В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Но тогда имеет место следующее равенство между соответствующими интегральными суммами: о (~; Р, ~) = о® Р', ~') + о® Р", ~п) . Поскольку Л(Р') < Л(Р) и Л(Р™) < Л(Р), то при достаточно малом Л(Р) каждая из написанных интегральных сумм близка к соответствующему интегралу из (3).
Таким образом, равенство (3) действительно имеет место. ьь Чтобы несколько расширить применимость полученного результата, вернемся временно вновь к определению интеграла. Мы определили интеграл как предел интегральных сумм п оЦ;Р,Ц) = ~~®)Ьх;, (4) )) ) Напомним, что символ Дя обоэначает су)кепке функции у на множество Е, ле)ка)цее в области определеннл функцнн 7.
В правой части равенства (3) формально полагалось бы написать не у, а сулкеннл у на соответствукнцне отрезкн. отвечающих разбиениям с отмеченными точками (РЯ отрезка интегрирования [а, Ь]. Разбиение Р составляла монотонная конечная последовательность точек жо, х1, ..., х„, причем точка хо совпадала с нижним пределом интегрирования а, а последняя точка х„совпадала с верхним пределом интегрирования Ь. Эта конструкция проводилась в предположении, что а . Ь. Если теперь взять произвольно два числа а и Ь, не требуя, чтобы обязательно было а < Ь, и, считая а нижним пределом интегрирования, а Ь верхним, провести указанную конструкцию, то мы вновь получим сумму вида (4), в которой на сей раз будет Ьх; > О (в = 1, ..., ~), если а < Ь, и Ьх; < О (в = 1...п) ГЛ.
ЧЬ ИНТЕГРАЛ при а > Ь, ибо Ьхь = х; — х; 1. Таким образом, сумма (4) при а > Ь будет отличаться от интегральной суммы соответствующего разбиения отрезка (Ь, а) (Ь < а) только знаком. По этим соображениям принимается следующее соглашение: если а > Ь, то Ь а /~(х) «(х:= - /~(х) Ох. а Ь (5) В связи с этим естественно также положить, что (х) (ьх:= О. (6) После этих соглашений с учетом леммы 1 приходим к следующему важному свойству интеграла.
Теорема 2. Пустпь а, Ь, с (= Й и пустпь ~ — функтьиц интпегрируемая на наибольшем из отпрезков с концами в указанных точках. Тогда сужение ~ на каждый из двух других отпрезков тпакже интпегрируемо на соотпветпстпвуюиьем отпрезке и имеетп местпо равенстпво ь е а ~у(х)Ь «-/у(х)Ех+/~(х)И =О. а Ь е (7) ° ф В силу симметрии равенства (7) относительно а, Ь, с, мы без ограничения общности можем считать, что а = ппп(а, Ь, с). Если п1ах(а, Ь, с) = с и а < Ь < с, то по лемме 1 ь е е Дх)дх+ Ях) Нх — Ях)(Ь = О, а ь а что с учетом соглашения (5) дает равенство (7). Если шах(а, Ь, с) = Ь и а < с < Ь, то по лемме 1 е ь ь ~~(х) «х+ /~(х) «х — /Дх) Их = О, что с учетом (5) вновь дает (7).
Наконец, если какие-то две из точек а, Ь, с или все три совпадают, то (7) следует из соглашений (5) и (6). в ~((х> 7) = ~Ы Р) + ~0ь 7). Определение 1. Пусть каждой упорядоченной паре (а„д) точек о, Д отрезка [а,Ь] поставлено в соответствие число 1(а„В), причем так, что для любой тройки точек а,,8, 7 (- :~а, Ь) выполнено равенство ь 2 линейнОсть АддитивнОсть и мОнОтОКИОсть интеГРАлА 345 Тогда функция 1(а, Я называется аддиптв«ой фу«кцией орие«тпирова««ого «ромвжишка, определенной на промежутках, лежащих в отрезке [а, Ь).
ь Если 1 Е Я,[А, В] и а, Ь, с Е [А, В), т6, полагая 1(а, Ь) = ~Дх) ах, из (7) за. О ключаем, что е Ь с /Дх)Ш = /У(х)Ш+ /У(х)<х, (8) й а Ь т, е. интеграл есть аддитивная функция промежутка интегрирования. Ориентированность промежутка состоит в данном случае в том, что мы упорядочиваем пару концов отрезка интегрирования, указывая, какой из них первый (являющийся нижним пределом интегрирования) и какой второй (являющийся верхним пределом интегрирования).
3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем ь Ь /~(х)дх < /Щ(х) Их Если при этпом Щ(х) < С «а [а, Ь), шо ь / )Д(х) ~(х < С(а — а). О (10) ° ь При а = Ь утверждение тривиально, поэтому будем считать, что а < Ь. Для доказательства теоремы достаточно вспомнить теперь, что Щ Е %[а, Ь) (см.
утверждение 4 из ~ 1), и написать следующую оценку интегральной суммы о® Р,~): П 11 ФЪ $Ъ ,'» ~®)Ьхь < "»')~(~ь)))Ьхь]=',» Щь))Ьх,<С'„» Ьх;=С(Ь-а). Переходя к пределу при Х(Р) -+ О, получаем < /)Щх) <а < С(Ь вЂ” а). х О а. Одна общая оценка интеграла. Начнем с одной общей оценки интеграла, которая, как потом выяснится, справедлива не только для интегралов от действительнозначных функций, Теорема 3.
Если а < Ь и 1 Е Я,[а, Ь), то Щ Е %[а, Ь) и справедливо «граве«ство ГЛ. ~1. ИНТЕГРАЛ Ь. Монотонность интеграла и первая теорема о среднем. Все дальнейшее специфично для интегралов от действительнозначных функций. Теорема 4. Если а < Ь, ~1, ~р Е Я,[а, Ь] и ~1(х) < Ях) в лю6ой точке х Е [а,Ь], то а а ~ При а = Ь утверждение тривиально. Если же а < Ь, то достаточно записать для интегральных сумм неравенство справедливое, поскольку Ьх; > О (ь = 1, ..., п), и затем перейти в нем к пределу при А(Р) -+ О.
Ь» Теорему 4 можно трактовать как утверждение о монотонности зависимости интеграла от подынтегральной функции. Из теоремы 4 получается ряд полезных следствий. След стане 1. Если а < Ь, ~ Е Я,[а, Ь] и т < Дх) < М на х б [а, Ь], то т (ь — а) ( /Ди) ш < м ~ь — а), а (12) и, в частности, если О < Дх) на [а,Ь], то Ь О < ~(х) Их.
а ° й Соотношение (12) получается, если проинтегрировать каждыи член неравенств т < Дх) < М и воспользоваться теоремой 4. ~ Следствие 2. Если ~ Е И[а,Ь], т = 1пГ ~(х), М = впр ~(х), то або,Ь1 аЕ~а,Ь) найдется число )и е [т, М] такое, что ° и Если а = Ь, то утверждение тривиально. Если а ф Ь, то положим р = — — ~ Дх) Ж. Тогда из (12) следует, что т < а < М, если а < Ь. Но 1 а обе части (13) меняют знак при перестановке местами а и Ь, поэтому (13) справедливо и при Ь < а.
° $2. линейнОсть, АддитиннОсть и мОнОтОннОсть интеГРАлА 347 Следствие 3. Если ~ (:- С[а,Ь], то найдется точка ( Е [а,Ь] шакаа, что Ь /д(х) дх = дд)(ь — а). (14) а й По теореме о промежуточном значении для непрерывной функции, на отрезке [а, Ь] найдется точка ~, в которой ~(~) = (и, если только т = ппп ~(х) <)ы < шах ~(х) = М. хЕ[а,Ь) хЕ[а,Ь) Таким образом, (14) следует из (13). ° Равенство (14) часто называют первой теоремой о среднем для интеграла.
Мы же зарезервируем это название для следующего, несколько более общего утверждения. Теорема 5 (первая теорема о среднем для интеграла). Пусть ~, д (= (= Я.[а, Ь], т = 1пЕ Дх), М = зпр ~(х). Если функция д неошрицашельна хЕ[а,Ь) хЕ[а,Ь) (или неполозсительна) на отрезке [а,Ь], шо ь Ь /(У д)(з)сь = д~д(х) ш, (15) тд(х) < ~(х)д(х) < Мд(х). Поскольку т.д (= %[а,Ь], ~ д е Я,[а,Ь] и М д (= %[а,Ь], то„применяя тео- рему 4 и теорему 1, получаем Ь Ь Ь ш /д(х)ш < ( д(х)д(х) дл (м/д(х)ш. (17) где р(= [т,М].
Если, кроме того, известно, что ~ (= С[а, Ь], шо найдется точка ~ Е [а, Ь] шакая, шо Ь Ь ((у дН.)д*=у(д)/д(')д*. (16) а ~ Поскольку перес~дановка пределов интегрирования приводит к изменению знака одновременЬ)о в обеих частях равенства (15), то достаточно проверить это равенство в случае а < Ь. Изменение знака функции д(х) тоже одновременно меняет знак обеих частей равенства (15), поэтому можно без ограничения общности доказательства считать, что д(х) ) О на [а, Ь]. Поскольку т = 1п1 Дх) и М = зпр .)(х), то при д(х) - О хЕ[а,Ь) хЕ[а,6) ГЛ.
'Л. ИНТЕГРАЛ Если /у(х) сЬ = О, то, как видно из этих неравенств, соотношение (15) х выполнено. ь Едва же ~д(х) дд ф О, то, аалагаи х ь ь д = ~д(х) д ~у д)<д) д,, х Ф ю (17) находим, что пз < р < М, но это равносильно соотношению (15). Равенство (16) теперь следует из (15) и теоремы о промежуточном значении для функции ~ Е С[а, Ь], с учетом того, что в случае ~ б С[а, Ь] ш= пш1 Дж) и М= шах у(я).
1» хе[а,ь| хЕ[а,ь] Заметим, что равенство (13) получается ю (15), если у(я) = 1 на [а, Ь]. с. Вторая теорема о среднем для интеграла. Значительно более специальной и деликатной в рамках теории интеграла Римана является так называемая втпорал тпеорема о среднем'~д. Чтобы не осложнять доказательство этой теоремы, сделаем несколько полезных заготовок, представляющих и самостоятельный интерес.
Преобразование Абеля. Так называется следующее преобразование и ь суммы Я а;Ь;. Пусть Аь = Я а;; положим также Ао — — О. Тогда Итак, ~) а;Ь; = (А. Ь вЂ” Ао Ь1) + ~~Ь Аь(Ьд — Ьь+1), (18) д=1 1д При некотором дополнительном и часто вполне приемлемом условии на функции основную теорему 6 этого раздела можно легко получить из первой теоремы о среднем.
См. по этому поводу задачу 3 к следующему параграфу. дд дд '~ а;Ь;=~ (А; — А; 1)Ь; а=1 д=1 дд дд-1 = ~~) А;Ь; — ~» А; АЬ; — ~~) А; 1Ь;= Ь=1 Ь=1 и-1 Ьь+1 = Ать — Ао Ь1 +,), А'(Ьь — Ьд+1). $ 2. линнйность, лддитивнооть и монотонность интигрАлй 349 или, поскольку Ао — — О, и-1 '~~ а;Ь; = АиЬи+ ~~~ А;(Ь; — Ь;+1). (19) На основе преобразования Абеля легко проверяется следующая й Лемма 2. Если числа Ал = ~ 'а; (й = 1, ...,и) удовлетворяют нера1=1 венстввм т < Ал < М, а числа Ь; (1 = 1,..., и) неотрицательны и Ь; ) Ь+1 приг=1,...,п — 1, то тЬ1 < ~ а;Ц < МЬ1. (20) ~ Используя то, что Ь„> 0 и Ь; — Ь;+1 > 0 при 1 = 1,..., и — 1, из (19) получаем и-1 а1Ь1 ~~ МЬи+ г~ М(Ь1 Ь1+1) = МЬи+ М(Ь1 Ьи) = МЬ1 ° Аналогично проверяется и левое неравенство в соотношении (20).
~ Лемма 3. Если У Е К[а,Ь~, то при юобом х Е [а,Ь] определена функция х к<*) = /ур)х а (21) щх+ь) — к(~)~ = / урух — /ур)х х+Л / ~лм < С[А~, Мы воспользовались неравенством (10) с учетом того, что при Ь < 0 имеем и+Л / 1у(~Их х — у )у(~))х / )у(юИ й. х+Л х+Л и Г(х) Е С[а,Ь). ~ Существование интеграла (21) при любом х е [а, Ь) нам уже известно из утверждения 4 ~ 1, поэтому остается проверить непрерывность Функции Г(х). Поскольку ~ б 7Ца, Ь), имеем Щ < С < оо на [а, Ь). Пусть х б [а, Ь) и х + Ь Е [а, Ь~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
