В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Р Это можно проверить либо непосредственно по определению непрерывности, либо заметить, что функция Е есть композиция (~ о л')(х, р) непрерывных функций. В частности, отсюда с учетом с) и е) следует, что, например, функции У(х, у) = а1п х + е*", У(х, р) = агсйд (1п(3х! + 1у3 + 1)) непрерывны на К2. Заметим, что проведенные рассуждения по существу своему локальны, а то, что в примере 7 функции ~ и Р рассматривались соответственно на всей оси К или плоскости К2, является обстоятельством случайным.
Пример 8. Функция ~(х, р) из примера 2 непрерывна в любой точке пространства К2, кроме точки (0,0). Заметим, что, несмотря на разрывность функции ~(х, у) в точке (О, 0), эта функция непрерывна по любой из двух своих переменных при каждом фиксированном значении другой переменной. Пример 9. Если функция ~: Е -+ К" непрерывна на множестве Е, а Š— подмножество Е, то ограничение Д вЂ” функции ~ на это подмножество есть функция, непрерывная на Е, что непосредственно следует из определения непрерывности функции в точке. Перейдем теперь к глобальным свойствам непрерывных функций. Чтобы сформулировать их для функций ~: Е -+ $Г, дадим сначала два определения. Определение 8. Отображение ~: Е -+ К" множества.Е с К™ в пространство К" называется равномерно непрерывным на Е, если для любого числа е > 0 найдется такое число б > О, что для любых точек х1, х2 Е Е таких, что н(х1,х2) < б, выполнено д®х1), ~(х2)) < е.
как и прежде, подразумевается, что расстояния а(х1,х2), и(~(х1), У(х2)) измеряются соответственно в К™ и К". При т = н = 1 мы возвращаемся к уже знакомому нам определению равномерной непрерывности числовых функций. Определение 9. Множество Е С К™ называется линейно связным, если для любой пары хо,'х1 его точек существует путь Г: Х -+ Е с носителем в Е и с концами в этих точках. Иными словами, из любой точки хо Е Е можно пройти к любой точке х1 Е Е, не выходя за пределы множества Е.
418 ГЛ. У11. <ЬУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Поскольку мы пока не будем рассматривать иного понятия связности мйожества, кроме понятия линейной связности, то для краткости условимся пока линейно связные множества назвать просто свлзными. О п р е д ел е н и е 10. Областью в пространстве К называется открытое связное множество. Пример 10.
Шар В(а;т), г > О, в К является областью. Открытость В(а; г) в К' нам уже известна. Проверим, что шар связен. Пусть хо = (х~о,..., хо ) и х1 — — (х1„..., х, ) — две точки шара. Путь, задаваемый функциями х'(Ф) = 1х', + (1 — 1)хо (1 = 1,..., т), определенными на отрезке 0 < Ф < 1, имеет своими концами точки хо и х1. Кроме того, его носитель лежит в шаре В(а; г), поскольку, в силу неравенства Минковского, при любом йб [О,Ц а(х(й),а) = + (1 — ~) .
< ~т + (1 — ~) г = г. П р и м е р 11. Окружность (одномерная сфера) радиуса г > Р есть подмножество в йг, задаваемое уравнением (х1)г + (хг)г = гг. Полагая х' = т соя|, х = гя1п1, видим, что любые точки окружности можно соединить путем с г носителем на окружности. Значит, окружность — связное множество. Однако это множество не является областью в Жг, поскольку оно не открыто в Кг. Сформулируем теперь основные Глобальные свойства непрерывных функций а) Если отпображение ~: К вЂ” ~ й" непрерывно на компакте К с К, то оно равномерно непрерывно на К.
Ъ) Ес и отпображение ~: К-+ К" непрерывно на компакте К С К"', то оно ограничено на К. с) Если функцил ~: К -+ й непрерывна на хомпактпе К С К™, то она прини.маетп в некоторых точках К минимальное и макси.мальное из своих значений на К. Й) Если функция ~: Е -+ Й непрерывна на свлзном множестве Е, принимаетп в точках а, Ь Е Е значенил 1'(а) = А, ДЬ) = В, то длл любого числа С, лежащего между А и В, найдется тпочка с Е Е, в которой Дс) = С. Изучая в свое время (гл.
1У, 8 2) локальные и глобальные свойства числовых функций одной переменной, мы дали такие их доказательства, которые 1 2. пРедел и непРБРыВКОсть Функции мнОГих пеРеменных 419 переносятся и на рассматриваемый здесь более общий случай. Единственное изменение, которое при этом следует сделать в прежних доказательствах, состоит в том, что выражения типа ~х1 — х2~ или Щх1) — ~(х2)~ надо заменить на и(х1, х2) и Щ(х1), ~(х2)), где д — метрика в том пространстве, где лежат рассматриваемые точки. Это замечание относится в полной мере ко всему, кроме последнего утверждения с1), доказательство которого мы сейчас проведем. «< д) Пусть Г: 1 — ~ Š— путь, являющийся таким непрерывным отображением отрезка [о.„в) = 1 с К, что Г(а) = а, Г(~3) = 6. В силу связности Е такой путь существует.
Функция ~0 Г: 1 -+ К, как композиция непрерывных функций, непрерывна, поэтому на отрезке ~а,,в] найдется точка у б (а, Я, в которой ~оГ(у) = С. Положим с = Г(у). Тогда с~ Е и Дс) = С. ~ь Пример 12. Сфера Я(0;г), задаваемая в К™ уравнением (х1)2 +... + (х™)2 = г2, является компактом. Действительно, из непрерывности функции (х1,..., х~) ~ — + (х ) +... + (х™) следует замкнутость сферы, а из того, что на сфере ~х'~ < г (з = 1,..., т), следует ее ограниченность. Функция (х1 ) ~ (х1)2 + + (хь)2 (хь+1)2 (х )2 непрерывна на всем пространстве К, поэтому ее ограничение на сферу есть также непрерывная функция, которая в силу глобального свойства с) непрерывных функций имеет на сфере минимальное и максимальное значения. В точках сферы (1,0,..., 0), (О, ..., О, 1) рассматриваемая функция принимает значения 1 и — 1 соответственно.
Ввиду связности сферы (см. задачу 3 в конце параграфа) на основании глобального свойства с1) непрерывных функций можно утверждать, что на сфере есть точка, в которой рассматриваемая функция обращается в нуль. Пример 13. Открытое множество К ~ Я(0;т) при т > 0 не является областью, так как оно несвязно. Действительно, если Г: 1-+ К"' есть путь, один конец которого совпадает с точкой х0 —— (О, , 0), а другой — с некоторой точкой х1 = (х11,...,х, ) такой, что (х')2 +...
+ (х~~)2 > т2, то композиция непрерывных отображений Г:1-~К~ и ~:К -+К, где (х1 ) ~+ (х1)2+ + (х )2 420 ГЛ. У11. 4>УНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ есть непрерывная на отрезке Х функция, принимающая на его концах значения, меньшее и большее чем т2. Значит, на этом отрезке найдется точка у, в которой (~ о Г)(у) = г~. Тогда точка х~ = Г(~) носителя нашего пути оказывается лежащей на сфере Я(0; т).
Мы показали, что нельзя выйти из шара В(0; г) С К™, не пересекая его граничной сферы Я(0; г). Задачи и упражнения 1. Пусть у Е С(Ж; й). Покажите, что а) множество Е1 = (х е Й ~ У(х) ( с) открыто в Ж Ь) множество Е~ — — (х б й™ [ Дх) < с) замкнуто в и с) множество Ез = (х б Ж™ ~ ~(х) = с) замкнуто в Ж Й) если Дх) -+ +со при х -+ оо, то Е2 и Ез компактны в Ж™; е) для любой функции ~: Ж -+ Ж множество Е4 = 1х Е Й~ ~ ы(У;х) > е) замкнуто в И~. 2. Покажите, что отображение ~: й™ -+ Ж" непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого в й" множества является открытым в К множеством.
3. Покажите, что а) образ ~(Е) связного множества Е С й при непрерывном отображении у: Е -+ -+ Й" является множеством связным; Ь) объединение связных множеств, имеющих общую точку, является связным множеством; с) полусфера (х') +... + (х'") = 1, х > О, является связным множеством; д) сфера (х') +...
+ (х ) = 1 является связным множеством; е) если Е С Ж и Е связно, то Е есть промежуток на Ж (т. е. отрезок, полуинтервал, интервал, луч или вся числовая ось); 1) если хо — внутренняя, а х1 — внешняя точка множества М С К~, то носитель любого пути с концами хо, х1 пересекает границу множества М. ГЛАВА Ч1П ДИ<РФ ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИС'ЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ З 1.
Линейная структура в й~ х1 + х2 = (х1 + хз,..., х™1 + х2™), а умножение элемента х = (х',..., х™) на число Л е Ж вЂ” соотношением Лх = (Лх',..., Лх~), (2) то К™ становится линейным пространством над полем действительных чисел, Его точки теперь можно называть векторами. Векторы е; = (О,..., О, 1,0,..., 0) (а = 1,..., т) (3) (где единица стоит лишь на з-м месте) образуют максимальную линейно независимую систему векторов этого пространства, ввиду чего оно оказывается т-мерным векторным пространством. Любой вектор х Е Ж™ может быть разложен по базису (3), т. е.
представлен в виде х = х1е1+... + х е,„. (4) Индекс при векторе мы условимся писать вниз, а координаты,как н до сих пор, будем отмечать верхним индексом. Это удобно по многим причинам, одна из которых, в частности, состоит в том, что, следуя Эйнштейну'~, можно 1~ А. Эйнштейн (1879 — 1955) — крупнейший физик нашего столетия, работы которого по квантовой теории и особенно по теории относительности оказали революционизирующее влияние на всю современную физику. 1. Й как векторное пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
