В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Тогда в силу аддитивности интеграла и неравенств (9), (10) получаем ГЛ.М. ИНТЕГРАЛ Итак, мы показали, что если х, х + Ь Е (а, Ь], то ]Г(х+ Ь) — Р(х)[ < С]Ь|, (22) откуда, очевидно, следует непрерывность функции Г в любой точке отрезка (а,Ь]. Ь Теперь докажем лемму, которая уже является вариантом второй теоремы о среднем, Лемма 4. Если ~, д б Я(а,Ь] и д — неотприцатпельная и невозрастпатощая на отрезке (а, Ь] функция, шо найдетпсл точка ( Е (а,Ь] шакал, чшо /(у.д)(х)дх =д(а)/1(х)дх.
(23) ь х; /(у д)(х)да=1 /(д д)(х)дх= а 1=1 хд 11 хд и хд д(х; 1) /д(х)да~-~ /(д(х) — д(х; 1)]д(х)дх дж1 Хд — 1 1=1 хд и покажем, что при Л(Р) ь О последняя сумма стремится к нулю. Поскольку ~ (= %[а, Ь], то Щх)] ( С < оо на (а, Ь]. Тогда, используя уже доказанные свойства интеграла, получаем н Хд / ]д(х) — д(х;,)] д(х) дх~ 1=1 хд <1 /]д(х) — д(х; 1)]]т(х)]дх< 1=1 хд Хд н < С 1 / ]д(х) — д(х;,)] дх < С 1 х(д; дх;() ах; а 0 Ьх1 хд 1=1 при Л(Р) — э О, ввиду того, что д б Я~а, Ь] (см. утверждение 2 из ~ 1).
Значит, ь и х' (1 д)(х) дх = )1т 1 д(х;,) / т(х) дх. О Л(Р) -+О Хд — 1 (24) Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что, в отличие от соотношения (16) первой теоремь1 о среднем, в (23) под знаком интеграла осталась функция ~, а не монотонная функция д. ~ Для доказательства формулы (23), как и в уже рассмотренных выше случаях, постараемся оценить соответствующую интегральную сумму. Пусть Р— разбиение отрезка [а, Ь].
Запишем сначала тождество $ 2. линнйнооть, Аддитивность и монотонность интнгрАлл 351 Оценим теперь сумму, стоящую в правой части равенства (24). Положив х ]*) = отде, а по лемме 3 получаем функцию, непрерь1вную на отрезке [а, Ь). Пусть т= ппп Г(х) и М= шах Г(х).
хеа,Ь) хЕ[а,Ь] хй Поскольку / ~(х)се = Г(х;) — Г(х; 1), то х» — 1 дъ хй уй Ед]х- )/ у]х)й*=Е]Ф]х') — р]х'- ))д]»1- ). д=1 х; д=1 (25) Учитывая неотрицательность и невозрастание функции д на [а, Ь1 и полагая че' Г(х') Г(х 1) Ь д(хй 1)д по лемме 2 находим, что дд тд(а) ( ~» (Г(х,) — Г(х, 1)) д(х; 1) < Мд(а), (26) поскольку Аь =,» а; = Г(хь) — Г(хо) = Г(хь) — Г(а) = Г(хд). Мы показали, что суммы (25) удовлетворяют неравенствам (26). Вспоминая соотношение (24), теперь имеем тд]а) С /цу д)]х) дх < йуд]а).
а (27) Если д(а) = О, то, как показывают неравенства (27), доказываемое соотношение (23), очевидно, справедливо. Если же д(а) ) О, то положим р = — /ц дКх) дх. а Из (27) следует, что т ~~ ]ы ( М, а из непрерывности функции Г(х) = = ~у]С) д» ке ]а 6] следует, что кейдетс» точке д б ]а й], е которой д'щ = Х. а Но именно это и утверждает формула (23). Ьх 352 ГЛ. У1.
ИНТЕГРАЛ Теорема 6 (вторая теоремао среднем для интеграла). Вслп у, д Е %[а, Ь) и д — монотоннаа на [и, Ь1 фрньсЬьил, то найдетсл точка с е [а, Ь) такал, что ь 4 ь /(у д)(х) дх = д(а)1 у(х) дх + д(Ь) /у(х) дх. (28) У(~ .)(х)дх =.(о)Рх)дх. (29) Но /(д О)(х) дх = д(Ь)~ д(х) дх — ( (У дих) дх, О О О Ф Е 4 0(а)1 у(х] дх = д(Ь)1 у(х) дх — д(а)( у(х) дх. Учитывая эти соотношения и свойство аддитивности интеграла, из (29) получаем доказываемое равенство (28).
Если д — невшрастающая функция, то, полагая С(х) = д(х) — д(Ь), получим, что С(х) — неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на [а, Ь| функция. Далее вновь получаем формулу (29), а за ней и формулу (28). ~ Задачи и упражнения 1. Пока)ките, что если ~ б %[а, Ь) и ~(х) > О на [а, Ь~, то а) прн условии, что в некоторой точке хе б [а, Ь1 непрерывности функция Дх) принимает поло)кнтельное значение ~(хе) > О, имеет место строгое неравенство ь У( ) Ь>О; ь Ь) «в уееоюеи ~д(х)ах =д ехе«ует, то У(х) = О во тиво веви то~ви о реви« [а, Ь1. ь) П.
О. Бонне (1819 — 1892) — французский математик и астроном. Наиболее значительные математические работы Бонне связаны с дифференциальной геометрией. Равенство (28) (как, впрочем, и равенство (23)) часто называют д)ормдлой Бонне1). я Пусть д — неубывающая на [а, Ь] функция. Тогда С(х) = д(Ь) — д(х)— неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на [а, Ь] функция. Применяя формулу (23), находим 52. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 353 2. Покажите, что если у Е Я[а,ф т = ш1' у(х), М = впр у(х), то (~,ь( (а,ь( ь а) / у(х) с»х = (и (Ь вЂ” а), где 1» б [пь, М] (см.
задачу 5а) предыдущего параграфа); в Ь) при условии непрерывности у на [а, Ь] найдется такая точка ( б ]а, Ь[, что ь | у(х)»йх =' ~(4)(Ь вЂ” а). а 3. Покажите, что если У б С[а, Ь], у(х) > О на [и, Ь] и М = шах У(х), то (а,ь( ь 1/в 1пп ~у" (х) Йх = М. и-+оо л ь ~ур ь 1й < У] "(х) пх [д['(х) пх а О ь (у д)(х) <Ь в если ~, д Е %[а, Ь] и р > 1, д > 1, — + — = 1. р я с) Исходя из неравенства Минковского для сумм, получите неравенство Минковского для интегралов: ь ь ~ур ь ~Ь (у + д("(х)»Ь < Щ" (х) с(х + (д("(х)»ьх О О О если у, д Е Я.[а, Ь] и р > 1.
Покажите, что это неравенство меняется на противоположное, если О < р < 1. с1) Проверьте, что если ~ — непрерывная, выпуклая на й функция, а (р — произвольная непрерывная на Ж функция, то при с ~ О справедливо неравенство Иенсена: ц Алгебраическое неравенство Гельдера при р = 4 = 2 впервые было получено в 1821 г.
Коши и носит его имя. Неравенство Гельдера для интегралов при р = 4 = 2 впервые нашел в 1859 г. русский математик В. Я. Буняковский (1804 — 1889). Это важное интегральное неравенство (в случае р = е = 2) называют неравенстпеом Буняковского или керавенатпеом Коши — Бд»»яновского. Встречается иногда и менее точное его название»неравенство Шварц໠— по имени немецкого математика Г. К. А. Шварца (1843 — 1921), в рабогах которого оно появилось в 1884 г. 4. а) Покажите, что если у Е»с[а, Ь], то Щ" Е %[а, Ь] при р )~ О. Ь) Исходя из неравенства Гельдера для сумм, получите неравенство Гельдера для интегралов'1: ГЛ. У1.
ИНТЕГРАЛ 354 ~ 3. Интеграл и производная 1. Интеграл и первообразная. Пусть ~ — интегрируемая по Риману на отрезке [а, Ь] функция. Рассмотрим на этом же отрезке функцию х к(л) = /Д8) й, а часто называемую интпегралом с переменным верхним пределом. Поскольку ~ б Я.[а, Ь], то Я(...~ )= 7Ца, х], если [а, х] С [а, Ь]; поэтому функция х )-+ Г(х) корректно определена для х Е [а, Ь]. Если ]~(1)~ < С < +со на [а, Ь] (а ~, как интегрируемая функция, ограничена на [а, Ь]), то из аддитивности интеграла и простейшей оценки интеграла следует, что (2) [Г(х+ й) — Г(х)] ( С]Ь], если х, х + Ь Е [а, Ь].
Об этом мы, кстати, уже говорили, доказывая лемму 3 предыдущего параграфа. Из неравенства (2), в частности, следует непрерывность функции Г на [а,Ь]. Итак, Г Е С[а,Ь]. Теперь мы исследуем функцию Г более тщательно. Имеет место следующая основная для всего дальнейшего Лемма 1. Если ~ )= Я,[а,Ь] и функция ~ непрерывна в некотпорой тпочке х Е [а, Ь], тпо функция Г, определяемая на [а,Ь] 4ормулой (1), дифференцируема в этпой тпочке х, причем имеетп местпо равенстпво Г'(х) = ~(х).
х х+Л х+л к~х+л) — г(*) = /щй-~щй = /д~)й= а а х х+л х+Л +л / )дт) ~- щ)) й = / ~(х) й ~. / а~1) й = дх) й ~- а(ь) ь, «й Пусть х, х+ Ь Е [а, Ь]. Оценим разность Г(х+ Ь) — Г(х). Из непрерывности ~ в точке х следует, что Дй) = ~(х) + Ь(й), где Ь(й) -+ О при Ф -+ х, Ф Е [а,Ь]. Функция Ь(Ф) = ~(Х) — Дх) интегрируема на [а,Ь], как разность интегрируемой функции 1 )-+ ДФ) и постоянной Дх), если х — фиксированная точка. Обозначим через М(Ь) величину впр ]Ь(й)], где 1(Ь) — отрезок с ~ет(л) концами х, х + Ь Е [а, Ь].
По условию, М® -+ О при Ь -+ О. Теперь запишем 355 $ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ где положено Ь(1) сЮ = а(Ь)Ь. Поскольку х+Л х+Л х+Л М(Ь) сй = М(Ь) [Ь], ь(к) й < [ь(ю)~ а х х то ~а(Ь)[ < М(Ь) и потому а(Ь) -) О, когда Ь вЂ” + О (но так, что х+ Ь )= [а,6]).
Таким образом, показано, что если функция ~ непрерывна в точке х )= [а, 6], то при смещениях Ь от точки х таких, что х+ Ь Е [а, 6], имеет место равенство Г(х+ Ь) — Р(х) = Дх)Ь+ а(Ь)Ь, где а(Ь) -+ О при Ь -+ О. Но это и означает, что функция Г(х) дифференцируема на [а,6) в точке х Е [а,6] и что Р'(х) = Дх). Ь Важнейшим непосредственным следствием леммы 1 является следующая Теорема 1. Каждая непрерывнал на отпрезке [а,6] функция ~: [а,6] -+ й имеетп на эшом отпрезке первообразнуто, причем лтобал первообразнал функции ~ на [а,6) имееш вид Ях) = /Я)гй«с, О (4) еде с — некотпорая посшолннаа.
м (~ Е С[а,6)) ~ (~ )= Я[а,6)), поэтому на основании леммы 1 функция (1) является первообразной для ~ на [а, 6]. Но две первообразные У (х) и Р(х) одной и той же функции на отрезке могут отличаться на этом отрезке только на постоянную, поэтому У(х) = Р(х) + с. Э Для дальнейших приложений удобно несколько расширить понятие перво- образной и принять Определение 1. Непрерывная на числовом промежутке функция х «-) «-+ У'(х) называется первообразной (обобщенной первообразной) функции х «+ )-+ ~(х), определенной на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за исключением, быть может, конечного их числа, имеет место соотношение ~'( ) = У( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
