В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 77
Текст из файла (страница 77)
зависит только от з, Рис. 49 ибо э можно считать параметром, параметризующим кривуюц, с которой мы отождествляем желоб. Если эту составляющую силы тяжести обозначить через ~(з), то мы получим, что «ив = ~(з). Для данного уравнения сохраняться будет величина 2 2 2+у( ) д где У'(з) = — ~(в). Поскольку слагаемое -тз есть кинетическая энергия точки, а движение 1 2 вдоль желоба происходит без трения, то можно, минуя вычисления, догадаться, что функция У(в) с точностью до постоянного слагаемого должна иметь вид туЬ(з), где туЬ(в) — потенциальная энергия точки„находящейся на высоте Ь(в) в поле тяжести.
Если в начальный момент Ф = 0 было в(0) = О, в(0) = во и Ь(зо) = Ьо, то из соотношения — = з2 + 2дЬ(з) = С 2Е 1> Параметризапил кривой посредством ее же длины называетсл на«аврал»нов, а в в этом случае называют на«прралзнмм перемен«ром. 382 ГЛ. М. ИНТЕГРАЛ находим, что С = 2дЬ(зе), поэтому з2 = 2д(йе — Л(з)), (15) В частности, если, как в случае маятника, точка движется вдоль окружности радиуса В, отсчет длины з ведется от нижней точки О окружности, а начальные условия состоят в том, что при Ф = 0 з(0) = 0 и дан начальный угол — ~рв отклонения (рис. 50), то, как легко проверить, выражая з и Ь(з) через угол отклонения ~р, получим ВИФ 2дВ (сов ф — сов ~ре) или 0 Рис.
50 Таким образом, для полупериода — Т качания маятника получаем 1 <РО вш (ф/2) откуда после подстановки . = в1п д находим вш(уо/2) где Й2 = впР—" 2 ' Напомним, что функция называется эллиптическим интпегрсиом первого рода в форме Лежандра. При <р = л/2 она зависит только от Й2, обозначается К(Й) и называется полным $4.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА зллитивическн.44 интпегралом первого рода. Таким образом, период колебаний маятника равен Т = 4 — К(Й). % Если угол ~рв начального отклонения мал, то можно положить й = 0 и тогда получим приближенную формулу Т т 2тт % Д (20) Теперь, когда формула (18) получена, все же следует проанализировать весь ход рассуждений, и тогда мы заметим, что под знаками интегралов (15) — (17) стоят неограниченные на отрезке интегрирования функции.
Подобная трудность нам уже встречалась при рассмотрении длины кривой, и мы примерно представляем себе, как и какой смысл можно придать интегралам (15) — (17). Но раз этот вопрос возник вторично, то его следует разобрать в точной математической постановке, что и будет сделано в следующем параграфе.
Пример 10. Тело массы т, совершает подъем над поверхностью Земли по траектории 1 )-+ (х(Ф), у(й),г(й)), где й — время, а < й < Ь, а х, у, г — декартовы координаты точки в пространстве. Необходимо вычислить работу тела против силы тяжести на промежутке времени ~а, Ь|. Работа А(а, )В) есть аддитивная функция промежутка [а„В1 С ~а, Ь). Постоянная сила Р при действии на тело, движущееся с постоянной скоростью ч, за время Й совершает работу (Р,чй) = (Р,~т)Ь, поэтому представляется естественной оценка 1п1' (Р(р(й)),ч(й)) (, — а) < А(ск,,В) < впр (Р(р(й)),ъ(й)) () — а), Фе[а,д] Фе(а д) где м($) — скорость тела в момент 1, р(1) — точка пространства, в которой находится тело в момент Ф, а Р(р(й)) — сила, которая в точке р = р(Ф) действует на тело.
Если функция (Р(р(й)), ч(й)) окажется интегрируемой, то в силу утверждения 1 мы должны считать, что А(а, 6) = ~ (т(р(Ф)), т($)) ш. а ~(Р) - ~( ~ ') - 3 '- тМ СтМ 3/2 ( 'Р' )' 3 3 ~1'~3 ( 2+ 2+ 2)3/2 ~ ) Ф В нашем случае ъг(й) = (х(й), р(й), г(Ф)), и если г(й) = (х(й), р(й),г(й)), то по закону всемирного тяготения находим 384 ГЛ.
~1. ИНТЕГРАЛ где М вЂ” масса Земли, а ее центр предполагается совпадающим с началом системы координат. Тогда х($) х($) + ~(Ф) ~(1) + г(1) Й($) ( .г( ) + „р(р) +,2(~)) зуг поэтому Ь Г (х2(С)+ '()+ 'О)' 2 1 (х'(Ю)+р'(Ю)+ ~(Ю))'~' а а 6'тМ СтМ (*'О+ю'О+ '(~))'~' . ~ И)~ Итак, А(а,Ь) = ~г(Ь) ~ ~г(а) ~ Мы обнаружили, что искомая работа зависит только от величин ~г(а)~, ~г(Ь)~ удаления тела тп от центра Земли в начальный и конечный моменты времени рассматриваемого промежутка 1а, Ь).
Полагая 0(т) = —, СМ получаем, что работа против силы тяжести по перемещению тела массы т из любой точки сферы радиуса гв в любую точку сферы радиуса т1 вычисляется по формуле А„„= тп Щго) — У(г1)). Функция У(г) называется потенциалом Ньютона. Если через Н обозна- СМ чить радиус Земли, то, поскольку — = д, функцию У(т ) можно переписать в виде дНз 0(г) =- —. т Учитывая это, можно получить следующее выражение для работы, необходимой для выхода из поля тяготения Земли, точнее, для увода массы т с поверхности Земли на бесконечное расстояние от центра Земли. Под этой величиной естественно понимать предел 1пп Ан,.
1-++оо Итак, ра6ота выхода: дН'~ А = Ан > — — 1ип Ан„= 1ип т~ — — — ) = тиуН. т-++оо г-++оо Н 385 $4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА Задачи и упражнения 1. На рисунке 51 изображен график зависимости Г = Г(х) силы, действующей вдоль оси абсцисс на пробную частицу', находящуюся в точке х этой оси. а) Нарисуйте в той же системе координат эскиз потенциала этой силы. г Ъ) Изобразите потенциал силы — Е(х). с) Исследуйте, в каком из разобранных случаев положение хо является устойчивым положением равновесия и с каким свойством потенциала это связано.
2. На основе результата примера 10 вычислите скорость, которую должно иметь тело, чтобы х оно вышло из поля тяготения Земли (вторая космическая скорость для Земли). Рис. 51 3. На основе примера 9 а) выведите уравнение Вф = д е1пу колебаний математического маятника; Ь) считая колебания малыми, получите его приближенное решение; с) определите по приближенному решению период колебаний маятника и сравните результат с формулой (20). 4, По горизонтальной плоскости равномерно со скоростью о катится без проскальзывания колесо радиуса г. Пусть в момент 1 = 0 верхняя точка А колеса имеет координаты (0,2г) в системе декартовых координат, ось абсцисс которой лежит в указанной плоскости и направлена по вектору скорости.
а) Запишите закон движения $ ~-+ (х(Ф), у(Ф)) точки А. Ь) Найдите скорость точки А как функцию времени. 3 с) Изобразите графически траекторию точки А (эта кривая называется никлоидой). с1) Найдите длину одной арки циклоиды (длину одного периода этой периодической кривой). е) Циклоида обладает рядом интересных свойств, одно из которых, открытое Гюйгенсом~~, состоит в том, что период колебаний циклоидального маятника (шарика, ка- Рис.
52 тающегося в циклоидальной ямке) не зависит от высоты его подъема над нижней точкой ямки. Попробуйте доказать это, опираясь на пример 9. (См. также задачу б следующего параграфа, посвященного несобственным интегралам.) 5. а) Исходя иэ рис.
52, объясните, почему если у = Дх) и х = у(у) — взаимно обратные непрерывные неотрицательные функции, равные нулю при х = 0 и у = 0 соответственно, то должно быть выполнено неравенство у < У() ~~+ уЯд4 '> Х. Гюйгенс (1629 — 1696) — нидерландский механик, физик, математик и астроном. 386 ГЛ. м1. ИНТЕГРАЛ Ь) Получите иэ а) неравенства Юнга ху< -х +-у Р Ч прнх,у>0, р,д>0, -+-=1. 1 1 с) Какой геометрический смысл имеет знак равенства в неравенствах задач а) и Ь)? 6.
Задача Биффока Ц. Число и можно вычислять следующим весьма неожиданным способом. Берем большой лист бумаги, разлинованный параллельными прямыми с шагом Ь, и бросаем на него, никак специально не целясь, иголку длины ! ( Ь. Пусть мы бросили иголку Ф раз н пусть и раз из них иголка после падения пересекала какую- 21 нибудь нз прямых линий на листе. Если число И достаточно велико, то и —, где ра' р = — можно трактовать как приближенное значение вероятности того, что прн бросании иголка пересечет одну из линий.
Исходя иэ геометрических соображений, связанных с вычислением площадей, попробуйте дать удовлетворительное объяснение этому методу вычисления л. $5. Несобственный интеграл В предыдущем параграфе мы уже столкнулись с необходимостью несколько расширить понятие интеграла Римана. Там же на разборе конкретной задачи мы составили себе представление о том, в каком направлении и как это следует сделать.
Настоящий параграф посвящен реализации этих представлений. 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов Определение 1. Пусть функция х р-+ Дх) определена на промежутке [а, +со[ и интегрируема на любом отрезке [а, Ь), содержащемся в этом промежутке. Величина Дх)сЬ:= 1ип ~(х)1Ь, если укаэанный предел существует, называется несобственным интегралом Римана или просто несобсшвенным иншегралом ош функции ~ по промеюушку [а, +со[. +оср Сам символ ~ Дх) бх таама вааывавт васобстваввым ввтаграаом в тоа гда говорят, что несобственный интеграл сходншсл, если указанный предел 11Ж. Л.
Л. Бюффон (1707 — 1788) — французский естествоиспытатель. $5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 387 существует, и расходится в противном случае. Таким образом, вопрос о схо- димости несобственного интеграла равносилен вопросу о том, определен ли вообще этот несобственный интеграл или нет. Пример 1. Исследуем, при каких значениях параметра с~ сходится или, что то же самое, определен несобственный интеграл /й Поскольку при аф1, 1пх[, при о=1, то предел /' (Ь 1 и l ь-++оо,/ ха Π— 1 1 существует только при а > 1. Итак, (1х 1 — — если а) 1, ха 1 а при других значениях параметра а интеграл (1) расходится,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
