К, из которого извлекаем конечное покрытие Х. Это конечное покрытие Х будет покрывать также множество г. Замечая, что С П Р = дс1, можно сказать, что если С входит в это конечное покрытие, то, даже удалив С, мы получим конечное покрытие Г множествами исходной системы (С„), а е А. Определение 9, Диаметром множества Е С К™ называется величина Й(Е): = вддр И(х1 д хз). хд,ххЕЕ Определение 10. Множество Е С К'" называется огракичеккым, если его диаметр конечен.
Утверждение 4. Если К вЂ” компакт в К, то Х вЂ” ограниченкое подмножество К™. ~ Возьмем произвольную точку а д= К~ и рассмотрим последовательность шаров (В(а;и)) (и = 1, 2, ...). Они образуют открытое покрытие К, а следовательно, и К. Если бы К не было ограниченным множеством, то из этого покрытия нельзя было бы извлечь конечное покрытие К. ~ Утверждение 5. Множество Х С К™ явллетсл компактом в том и только в том случае, если К замкнуто и ограничено в К ~ Необходимость этих условий нами уже показана в утверждениях 3 и 4. Проверим достаточность этих условий.
Поскольку Х вЂ” ограниченное множество, то найдется т-мерный промежуток Х, содержащий, Х. Как было показано в примере 13, У является компактом в К'". Но если К вЂ” замкнутое множество, содержащееся в компакте 1, то по утверждению ЗЬ) оно само является компактом. Э Задачи и упражнения 1. Расстпоянием с~(Ед, Ех) между множестввами Ед, Ед С К называется величина 'д(Ед, Ея):= шЕ И(хд, хз). х д Е ЕЬ х Х Е ЕХ Приведите пример замкнутых в К множеств Ед, Ед без общих точек, для которых И(Ед, Ез) = О.
410 ГЛ. ЧП. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Покажите,что а) замыкание Е в Ж~ любого множества Е С Й является множеством, замкнутым в Ж™; Ь) множество дЕ граничных точек любого множества Е С Ж™ является замкнутым множеством; с) если С вЂ” открытое множество в Й™, а г' замкнуто в Ж™, то С~ г' — открытое подмножество Ж 3. Покажите, что если Х1 Э Хр Э ... Э Х Э ... — последовательность вложенных компактов, то П Х; ~ Я. З 2. Предел и непрерывность функции многих переменных 1. Предел функции. В главе Ш мы подробно изучили операцию предельного перехода для вещественнозначных функций ~: Х -+ Ж, определенных на множестве Х, в котором фиксирована база В.
В ближайших параграфах нам предстоит рассматривать функции ~: Х ~ -+ Ж", определенные на подмножествах пространства Ж~, со значениями в Ж = Ж1 или вообще в Ж", п б Я. Мы сделаем сейчас ряд добавлений к теории предела, связанных со спецификой этого класса функций. Начнем, однако, с общего основного определения. Определение 1. Точка А 6 Ж" называется пределом отображения ~: Х -+ Ж" по базе В в Х, если для любой окрестности У(А) этой точки найдется элемент В Е В базы В, образ которого ДВ) содержится в У(А). Короче, 1пп У(х) = А:= ЧУ(А) 3В Е В (У(В) С У(А)).
Мы видим, что определение предела функции у: Х -+ Ж" полностью совпадает с определением предела функции ~: Х -+ Ж, если мы представляем себе, что такое окрестность У(А) точки А Е Жв для любого и Е 1ч. Определение 2. Отображение ~: Х -+ Ж" называется ограниченным, если множество ~(Х) С 2Г ограничено в Ж". Определение 3. Пусть  — база в множестве Х. Отображение ~: Х -+ -+ Ж" называется финальио ограниченным при базе В, если найдется элемент В базы В, на котором ~ ограничено. Учитывая эти определения, нетрудно проверить теми же рассуждениями, которые мы провели в главе 111, что фуикиил 1': Х -+ Ж" можетп иметпь ие более одного предела по данной базе ВвХ; фрикиил ~: Х -+ Ж™, имеющая предел по базе В, фииальио ограиичека при зтпой базе В. $2 ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ <ЬУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 411 Определение 1 можно переписать также в иной форме, явно использующей наличие в 3Г метрики.
А именно, Определение 1'. ,11ш~(х) = А Е К":= Че > О ИВОВ Чх Е В (сЕ®х),А) < е) В или Определение 1". 1пп Дх) = А Е К":= 1ш1 сХ®х), А) = О. В В Специфическая особенность отображения ~: Х -+ Ж" состоит в том, что поскольку точка у е К" есть упорядоченный набор (у',..., у") из и вещественных чисел, то задание функции ~: Х -+ 3Г равносильно заданию и вещественнозначных функций ~': Х -+ К (2 = 1, ..., и), где ~'(х) = у' (г = 1,..., и). Если А = (А',..., А") и у = (у1,..., у"), то справедливы неравенства ~у' — А'! ( Н(у, А) с ~/й шах ~у' — А'~, 1« ' из которых видно,что 11ш~(х) = А с=» 1пп~'(х) = А' В В (2) (з = 1,..., и), У; Е):= а(У(Е)), где ЫЩЕ)) — диаметр множества ДЕ).
т. е. сходимость в К" покоординатная. Пусть теперь Х = Ы вЂ” множество натуральных чисел, а  — база Й -+ оо, Й Е 1Ч в нем. Функция ~: М -+ К" в данном случае есть последовательность (уь), Й Е М, точек пространства К". Определение 4. Последовательность (у~), Й б 1ч', точек уь б К" называется фундаменп2аланой, если для любого е > О найдется такое число Х Е М, что при любых Й1, Й2 > М выполнено с1(уь„у~„) < е. Из неравенств (1) видно, что последовательность точек уь — — (у„',..., у,",) Е Е К" фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальна каждая из последовательностей (уь), Й Е Ы, з = 1,, и, их одноименных координат.
Учитывая соотношение (2) и критерий Коши для числовых последовательностей, можно теперь утверждать, что последовательность точек в Ж" сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, Иными словами, критерий Коши справедлив и в пространстве К". Впоследствии метрические пространства, в которых каждая фундаментальная последовательность имеет предел, мы назовем полными метрическими пространствами.
Таким образом, мы сейчас установили, что Ж" при любом и Е Ы является полным метрическим пространством. Определение 5. Колебанием функции 1"'Х-+ Ж" на множестве Е С Х называется величина 412 ГЛ. Ч11. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Как видно, зто есть прямое обобщение определения колебания вещественнозначной функции, в которое определение 5 и переходит при и = 1.
С полнотой К" связано то, что для функций ~: Х -+ $Г со значениями в К" справедлив следующий критерий Коши существования предела. Т ео р е м а 1. Пустпь Х вЂ” множестпво,  — база в Х. Функция ~: Х -+ $Г имеетп предел по базе В в том и тполько в тпом случае, когда для любого числа е > О найдется элементп В Е В базы, на котпором колебание функции меньше е. Итак, Э 11ш~(х) ~ Че > О ЗВ Е В (м(~;В) < е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
