В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 79
Текст из файла (страница 79)
396 ГЛ. ~Ь ИНТЕГРАЛ Пример 11. Интеграл (7) при 0 < уо < ~г сходится, поскольку при ф -+ <ре — 0 - ~/81п ~о (до — ф)'1'. (8) Соотношение (7) выражает зависимость периода колебаний математического маятника от его длины Ь и начального угла его отклонения, отсчитываемого от радиуса, идущего в нижнюю точку траектории качания. Формула (7) является элементарной вариацией формулы (17) предыдущего параграфа. Маятник можно себе представлять, например, как невесомый стержень, один конец которого шарнирно закреплен, а другой, с присоединенной к нему точечной массой, свободен, В таком случае можно говорить о любых начальных углах уо Е (О, я~. При ~ро — — 0 и ~ро — — ~г маятник качаться вообще не будет, находясь в первом случае в состоянии устойчивого, а во втором случае в состоянии неустойчивого равновесия.
Интересно отметить, что из (7) и (8) нетрудно получить, что Т -+ оо при <ро -> л — О, т. е. период колебаний маятника неограниченно растет по мере приближения его начального положения ур к верхнему положению (неустойчивого) равновесия. с. Условная сходимость несобственного интеграла Определение 5. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условмо. Пример 12.
Используя замечание 1, по формуле интегрирования по частям в несобственном интеграле находим, что +ОО +СО +оо в1пх соях + Г совх / созх — Ых = — — — — сЬ = — — сЬ х х / / х2 ,/ х2 ~г/2 з'/2 зг/2 ~г/2 коль скоро последний интеграл сходится. Но, как мы видели в примере 5, этот интеграл сходится, поэтому сходится также интеграл (9) $5.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 397 Вместе с тем интеграл (9) не является абсолютно сходящимся, Действительно, при Ь б [тт/2, +со[ имеем ь ь ь ь дд/2 дд/2 дд/2 з'/2 (10) Интеграл У дН )~ достпатпочно, чтпобы выполнялась либо пара условий: хг) иннгеграа / ~(х) дх ехадингаг, ед Д) функция д оераничена на [а,()[, либо пара условит1: ь аг) Фдннииа р(д) =/ е(х)дх ограничена на (ан(, а ,82) функция д(х) стремитпся к нулю при х -? (о, х Е [а,(о[. М Для любых Ь1, Ь2 Е [а, () [ по второй теореме о среднем имеем Ьь 4 ь~ / (У ди*)д*=д(Ь )|Н )д +д(Ь)/ ((*)д, Ь| ь1 др/2 как можно проверить интегрированием по частям, является сходящимся, поэтому при Ь -+ +оо разность в правой части соотношения (10) стремится к +со и в силу оценки (10) интеграл (9) не является абсолютно сходящимся.
Приведем теперь один специальный признак сходимости несобственных интегралов, опирающийся на вторую теорему о среднем и, значит, в сущности на ту же формулу интегрирования по частям. Утверждение 4 (признак Абеля — Дирихле сходимости интеграла). Пусть х «-ь ~(х), х (-ь д(х) — функции, определенные на промежутпке [а,(д[ и интеерируемые на любом отрезке [а, Ь) С [а,ы[. Пустпь д — монотпонная функция. Тоеда для сходимости несобстпвенноео интеграла 398 ГЛ.' Ч1.
ИНТЕГРАЛ где с — точка, лежащая между Ь1 и Ьо. Отсюда в силу критерия Коши (утверждение 2) заключаем, что интеграл (11) действительно сходится, если выполнена любая из двух указанных выше пар условий. > 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
До сих пор мы говорили о несобственных интегралах с одной особенностью, связанной с неограниченностью функции у одного из пределов интегрирования или с неограниченностью самого этого предела. Здесь мы укажем, в каком смысле понимаются другие возможные варианты несобственного интеграла, Если оба предела интегрирования являются особенностями того или другого из указанных выше типов, то полагают по определению (12) где с — произвольная точка промежутка ) м1, ы2[. При этом предполагается, что каждый из несобственных интегралов в правой части соотношения (12) сходится. В противном случае говорят, что интеграл, стоящий в левой части (12), расходится.
В силу замечания 2 и свойства аддитивности несобственного интеграла, определение (12) корректно в том смысле, что оно на самом деле не зависит от выбора точки-с Е )111,11~~. Пример 13. о о 1 . 1 = аГСППХ~, + аХСа1ПХ~о — — аХСЯПХ~, = Я. Пример 14. Интеграл /е *Их называется интпегралом Эйлера — Пуассона, а иногда еще и ь14тпеаралом Гаусса. Он, очевидно, сходится в указанном выше смысле. Позже будет показано, что он равен 1/я. Пример 15. Интеграл $5. КесОБстВенный интеГРАл 399 расходится, поскольку при любом а разойдется по крайней мере один из двух интегралов 1 +ОО /й /й о 1 Пример 16.
Интеграл о сходится, если сходится каждый из интегралов / — Нх, о Первый из этих интегралов сходится, если а < 2, ибо 81пх 1 — л~ Еа ~а-1 при х -+ +О. Второй интеграл сходится при а > О, что можно проверить непосредственно интегрированием по частям, аналогичным проделанному в примере 12, или сославшись на признак Абеля †Дирих. Таким образом, исходный интеграл имеет смысл при О < а < 2.
В том случае, когда подынтегральная функция не ограничена в окрестности одной из внутренних точек ы отрезка интегрирования ~а, 6], полагают Ь Ю Ь /и*) *:=/и*) +/т ., (13) требуя, чтобы оба стоящих справа интеграла существовали. Пример 17. В смысле соглашения (13) 1 -1 Ь и-6 Ь Ч.Р./~(и) Их:= )1т / ~(л) Ш + / ~(х) Ш), а а и+6 (14) Пример 18.
Интеграл ~ — не определен. х -1 Существует и отличное от (13) соглашение о вычислении интеграла от функции, неограниченной в окрестности внутренней точки ы отрезка интегрирования. А именно, полагают 400 ГЛ. ~1. ИНТЕГРАЛ если стоящий справа предел существует. Этот предел называют, следуя Коши, интегралом в смысле главного значения и, чтобы отличить определения (13) и (14), во втором случае перед знаком интеграла ставят начальные буквы Ч.Р. французских слов ча1еиг рг1пс1ра1 (главное значение). В англоязычном варианте используется обозначение Р.Ч.
(от рг1пс1ра1 ча1це), В соответствии с этим соглашением имеем Пример 19. 1 М.Р. / — =О. — 1 Принимается также следующее определение: ч.Р. /дх)ыт:= Вт 1 У(х)нх. (15) Пример 20. Ч.Р. хсзр = О. Наконец, если на промежутке интегрирования имеется несколько (конечное число) тех или иных особенностей, лежащих внутри промежутка или совпадающих с его концами, то неособыми точками промежуток разбивают на конечное число таких промежутков, в каждом из которых имеется только одна особенность, а интеграл вычисляют как сумму интегралов по отрезкам разбиения, Можно проверить, что результат такого расчета не зависит от произвола в выборе разбиения. Пример 21.
Точное определение имшегральиого логарифма теперь можно записать в виде й — если 0<х<1, 1пФ' о Х сЮ Ч.Р. ~ —, если 1 < х. ,/ 1п$ о 11х = В последнем случае символ Ч. Р. относится'к единственной внутренней для промежутка 10,х) особенности, расположенной в точке 1. Заметим, что в смысле определения (13) этот интеграл не является сходящимся. 401 $ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи и упражнения 1. Покажите, что функция а) Б1х = — сМ (интпегральный синус) определена на 81, нечетна и имеет ./ о предел при х -+ +оо; Ь) 81х = — 1 1п сй определена на Ж и отличается от функции о1х только на 1 $ х постоянную; с) С1х = — / — сй (инпгегральный косинус) при достаточно больших значениях l е х 810 Х х может вычисляться по приближенной формуле С1 х ~ —; оцените область тех Х значений, где абсолютная погрешность этого приближения меньше 10 4, 2.
Покажите, что +ОО +ОО а) интегралы ~ — 11х, ~ — Ых сходятся только при а ) О, причем схо- Г 81пх Г С08х 1 1 дятся абсолютно только при а > 1; Ь) интпегралы Френеля С(х) = — со8$ ~Й, /2 ./ о являются бесконечно дифференцируемыми функциями в промежутке )О, +со[, причем обе они имеют предел при х -+ +со. 3. Покажите, что а) эллиптический интеграл первого рода ипу Р(й,ю) = о определен при 0 ( к ( 1, 0 ( ~р ( — и приводится к виду й р)= И4 ~/Г й ° 1~'О о Ъ) полный эллиптический интеграл первого рода -Гг к(й) = ,/Г:РОп О о неограниченно возрастает при Й -+ 1-0.
ГЛ. 1т1. ИНТЕГРАЛ 402 4. Покажите, что а) интегральная показательная функция (иниигральнал зкспонентпа) Е1(х) = Г е' = / — Ю определена и бесконечно дифференцируема при х < О; — /1 е*/ 1 2! „и! т 1~~ Ь) — Е1( — х) = е ~1 — — + -~ —... + (-'1)" — „' + о~ — „~~ при х -~ +со; х ~ х х н и! с) ряд ~: ( — 1)" — „' не сходится ни при каком значении х Е Й; =о х" д) 11х — при х -+ +О. (Определение интегрального логарифма 11х см.
в 1пх примере 21.) 5. Покажите, что а) функция ф(х) = — ~ е Ю называемая интпегралам еероятпностпи отмибок 1 Г $2 — х и часто обозначаемая символом ет1'(х) (от англ. етот 6икйюп — функция ошибок), определена, нечетна, бесконечно дифференцируема на К и имеет предел при х — т -+ +со; Ь) если упомянутый в а) предел равен единице (а это так), то х (х)= — е ~~=1 — — е* зз+ зз ~т + — т о при х -+ +оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
