В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Из (1) при а = )9 = у следует, что 1(а,а) = О, а при а = ) получаем, что 1(а„д) + 1(,0, а) = О, т. е. 1(а„8) = -1® а). В этом сказывается влияние порядка точек а, д. Полагая У(х) = 1(а,х), в силу аддитивности функции 1 имеем 1(а,Р) = 1(а,Р) -1(а,а) = У(Р) -У(а). Таким образом, каждая аддитивная функция ориентированного промежутка имеет вид (2) где х )-+ У (х) — функция точки отрезка 1а, Ь]. Легко проверить, что верно и обратное, т. е. что любая функция х )-+ У (х), определенная на отрезке 1а, Ь], порождает по формуле (2) аддитивную функцию ориентированного промежутка, Приведем два типичных примера.
Пример 1, Если 1 )= %~а,Ь], то функция У(х) = /Д~) й порождает, в а ° силу формулы (2), аддитивную функцию Заметим, что в данном случае функция Г(х) непрерывна на отрезке ~а, Ь]. Пример 2. Пусть отрезок (0,1] есть невесомая струна с бусинкой единичной массы, прикрепленной к струне в точке х = 1/2.
З70 Гл. 1ть интеГРАл Пусть У(х) есть масса, находящаяся на отрезке [О,х] струны. Тогда по условию О при х<1/2, У'(х) = 1 при 1/2 < х <» 1. Физический смысл аддитивной функции 1(а„д) = У (,В) — У'(ст) при,8 > а — масса, попавшая в полуинтервал ]а„д]. Поскольку функция У разрывна, аддитивная функция 1(а„д) в рассматриваемом случае не может быть представлена как интеграл Римана от некоторой функции — плотности массы. (Эта плотность, т. е. предел отношения массы промежутка к его длине, должна была бы равняться нулю в любой точке отрезка [а, Ь], кроме точки х = 1/2, где она должна была бы быть бесконечной.) Теперь докажем полезное для дальнейшего достаточное условие того, что аддитивная функция порождается интегралом. Утверждение 1.
Пустпь аддитпивная функция 1(а,Я, определенная для тпочек а, )9 отпреэка [а, Ь], тпакова, чтпо сутцестпвуетп функция 1 е %[а, Ь], свяэанная с 1 следуютамм обраэом: для любого отпреэка [а„9] тпакого, чтпо а < а <,О < Ь, выполняетпся соотпнотаение 1п1 1(х) (,Π— а) » (1(а„д) < вар т(х) ()8 — а). хе[а,)т] же[а,)9] Тогда ![а,Ь) = /~(т) дл. ° я Пусть Р— произвольное разбиение а=хо«...
х„=Ь отрезка [а,Ь]; тп, = 1пт",К(х), М, = вар 1(х). ~е[х'-на<] же[а< — ьа1] Для каждого отрезка [х; ~, х;] разбиения Р имеем по условию тп; Ьх; < 1(х; 1, х;) < М, Ьх;, Суммируя эти неравенства и пользуясь аддитивностью функции 1(а„д), получаем тп,Йх; . 1(а,Ь) <,~ М;Ьх;. 1=1 а=1 Крайние члены в последнем соотношении суть знакомые нам нижняя и верхняя суммы Дарбу функции 1, соответствующие разбиению Р отрезка [а, Ь]. При Л(Р) -+ 0 обе они имеют своим пределом интеграл от 1 по отрезку [а, Ь].
Таким образом, переходя к пределу при Л(Р) -+ О, получаем, что х~а,б) = /У(и)ил. ь $4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА З71 Продемонстрируем теперь утверждение 1 в работе. 2. Длина пути. Пусть частица движется в пространстве Жг, и пусть известен закон ее движения г(8) = (х($), у($),г($)), где х($), у($), г(8) — прямоугольные декартовы координаты точки в момент времени Ф. Мы хотим определить длину» [а, Ь] пути, пройденного точкой за промежуток времени а ~ $ ( Ь. Уточним некоторые понятия.
Определение 1. Путпвм в пространстве Ж~ называется отображение Ф 1-» (х($), у(Ф), г($)) числового промежутка в пространство Ж~, задаваемое непрерывными на этом промежутке функциями х($), у(Ф), г($). Определение 2. Если й 1-+ (х(Ф),у(й),я(й)) есть путь, для которого областью изменения параметра Ф является отрезок [а, Ь], то точки А = (х(а), у(а), л(а)), В = (х(Ь), у(Ь), г(Ь)) пространства Ж~ называются соответственно началом и кониом пути.
О п р е делен и е 3. Путь называется замкнутпым, если он имеет и начало, и конец и эти точки совпадают. О пред еление 4. Если Г: 1 — » Жз — путь, то образ Г(1) промежутка 1 в пространстве Ж~ называется носитпвлем пути. Носитель абстрактного пути может оказаться вовсе не тем, что мы хотели бы назвать линией. Существуют примеры путей, носители которых, например, содержат целый трехмерный куб (так называемые «кривые» Пеано). Однако если функции х(т), у(т), г(Ф) достаточно регулярны (как, например, в случае механического движения, когда они дифференцируемы), то ничего противоречащего нашей интуиции, как можно строго проверить, заведомо не произойдет.
О пред елен и е 5. Путь Г: 1 -+ Жг, для которого отображение 1-+ Г(1) взаимно однозначно, называется простпым путпем или параметпризованной кривоб, а его носитель — кривой в Жз. Определение 6. Замкнутый путь Г: [а, Ь] — » Жг называется простпым замкнутпым путпем или простпой замкнутпой кривой, если путь Г: [а, Ь] + Жг является простым. Значит, простой путь отличается от произвольного пути тем, что при движении по его носителю мы не возвращаемся в прежние точки, т. е. Не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, ее конца, если простой путь замкнут.
Определение 7. Путь Г: 1 -+ Жз называется путем данного класса гладкостпи, если задающие его функции х(8), у(8), г(8) принадлежат указанному классу. (Например, классу С[а, Ь], С®[а, Ь] или С® [а, Ь].) 13 Зорич В. А, 372 ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ Ф 'у) =Ф Р]+15 6) и, во-вторых, если тг($) = (х($), у($), л(1)) есть скорость точки в момент 1, то 1пЕ ~ч(й)~(,0 — а) < 1[а,~У) < вар ~ч(Ф)~(,8 — а). ае[аД ае~а,о1 Таким образом, если функции х(1), у(1), я(1) непрерывно дифференцируемы на [а, Ь), то в силу утверждения 1 мы однозначно приходим к формуле Ь ь 1[а,д) = ~ч(Ф)~й = (3) которую и принимаем теперь как определение длины гладкого пути Г: [а, Ь] -+ ~з Если я(~): — О, то носитель пути лежит в плоскости и формула (3) приобретает вид ь ~[д Ц- «/улаф» ргфд~ (4) Пример 3.
Опробуем формулу (4) на знакомом объекте. Пусть точка движется в плоскости по закону х = Всо82лФ, р = Вяп2~г$. (5) За промежуток времени [О, 1] точка один раз пробежит окружность радиуса В, т. е. пройдет путь длины 2~гВ, если длина окружности вычисляется по этой формуле. Проведем расчет по формуле (4): 1[0, 1] = ( — 2~гВяп2тФ) + (2хВ соя 2т$)~ гВ = 2~гВ. Определение 8. Путь Г: [а,Ь) -ь йз называется гщсочно гладким, если отрезок [а, Ь) можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых соответствующее ограничение отображения Г задается непрерывно дифференцируемыми функциями. Именно гладкие пути, т.
е. пути класса С®, и кусочно гладкие пути мы и будем сейчас рассматривать. Вернемся к исходной задаче, которую теперь можно сформулировать как задачу определения длины гладкого пути Г: [а, Ь) -+ Кз. Наши исходные представления о длине 1[а, ф] пути, пройденного в промежуток времени а < 1 (,9, таковы: во-первых, если а <,8 < у, то ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ Заметим, что если взятую параметризацию рассматривать на любом отрезке вида [ — 1+ Ю, 1 — 61, где -1 < -1+ д < 1 — О < 1, то на нем формула (6) применима и по ней находим длину 1-б Ц-1+8,1 — 81 = -1+б дуги окружности, лежащей над отрезком [ — 1+ 8, 1 — О1.
Естественно поэтому считать, что длина 1 полуокружности есть предел 1пп 1 [ — 1+ О, 1 — Ю1. В таком же смысле можно понимать и интеграл в соотноб-++О шении (7). Этим естественно возникающим расширением понятия интеграла Римана мы подробнее займемся в следующем параграфе. Что же касается рассматриваемого конкретного вопроса, то, даже не ме- Г 1 11 няя параметризацию, можно нанти, например, длину 1~--, -~ дуги единичной окружности, опирающейся на хорду, конгруэнтную радиусу окружности. Тогда (уже из геометрических соображении) должно быть 1 = 3 1[ — — -~.
Г 1 11 2' 21' Заметим также, что 1 — хл Й~— поэтому 1-б 1[-1+6,1 — Ю~ = 2 1 — х2 й: — х 1 — х~ Таким образом, 1 = Иш 1[ — 1+ 8, 1 — О1 = 2 1 — ю~ йю. б-++О Длина полуокружности единичного радиуса обозначается символом зг, и мы приходим к следующей формуле: Последний интеграл есть обычный (а не обобщенный) интеграл Римана, и его можно вычислить с любой точностью. 375 $4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА Если для х е [ — 1, 1] величину 1 [х, 1] назвать агссоя х, то в силу проведенных вьппе выкладок 1 Ю агссоях = ~ 1 — г2 или атссовл = х ~/1 — х~ ~- '2 /~/1 — И ~й.
х Если считать длину дуги первичным понятием, то первичными надо счи- тать функцию х ~-+ агссоях, введенную только что, и функцию х ~-+ агсяшх, которую можно ввести аналогично, а функции х ~+ соях и х ~-~ апх тогда можно получить как им обратные на соответствующих отрезках, В. сущно- сти, именно это и делается в элементарной геометрии. Пример с длиной полуокружности поучителен не только тем, что, разби- рая его, мы сделали, быть может, небесполезное для кого-то замечание об определении тригонометрических функций, но еще и тем, что он естественно порождает вопрос о том, не зависит ли вообще определенное формулой (3) число от выбора системы координат х, р, я и параметризации кривой, когда речь идет о длине кривой. Оставляя читателю анализ роли пространственных декартовых коорди- нат, рассмотрим здесь роль параметризации, уточним, что под парамещризаиией некоторой кривой в Кя мы подразуме- ваем задание простого пути Г: 1 -~ ЙЯ, носителем которого является данная кривая.
Точку или число Ф Е 1 называют параметпром, а промежуток 1— областью изменения параметира. Если Г: 1 -+,С и Г: 1 -+ С вЂ” два взаимно однозначных отображения с одним и тем же множеством значений С, то естественно возникают взаимно однозначные отображения Г г о Г: 1 -~ 1, Г ' о Г: 1 -+ 1 между областями определения 1 и 1 этих отображений. В частности, если имеются две параметризации одной кривой, то между самими параметрами $ Е 1, т Е 1 устанавливается естественное соответствие Ф = 8(т) или т = т($), позволяющее по параметру точки в одной параметризв; ции определять ее же параметр в другой параметризации. Пусть Г: [а, Ь] -+,С и Г: [а, ~9] ~ С вЂ” две параметризации одной кривой с соответствием Г(а) = Г(а), Г(Ь) = Гф) начала и конца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
