В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Тогда фрищии $ = г(т), т = т(Ф) перехода от одного параметра к другому будут непрерыв- ными, строго монотонными отображениями отрезков а ~ 8 - Ь, сг ( т <,9 друг на друга с соответствием начал а +-+ а и концов Ь +-+,8. Если кривые Г и Г при этом задавались такими тройками (х($), и(1),я(Ф)), (х(г), р(й), Л(г)) гладких функций, что ]ъ (й)]~ = х~ (й) + ря(Ф) + яя(Ф) 76 0 на [а, Ь] и ]Ф(т)1~ = х (т) + у~(т) + х~(т) ~Е 0 на [а„В], то можно проверить, что в ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ 376 этом случае функции перехода й = й(т) и т = т(Ф) будут гладкими функциями, имеющими положительную производную на отрезке своего определения.
Мы не станем сейчас заниматься проверкой этого утверждения, оно будет в свое время получено как одно из следствий важной теоремы о неявной функции, В данный же момент высказанное утверждение служит скорее мотивировкой следующего определения. Определение 9, Говорят, что путь Г: [а„д] -+ Жз получен из пути Г: [а, Ь] ~ Жз допустимым изменением параметпризаиии, если существует такое гладкое отображение Т: [а„В] -+ [а, Ь], что Т(а) = а, Т(Я = Ь, Т'(т) > 0 на [а, ф] и Г = Г о Т. Проверим теперь следующее общее Утверждение 2.
Если гладни6 путпь Г: [а„В] -+ Жз получен из гладаого путпи Г: [а, Ь] -+ Жз допустпимым изменением параметпризаиии, тпо длины этпиж путпей совпадатотп. ~ Пусть Г: [а,)9] -+ Жг и Г: [а, Ь] -+ Жз задаются соответственно тройками т )-+ (х(т), у(т), Я(т)) и й ~+ ()г(й), у(й), г(й)) гладких функций, а й = й(т) — допустимое изменение параметризации, при котором х(т) = хИ(т)), у(т) = у(~(т)), г(т) = (Ф)) Используя определение (3) длины пути, правило дифференцирования композиции функций и правило замены переменной в интеграле, имеем / й'(т) Й = й а [т[Ф[т))т[т)) т [рот))т[т)) т[т[$[т))т[т)) Ит = Итак, в частности, показано, что длина кривой не зависит от ее гладкой параметризации.
Длину кусочно гладкого пути определяют как сумму длин гладких путей, на которые он подразделяется; поэтому легко проверить, что и длина кусочно гладкого пути не меняется при допустимом изменении его параметризации. Заканчивая обсуждение понятия длины пути и длины кривой (о которой мы после утверждения 2 теперь вправе говорить), рассмотрим еще один Пример 4. Найдем длину эллипса, задаваемого каноническим уравнением Х „2 — + — = 1 (а > Ь > 0). (8) 1 4. некОтОРые пРилОжения интеГРАлА Взяв параметризацию х = а я1п )/), у = Ь соя ф, 0 < ф < 2тг, получаем й)~ = ~ о з/2 ~г/2 =4а/ о аф = 4а 1 — й2а1п2)/) йф, о где Й = 1 — — — квадрат эксцентриситета эллипса.
ь' а2 Интеграл Ф Е(й,у) = ~/1 — Й~1!п~Ф НФ о не выражается в элементарных функциях и ввиду указанной связи с эллипсом называется эллиптическим. Точнее, Е(й, )/.)) — эллиптический интпеграл впюрого рода в форме Лежандра. Значение, которое он принимает при у = х/2, зависит только от й, обозначается через Е(й) и называется полным эдлиптичесхим икп2егралом втпорого рода.
Итак, ЕЯ = Е(й,~г/'2), поэтому длина эллипса в этих обозначениях имеет вид 1 = 4аЕ(й). 3. Площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим фигуру аАВЬ (рис. 48), называемую криеолинейной тпрапецией. Фигура ограничена вертикальными отрезками аА, ЬВ, отрезком [а, Ь) оси абсцисс и кривой АВ, являющейся графиком некоторой интегрируемой на [а, Ь] функции у = Дх). Пусть [а,/З~ — отрезок, содержащийся в [а,Ь[.
Обозначим через Я(а, ф) площадь соответствую- В щей ему криволинейной трапеции а.~(а)/());[),В. Наши представления о площади таковы: если а<а<,9< у<Ь,то Я(а, у) = 5(а„9) + 8(,О, у) (аддитивность площади)и 1пХ Дх) (/2 — а) < Я(а„В) < епр ~(х) ф — о)) *6[а,д[ ае[а„г] О а а [1 Ь х Рис. 48 (площадь объемлющей фигуры не меньше площади объемлемой). Значит, в силу утверждения 1, площадь указанной фигуры надо вычислять по формуле в(.,ь) = /П*) а. (9) ГЛ. ~гк ИНТЕГРАЛ П р и м е р 5.
Используем формулу (9) для подсчета площади эллипса, заданного каноническим уравнением (8). В силу симметрии фигуры и предполагаемой аддитивности площади, достаточно найти площадь только той части эллипса, которая расположена в первом квадранте,и затем учетверить полученный результат. Проведем вычисления: гг гг/2 г~ Я =4 Ь2 1 — — г~ Ых = 4Ь 1 — а1п21 асо8$гй = гг г о гг~2 гг/2 = 4аЬ соя~~сЮ = 2аЬ (1 — сов21) гй = яаЬ. По дороге мы сделали замену х = а 81п 2, О < 1 < л./2. Итак, Я = ггаЬ. В частности, при а = Ь = В получаем формулу тВ2 площади круга радиуса В.
Замечание. Необходимо отметить, что формула (9) дает площадь криволинейной трапеции при условии, что ~(х) > 0 на [а, Ь]. Если же ~ — произвольная интегрируемая функция, то интеграл (9), очевидно, даст алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над и под осью абсцисс. Причем площади трапеций, лежащих над осью абсцисс, будут суммироваться со знаком плюс, а площади трапеций, лежащих под осью, — со знаком минус. 4. Объем тела вращения.
Пусть теперь изображенная на рис. 48 криволинейная трапеция вращается вокруг отрезка [а, Ь). Определим объем получающегося при этом тела. Обозначим через $~(г2, ~3) объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции аДа)~(,8) р (см. рис. 48), отвечающей отрезку [а„81 С [а, д). По нашим представлениям об объеме, должны быть справедливы следующие соотношения: если а < г2 < ~3 < у < Ь, то Ъ'(а, у) = У(а„В) + У(,8, у) 2 2 я 1пК Дх) (СУ вЂ” а) < Ъ'(а„О) < т ядр У(х) (,8 — а). хе[а 4 ге[а,)3) У(а,Ь) = з ~~(х) дх. а (10) В последнем соотношении мы оценили объем 1~(а, ф) через объемы вписанного и описанного цилиндров и воспользовались формулой объема цилиндра (которую нетрудно получить, если уже найдена площадь круга).
Тогда в силу утверждения 1 $4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 379 Пример 6. Вращением вокруг оси абсцисс полукруга, ограниченного отрезком ~-Я,Я1 этой оси и дугой окружности у = тгЯэ — зэ, — Я то(Я, можно получить трехмерный шар радиуса В, объем которого легко вычислить по формуле (10): (,[~Я л),у .„[ з 4 3 -и Подробнее об измерении длин, площадей и объемов будет сказано во П части курса. Тогда же мы решим и вопрос об инвариантности данных определений.
5. Работа и энергия. Энергетические затраты, связанные с перемещением тела под действием постоянной силы в направлении действия силы, измеряют произведением Р. Я величины силы на величину перемещения. Эта величина называется работой силы на данном перемещении. В общем случае направление данной силы и перемещение могут быть неколлинеарны (например, везем за веревочку санки), и тогда работа определяется как скалярное произведение (Р, 8) вектора силы и вектора перемещения. Рассмотрим некоторые примеры вычисления работы и использования связанного сией понятия энергии. Пример 7. Работа, которую нужно совершить против силы тяжести, чтобы поднять вертикально вверх тело массы т с уровня Ь1 над поверхностью Земли на уровень Ьр, в силу данного определения равна тд(Ьр — Ь1).
Предполагается, что вся операция происходит у поверхности Земли, когда изменением силы тяжести тд можно пренебречь. Общий случай разобран в примере 10. П р и м е р 8. Пусть имеется идеально упругая пружина, один конец которой закреплен в точке 0 числовой оси, а другой находится в точке х. Известно, что сила, с которой при этом приходится удерживать этот конец пружины, равна Йх, где Й вЂ” коэффициент жесткости пружины. Вычислим работу, которую надо совершить, чтобы переместить подвижный конец пружины из положения х = а в положение х = Ь. Считая работу А(а„8) аддитивной функцией промежутка [а, Д] и принимая, что верны оценки Ы (йх)(~3 — а) < А(а,~У) < нар (йх)(, — а), хЕ[ддэФу) хЕ[йд,д[ получаем в силу утверждения 1, что ь Вх2 ь А(а,Ь) = йхс[х = — ~ .
[дй ей Это работа против силы. Работа же самой силы пружины на том же перемещении отличается только знаком. ГЛ. ~/1. ИНТЕГРАЛ 380 Мы уже однажды проверяли (см. гл. Ч, ~ 6, п. 6), что величина то~ йх~ — + — = К(й) + У(х(й)) = Е, 2- 2 (12) представляющая из себя сумму кинетической и (как мы теперь понимаем) потенциальной энергий системы, остается во время движения постоянной, Пример 9.
Теперь рассмотрим еще один пример. В нем встретится сразу целый ряд понятий, которые мы ввели и освоили в дифференциальном и интегральном исчислении. Заметим сначала,что по аналогии с функцией (12), записанной для конкретной механической системы, удовлетворяющей уравнению (11), для произвольного уравнения вида где Дв) — заданная функция, можно проверить, что сумма в2 — +У(в) = Е 2 (14) не меняется со временем, если У'(в) = — Дв).
Действительно, йЕ 1 сИ2 ИУ(в) сК7 дв М 2 дХ й пв сй + — — вв+ — — = в(в — У(в)) = О. Таким образом, из (14), считая Е постоянной величиной, последовательно находим ю = ~~/2(е — ).Цз)) (где знак корня должен соответствовать знаку производной — ) затем «Ь <Й сЮ 1 ~Ь ~/2(Š— (/(в)) Функция У(х) = †, которую мы нашли, позволяет, вычислять работу, г которую мы совершаем, меняя состояние пружины, а значит, и ту работу, которую пружина может совершить при возвращении в исходное состояние.
Такая функция У(х), зависящая только от конфигурации системы, называется потпенциальной энергией системы. Из построения видно, что производная от нее дает силу пружины с обратным знаком. Если точка массы т движется вдоль оси под действием указанной упругой силы, то ее координата х(1) как функция времени удовлетворяет уравнению 381 $4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА и, наконец, Следовательно, используя закон сохранения «энергии» (14) уравнения (13), нам удалось в принципе решить это уравнение, но найдя не функцию з(8), а обратную к ней функцию Ф(в).
Уравнение (13) возникает, например, при описании движения точки вдоль заданной кривой. Пусть частица перемещается под действием силы тяжести по узкому идеально гладкому желобу (рис. 49). Пусть з($) — расстояние вдоль желоба (т. е. длина пути) от некоторой фиксированной точки Π— начала отсчета — до точки,в которой находится частица в момент й. Ясно, что тогда з(й) есть величина скорости частицы, а з($) — величина тангенциальной составляющей ее ускорения, которая должна равняться величине тангенциальной составляющей силы тяжести в данной точке желоба. Ясно также, что тангенциаль- 5 ная составляющая силы тяжести зависит толь- 0 ко от точки желоба, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
