В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Учитывая это определение, можно утверждать, что справедлива следующая Теорема 1'. Каждая определенная и оераниченная на отрезке [а,6) функция ~: [а,6] -+ Ж с конечным мнозтсесшвом п1очек разрыва имееш на эшом ошрезке (обобщеннуто) первообразну))о, причем лтобая первообразная функции ~ на [а, 6] имееш вид (4). 356 ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ ~ Поскольку ~ имеет конечное множество точек разрыва, то ~ Е И[а, Ь] и по лемме 1 функция (1) является обобщенной первообразной для ~ на [а, Ь).
При этом мы учли, что, как уже отмечалось, в силу (2) функция (1) непрерывна на [а,Ь), Если У(х) — другая первообразная функции ~ на [а,Ь], то У'(х) — Р(х) — непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции ~ разбивают отрезок [а, Ь]. Иэ непрерывности У(х) — Р(х) на [а, Ь] тогда следует, что У(х) — Р(х) ь сопзС на [а,Ь).
> 2. Формула Ньютона — Лейбница Теорема 2. Если ~: [а,Ь] — ~ К вЂ” ограниченнал функция с конечным числом точек разрыва, аппо ~ е %[а,Ь] и (5) где У: [а, Ь] -+ й — любая из первообразных функции ~ на о)презке [а, Ь). ~ Интегрируемость ограниченной на отрезке функции с конечным числом точек разрыва нам уже известна (см.
~ 1, следствие 2 утверждения 2). Наличие обобщенной первообразной У(х) функции ~ на [а, Ь] гарантирует теорема 1', в силу которой У (х) имеет вид (4). Полагая в (4) х = а, получим, что У'(а) = с, откуда В частности, что с точностью до обозначения переменной интегрирования совпадает с доказываемой формулой (5). ~ Фундаментальное для всего анализа соотношение (5) называется формулой Ньютпона — Лейбница. Разность У(Ь) — У(а) значений любой функции часто записывают символом У (х) ~,.
В этих обозначениях формула Ньютона — Лейбница приобретает вид Поскольку обе части этой формулы одновременно меняют знак при перестановке а и Ь, то формула справедлива при любом соотношении величин а и Ь, т. е. как при а < Ь, так и при а > Ь. 357 Ь 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ На упражнениях по анализу формула Ньютона — Лейбница большей частью используется только для вычисления стоящего слева интеграла, и зто может породить несколько искаженное представление об ее использовании.
На самом деле положение вещей таково, что конкретные интегралы редко находят через первообразную, а чаще прибегают к прямому счету на ЭВМ с помощью и хорошо разработанных численных методов. Формула Ньютона — Леибница занимает ключевую, связывающую интегрирование и дифференцирование, позицию в самой теории математического анализа, в которой она, в частности, получает далеко идущее развитие в виде так называемой ойцей формулы Ствокса ~1. Примером того, как формула Ньютона — Лейбница используется в самом анализ, может служить уже материал следующего пункта настоящего параграфа. 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора Утверждение 1.
Если функции и(я) и и(х) непрерывно дифференцируемы на опьрезке с концами а и Ь, пьо справедливо соотпношение Ь Ь /(и х'Кх) Их = ~и х)~х)/ — ~ ~и и')(х) йх. Эту формулу принято записывать в сокращенном виде и называть формулой интпеерированил по наспьлм в определенном интеграле. ~ По правилу дифференцирования произведения функций имеем (и и) (я) = (и ' 9)(к) + (и ' 9 )(я). По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а значит, и интегрируемы на отрезке с концами а и Ь, Используя линейность интеграла и формулу Ньютона — Лейбница, получаем (и иКх)),= /(и' х)~х)их + /(и х)(х)хх. В качестве следствия получим теперь формулу Тейлора с интегральным остаточным членом.
1> Д. Г. Стокс (1819 — 1903) — английский физик и математик. ГЛ. 1Л. ИНТЕГРАЛ Пусть на отрезке с концами а и х функция Ф ~-+ ~(Ф) имеет и непрерывных производных. Используя формулу Ньютона — Лейбница и формулу (6), проделаем следующую цепочку преобразований, в которых все дифференцирования и подстановки производятся по переменной $: х х 1(*) — т(а) = ~ у'И) х = — /у(~Ню — ~)'х- а а = -Гь )(*- о~:+ /т"(о(*- ох = а = у'(а)(х — а) — — / ух(Ф)((х — 1)~) Ж = 2у а х = т'(а)(х — а) — — т"(8)(х — 8)~) + — /т"(ивою — 8)~ю = а х = у'(а)(х — а) + — ~'(а)(х — а) — — Г~х'я ((х — й)э) сВ = ... 2 23,/ а = ~'(а)(х — а) + — ~х(а)(х — а)~ +...
+ 2 + 2 З. ( — ) У~ ~('Нх ') +""-'(") где (7) Итак, доказано следующее Утверждение 2. Если функция $ ~-т ~($) имсетп на отпрезке с концами а и х непрерывные производные до порядка и включитпелъно, тпо справедливо формула Тейлора У(х) = У(а) + — У'(а)(х — а) + + У<" '1(а)(х — а)" ' + т' -1(п'х) 1! (п — 1)! с остпатпком г„1(а; х), предстпавленным в ннтпегральной форме (7). Отметим, что функция (х — 8)" 1 не меняет знак на отрезке с концами а и х, и поскольку функция $ ~+ ~~"~(8) непрерывна на этом отрезке, то по первой $3, ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ теореме о среднем на нем найдется такая точка (, что г„1(а;х) = ~ ~~"~(Ф)(х — $)" ~й = 1 (п — 1)$ У Мы вновь получили знакомую форму Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. (На основании задачи 2Ь) из предыдущего параграфа, можно считать, что ~ лежит в интервале с концами а, х.) Это рассуждение можно было бы повторить, вынося из-под знака интеграла (7),К<"~(4)(х — 4)" )', где й Е [1,п].
Значениям й = 1 и й = и отвечают получаемые при этом соответственно формулы Коши и Лагранжа остаточного члена,. 4. Замена переменной в интеграле. Одной из основных формул интегрального исчисления является формула замены переменной в определенном интеграле, Эта формула в теории интеграла столь же важна, как в дифференциальном исчислении формула дифференцирования композиции функций, с которой она может быть при определенных условиях связана посредством формулы Ньютона — Лейбница, Утверждение 3, Если у: [а,~3] -+ [а,Ь] — непрерывно дифферениируемое отображение отрезка а ( Ф (,8 в отрезок а ( х ( Ь такое, что у(а) = а и рЦ3) = Ь, то при лн)боб непрерывкой на [а,Ь] функции Дх) функция ~(у($)) ф($) непрерывна на отрезке [а, ~3] и справедливо равенс1пво (8) ~ Пусть У(х) — первообразная функции ~(х) на [а, Ь].
Тогда, по теореме о дифференцировании композиции функций, функция У(~р(1)) является первообразной для функции ~(<р(8)) у'($), непрерывной, как композиция и произведение непрерывных функций на отрезке [о,)з]. По формуле Ньютона— в д Лейбница ~ ~(х) сЬ = У (Ь) — У (а) и / ~(~о($)) ф ($) сй = У())))(9)) — У(<р(а)), а а Но, по условию, у(а) = а и <р(ф) = Ь; таким образом, равенство (8) действительно имеет место. у Из формулы (8) видно, насколько удобно иметь под интегралом не просто знак функции, а дифференциальное выражение Дх) ах, позволяющее после ЗбО ГЛ.
1~1. ИНТЕГРАЛ подстановки х = у($) автоматически получать правильное подынтегральное выражение в интеграле по новой переменной. Для того чтобы не осложнять дела громоздким доказательством, мы в утверждении 3 умьппленно сузили истинную область применимости формулы (8) и получили (8) из формулы Ньютона — Лейбница. Теперь перейдем к основной теореме о замене переменной, условия которой несколько отличаются от условий утверждения 3, Доказательство этой теоремы будет опираться непосредственно на определение интеграла как предела интегральных сумм.
Теорема 3. Пусть у: [а,~З] — т [п,Ь] — непрерывно дифференцируемое, стпрого монотпонное отображение отпрезка а < $ < ~3 в отпрезок а < х < Ь с соопъветпстпвием концов ср(а) = а, ~р(Я = Ь или у(а) = Ь, р(Я = а. Тогда при любой 4ункции Дх), интпегрируемой на отпрезке [а, Ь], утункцил У(ср(Ф)) х х <р'(1) интпегрируема на отрезке [а„8] и справедливо равенстпво ~ Поскольку ~р — строго монотонное отображение отрезка [а, ф] на отрезок [а, Ь] с соответствием концов, то любое разбиение Р1 (а = 1о « ... < $„=,8) отрезка [а, ~3] посредством образов х; = у(Ц) (т = О, 1, ..., т1) точек разбиения Р~ порождает соответствующее разбиение Р, отрезка [а, Ь], которое можно условно обозначить как ~р(Р1). При этом хо — — а, если у(а) = а, и хо — — Ь, если <р(о) = Ь.
Из равномерной непрерывности <р на [ст, Я следует, что если Л(Р1) -+ О, то величина Л(Р,) = Л(ср(Р1)) тоже стремится к нулю. Используя теорему Лагранжа, преобразуем интегральную сумму о Ц; Р, () следующим образом: а л Я ~Я)йх1 =. ~~» ~®)(Х; — Х; 1) = 1=1 1=1 в а Д~Р(т;)) <Р'(т1) (Ц вЂ” Ц 1) = ~» ~(У(т;)) У'(тт) Ы1. 1=1 1=1 Здесь х; = ~р(1;), 5 = р(тт), (1 лежит на отрезке с концами х; 1, х;, а точки т;., т; лежат на отрезке с концами Ц 1, Ц (1 = 1, ...,т1). Далее, ~(~р(т;)) <р'(т;) Ь8; = » ~(<р(т1)) <р (т') М + 1=1 1=1 п + ~»„У(р(т;)) (р'(т;) — р'(т;)) ~й;. Зб1 5 3.
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ а ~~» р У((Р(~')) (((() Ж) ()2 () р)) ЬФ' < С ' Е()((Р '~')(~~' где Ь; — отрезок с концами Ф; 1, $;. Последняя сумма стремится к нулю при Л(Р1) -+ О, поскольку ()()' —. непрерывная на отрезке [а„в] функция. Таким образом, мы показали, что у) ур ~~,Д4;)ьх; = ~)),~(у(т;))(р'(Г;)ь|;+ а, где а -+ О при Л(Р1) -+ О. Как уже отмечалось, если Л(Р1) -+ О, то и Л(Р,) -+ -+ О. Но ~ (:- К[а, Ь], поэтому при Л(Р,) -) О сумма в левой части последнего ю(Ф) рааеистиа стремитса и интегралу / У(х) Их. Значит, при 1(Рс) -с 0 и сумма Ф(а) в правой части этого равенства имеет и притом тот же предел.
уъ Но сумму ~» 1((р(т;))(/)'(т;) Ы; можно считать совершенно произвольной р=1 интегральной суммой функции Д(/)(1))()()У($), соответствующей разбиению Р~ с отмеченными точками т = (т1,..., т„), поскольку, ввиду строгой монотонности (р, любой набор точек т можно получить из некоторого соответствующего ему набора ~ = ®, ..., ~„) точек, отмеченных в отрезках разбиения Р =ЮЯ). Таким образом, предел этой суммы есть, по определению, интеграл от функции ~((р(й)) (р'(Ф) по отрезку [а,)о], и мы доказали одновременно как интегрируемость функции Д(р(8)) (р'($) на отрезке [а, )3], так и формулу (9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
