В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 80
Текст из файла (страница 80)
6. Покажите, что: а) Если тяжелая частица под действием силы тяжести скользит вдоль кривой, заданной в параметрическом виде х = х(д), у = у(д), причем в момент $ = О частица имела нулевую скорость и находилась в точке хо = х(до), у = у(до), то между параметром д, определяющим точку на кривой, и моментом Ф прохождения частицей этой точки имеется связь (см. формулу (15) из $ 4) в которой несобственный интеграл заведомо сходится, если у'(до) ~ О (знак выбирается в зависимости от того, имеют ли Ф и д одинаковый или противоположный характер монотонности, причем если росту $ отвечает рост д, то, разумеется, следует брать знак плюс).
Ь) Период колебания частицы в ямке, имеющей профиль циклоиды х = В(д+л+в1пд), ~д~ < тт, у = — В(1+ соя д), не зависит от уровня уо —— -В(1+ соя до), с которого она начинает скольжение, и равен 4тт,/В/у (см. задачу 4 из ~ 4). ГЛАВА ЧП <РУ'НКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ До сих пор мы рассматривали почти исключительно числовые функции х «-? + Дж), в которых число ~(х) определялось заданием одного числа х из области определения функции.
Однако многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих ее факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору (х1,..., х") чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, ставится в соответствие значение у = Дх1, ..., х") исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов. Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объем данного количества газа вычисляется по формуле $'=  —, тиТ р ' где  — постоянная, т — масса, Т вЂ” абсолютная температура и р — давление газа. Таким образом, значение 'К зависит от переменной упорядоченной тройки чисел (т, Т, р) или, как говорят, Ъ' есть функция трех переменных ш, Т и р. Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.
Как и в случае функций одного переменного, изучение функций многих числовых переменных начинается с описания их области определения. З 1. Пространство й™ и важнейшие классы его подмножеств 1. Множество й н расстояние в нем. Условимся через Ж«" обозначать множество всех упорядоченных наборов (ю',..., х ), состоящих из т действительных чисел х' «= Й (г = 1,..., т). ГЛ. У11. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 11(Х1~ Х2) = Функция 11: К™ХК -+К, определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами: а) 11(х1,Х2) > 0; Ь) (1»(х1, х2) = 0) ~=~ (х1 = х2); С) И(Х1,Х2) = 11(Х2,Х1)> д) а(Х1>хв) (~ а(х1,Х2) + д(Х2,хз).
Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии иеравеистпвом тпреугольиика) есть частный случай неравенства Минковского (см. гл.'Ч, ~ 4, п.2), Функцию, определенную на парах (х1, х2) точек некоторого множества Х и обладающую свойствами а), Ь), с), 11), называют метприт«ой или расстпояиием в Х. Множество Х вместе с фиксированной в нем метрикой называют метпричесхим простпранстпвом. Таким образом, мы превратили К в метрическое пространство, наделив множество К™ метрикой, заданной соотношением (1).
Сведения о произвольных метрических пространствах читатель сможет получить в главе 1Х (часть П). Здесь же мы не хотим отвлекаться от необходимого нам сейчас конкретного метрического пространства К™. Поскольку в этой главе множество К с метрикой (1) будет для нас единственным метрическим пространством, составляющим объект изучения, то общее определение метрического пространства нам по существу пока не нужно. Оно приведено только для пояснения употребляемого по отношению к множеству К термина «пространство» и по отношению к функции (1) термина «метрика».
Из соотношения (1) следует, что при 1 Е 11,..., тп) ~х1 — х2~ ( И(х1,х2) ( 1/Б п1ах ~х~ — х2~, 1 Я ~~ш (2) т. е. расстояние между точками х1, х2 Е К™ мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек. Каждый такой набор будем обозначать одной буквой х = (Х1,..., х"') и в соответствии с удобной геометрической терминологией называть тпочко«1 множества К . Число х' в наборе (Х1,..., Хт") называют «-й коордииатпой точки х = (х1,...,х"').
Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве К расстояние между точками х1 —— (х',..., х ), Х2 — — (Х21, ..., Х™2) по формуле 405 ~ 1. ПРОСТРАНСТВО К И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ Из (2), как и из (1), видно, что при т = 1 множество К' совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел. 2. Открытые и замкнутые множества в К™ъ Определение 1. При б ) О множество В(а; б) = (х б К™ ~ й(а, х) < Я называется шаром с ивнтром а е К™ радиуса 6 или также 6-охрестностью точки а Е К Определение 2.
Множество С с К называется отхрытым в К если для любой точки х б С найдется шар В(х; б) такой, что В(х; б) с С. Пример 1. К™ — открытое множество в К Пример 2. Пустое множество ю вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т.
е. И вЂ” открытое множество в К Пример 3, Шар В(а;г) — открытое множество в К™. Действительно, если х е В(а; г), т. е. И(а, х) < г, то при О < б < г — д(а, х) будет В(х; 6) С В(а; г), поскольку (с Е В(х;6)) =; (сЦх, ~) < б) =; ~ (й(а,К) < сКа,х)+сЕ(х,~) < сЮ(а,х) + г — й(а,х) = г). Пример 4. Множество С = (х Е К™ ~И(а,х) > г), т. е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки а Е К™ на расстояние, большее чем г, является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.
Определение 3. Множество Г С К™ называется замхнушым в К™, если его дополнение С = К™ ~ г' в К™ является множеством, открытым в К™. Пример 5. Множество В(а;г) = (х Е К ~а(а,х) < г), г > О, т. е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки а Е К™ не больше чем на г, является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество В(а; г) называют замхнутым шаром с иентром а радиуса г. Утверждение 1, а) Обьединение Ц С множеств любой системы аЕА (С~, о Е А) множеств, ошхрытых в К™, является множеством, отхрытым в К™.
Ь) Пересечение И С, хонечного числа множеств, отхрытпых в К™, явля1=1 ется множеством, отхрытым в К'", 14* ГЛ. УП. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМНННЫХ 406 а') Лересечение П Р множеств любой систпемы (Е, а е А) множестпв аЕА Р„, замкнутых в К™, является множестпвом, замкнутпым в К Ь') Объединение () Р', конечноао числа множеств Р„замкнутпых в К т=1 являетпся множестпвом, замкнутпым в К ~ а) Если х е ( ) О, то найдется такое ов е А, что х е С,„„и, следос ЕА вательно, найдется такая б-окрестность В(х; Б) точки х, что В(х; б) С С,, Значит, В(х;о) С () С .
аЕА и Ь) Пусть х Е П С,. Тогда х Е С; (г = 1,...,п). Пусть о1, ..., о„— т=1 такие положительные числа, что В(х;бт) с С; (г = 1,..., и). Полагая о = в = ш1п(о1,..., 6„), очевидно, получим, что б > 0 и В(х; Б) С П С;. т=1 а') Покажем, что множество С( )) Р ), дополнительное к П Р, в К аЕА аЕА является открытым подмножеством К Действительно, где С = СР открыты в К .
Теперь а') следует из а). Ь') Аналогично, из Ь) получаем Пример 6. Множество Я(а;г) = (х )= К ~сМ(а,х) = т'~, т > О, называется сферой с иентром а )= К радиуса т. Дополнение к Я(а;т) в К'" в силу примеров 3 и 4 является объединением открытых множеств. Значит, в силу доказанного утверждения оно открыто, а сфера Я(а; т) есть замкнутое подмножество К™. Определение 4. Открытое в К множество, содержащее данную точку, называется окрестмостью этой точки в К™. В частности, как следует из примера 3, о-окрестность точки является ее окрестностью. Определение 5. Точка х )= К по отношению к множеству Е С К называется: внутпренней точкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой своей окрестностью; внеи))ней точкой Е, если она является внутренней точкой дополнения к Е в К"', $1.
ПРОСТРАНСТВО Й И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ 407 граничной точкой Е, если она не является ни внешней, ни внутренней точкой множества Е. Из этого определения следует, что характеристическое свойство граничной точки множества состоит в том, что в любой ее окрестности имеются как точки этого множества, так и точки, ему не принадлежащие. П р и м е р 7. Сфера Я(а;т), г > О, является множеством граничных точек как открытого шара В(а; т), так и замкнутого шара В(а; г).
Пример 8. Точка а е К™ является граничной точкой множества К ~а, которое не имеет внешних точек. Пример 9. Все точки сферы Я(а; т) являются ее граничными точками; внутренних точек множество Я(а; т) как подмножество К™ не имеет. Определение 6, Точка а е $Г' называется предельмой точкой множества Е с К, если для любой окрестности 0(а) точки а пересечение Е П 0(а) есть бесконечное множество.
Определение 7. Объединение множества Е и всех его предельных точек из К называется замыканием множества Е в К Замыкание множества Е обычно обозначают символом Е. Пример 10. Множество В(а;г) = В(а;т) 0Я(а;г) есть множество предельных точек для открытого шара В(а; т), поэтому В(а;г), в отличие от В(а; т), и назвали замкнутым шаром. Пример 11.
Я(а;г) =5(а;т). Вместо того чтобы обосновывать последнее равенство, докажем следующее полезное Утверждение 2. (г' замкнутпо в К ) 4=Ф (Г = Р в К ). Иными словами, г' — замкнутое в К"' множество тогда.и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. Ф Пусть Г замкнуто в К, хЕК и хфР. Тогда открытое множество С = К ~ Р является окрестностью точки х, вообще не содержащей точек множества Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
