В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Интеграл Римана. Пусть ~ — функция, заданная на отрезке [а,6], Определение 4. Говорят, что число 1 является интпегралом Римана от функции ~ на отрезке [а, 6], если для любого е > О найдется число б > О $1. ОпРеделение интеГРАлА и интеГРиРуемОсть Функций 327 такое, что для любого разбиения (Р,() с отмеченными точками отрезка [а, Ь], параметр которого Л(Р) < б, имеет место соотношение Поскольку разбиения р = (Р, ~), для которых Л(Р) < б, составляют элемент Вв введенной выше базы В в множестве Р разбиений с отмеченными точками, то определение 4 равносильно тому, что т.
е. интеграл 1 есть предел по базе В значений интегральных сумм функции ~, отвечающих разбиению с отмеченными точками отрезка 1а, Ь]. Базу В естественно обозначить символом Л(Р) — » О, и тогда определение интеграла можно переписать в виде (4) Интеграл от функции ~(г) по отрезку ~а, Ь] обозначается символом Ь Дх) йг, в котором числа а, Ь называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно; ~ — подынтеграяьная функция, ~(ж) сЬ вЂ” подынтеграяьное выражение, х — переменная интегрирования.
Итак, (5) Определение 5. Функция ~ называется интегрируемой по Риману на отрезке 1а, 6], если для нее существует указанный в (5) предел интегральных сумм при Л(Р) -+ О (т. е. если для нее определен интеграл Римана), Множество всех функций, интегрируемых по Риману на отрезке 1а, 6], будет обозначаться через %~а,Ь]. Поскольку пока мы не будем рассматривать другого интеграла, кроме интеграла Римана, условимся для краткости вместо терминов «интеграл Римана» и «функция, интегрируемая по Риману» говорить соответственно «инте- грал» и «интегрируемая функция». $1 ОпРеДеление интеГРАЯА и интеГРиРУемОсть ФУнкции 329 (6) в этом случае, очевидно, не имеет места даже для сколь угодно мелких разбиений.
° Как мы увидим, полученное необходимое условие еще очень далеко от необходимого и достаточного условия интегрируемости, однако оно уже позволяет нам в дальнейшем исследовать только ограниченные функции. Ь. Достаточное условие интегрируемости и важнейшие классы интегрируемых функций.
Начнем с нескольких обозначений и замечаний, которые используются в дальнейшем изложении. Условимся, когда задано разбиение Р а = хо < х1 «... х„= Ь отрезка [а, Ь], наряду с символом Дх;, обозначающим разность х, — х; 1, употреблять символ Д; для обозначения отрезка [х, 1, х;]. Если разбиение Р отрезка [а, Ь] получено из разбиения Р только добавлением к Р некоторых новых точек, то условимся называть разбиение Р продолжением разбиения Р.
При построении продолжения Р разбиения Р некоторые (быть может, и все) отрезки Д, = [х; 1, х,] разбиения Р сами подвергаются разбиению х, 1 —— = хоз « ... х,„,. = х;. В связи с этим нам будет удобно нумеровать точки разбиения Р двумя индексами. В записи х; первый индекс 'означает, что х; - е Д,, а второй индекс есть порядковый номер точки на отрезке Д,. Теперь естественно положить Дх,~:= х;д — х;~ 1 и Д,т .— — [х;~ 1,х„,]. Таким образом, Дх; = Дхгт+... +Дх,„, Примером разбиения, являющегося продолжением как разбиения Р', так и разбиения Р", может служить разбиение Р = Р' 0 Р", полученное объединением точек разбиений Р' и Р". Напомним, наконец, что, как и прежде, символ м® Е) будет обозначать колебание функции ~ на множестве Е, т. е.
х',х" ЕЕ В частности, м(~; Д,) есть колебание функции ~ на отрезке Д;. Это колебание заведомо конечно, если ~ — ограниченная функция. Теперь сформулируем и докажем следующее Ут вер ж де и ие 2. Для тпого чтпобы ограниченная на отпрезне [а, Ь] фуннт1ня ~ была интпегрируема на нем, достпатпочно, чтпобы для любого числа е ) О нашлось число б ) О тпакое, чтпо при любом разбиении Р опьрезка [а, Ь] с параметпром Л(Р) < о выполнялось соотпношение ззо ГЛ.
'Л. ИНТЕГРАЛ ~ Пусть Р— разбиение отрезка (а,61 и Р— продолжение разбиения Р. Оценим разность интегральных сумм ю® Р, () — о ® Р, с.), Используя введенные выше обозначения, можем написать а а< е а1 1=1 у=1 1=1,у=1 и а; и а< < ЕХ,!У(6~) — У(6)1Ьх' < ~~ ~ У;Ь;)~Ь;, =„'), У;Ь;)ах;. ~=1,у=1 1=1 у=1 В этих выкладках мы использовали то, что Ьх; = ~ Ьх;-, а также то, что я=1 ф(ц) У(4()) ~ ~а1® Ь1)~ поскольку 6у Е Ьц С Ь1 и 4з Е Ь1. Из полученной оценки разности интегральных сумм следует, что если функция ~ удовлетворяет достаточному условию, сформулированному в утверждении 2, то по любому числу е > О можно найти 6 > О так, что для любого разбиения Р отрезка (а, Ь) с параметром Л(Р) < 6 и его продолжения Р при любом выборе отмеченных точек ~ и ~ будем иметь ~о.® Р,с) — о.(~; Р,~)! < —.
Если теперь (Р', с.') и (Р", Я вЂ” произвольные разбиения с отмеченными точками отрезка ~а, 6), параметры которых удовлетворяют условиям Л(Р') < 6, Л(Р") < 6, то, рассмотрев разбиение Р = Р' 0 Р", являющееся продолжением обоих разбиений Р', Р", по доказанному будем иметь Отсюда следует, что ~с® Р', Е) — оЦ; Р", Я~ < е, как только Л(Р') < 6, Л(Р") < 6. Таким образом, в силу критерия Коши существует предел 1пп ~~~ ~®) Ьх; А(Р)-+О 1=1 интегральных сумм, т. е. У Е Я.(а, Ь1, в $1 ОпРеДеление интеГРАлА и интеГРиРУемОсть ФУнкции 331 Следствие 1, (~ е С[а, Ь)) =~ (~ е Я[а,Ь]), т.
е. явоая непрерывная на отпрезке функция интегрируема на этом отрезке. ~ Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем, так что необходимое условие интегрируемости в этом случае, очевидно, выполнено. Однако непрерывная на отрезке функция еще и равномерно непрерывна на нем, поэтому для любого е > О можно найти о > О так, что на любом отрезке Ь С [а,6) длины меньше 6 будем иметь м®Ь) < ~ . Тогда для любого Ь вЂ” а разбиения Р с параметром Л(Р) < о будем иметь ы®Ь~)Ьх; < ~~) Ьх; = (Ь вЂ” а) = е. 1=1 т=1 В силу утверждения 2 теперь можно заключить, что ~ Е Я,[а, Ь). ~ Следствие 2.
Есяи ограниченная на отпрезке [а,Ь) функция ~ непрерывна на этом отпрезке встоду, кроме, 6ыть может, конечного мнозсества тпочек, тпо ~ е Я,[а, 6]. ~ Пусть м(~; [а, Ь]) < С < оо и ~ имеет й точек разрыва на отрезке [а, Ь). Проверим выполнимость достаточного условия интегрируемости функции ~. При заданном е > О возьмем число о1 — — ~ и построим о1-окрестности 8С й каждой из Й точек разрыва функции ~ на [а, 6). Дополнительное к объединению этих окрестностей множество точек отрезка [а, Ь] состоит из конечного числа отрезков, на каждом из которых ~ непрерывна и, значит, равномерно непрерывна. Поскольку таких отрезков конечное число, по е > О можно указать Бз > О так, что на любом отрезке Ь, длина которого меньше Бз и который полностью содержится в одном из указанных выше отрезков непрерывности ~, будем иметь м®Ь) < ~ .
Возьмем теперь число о = ш1ПЯ~,Б2). Пусть Р— произвольное разбиение отрезка [а, Ь], для которого Л(Р) < о. Сумму ~ м® Ь;) Ьх;, отвечающую разбиению Р, разобьем на две части: ~,~о(У;Ь;)Ьх; = )» ы(~;Ь;)Ьх;+~~т м(~;Ь,)Ьх;. т-сФ В сумму ~ включим те слагаемые, которые отвечают отрезкам Ь; разбиения Р, не имеющим общих точек с построенными о1-окрестностями точек разрыва. Для таких отрезков Ь, имеем ы(~; Ь,) <, поэтому 2(Ь вЂ” а) ' ГЛ.
Ч1. ИНТЕГРАЛ ЗЗ2 Сумма длин оставшихся отрезков разбиения Р, как легко видеть, меньше (б+2б1+б)й < 4 ~ й = —, позтому 8С й 2С' ~~) а~® Ь~Ьх, < С ~» Ьх; < С.— Таким образом, мы получаем, что при Л(Р) < б ы®Ь;)Ьх, <е> т. е. выполнено достаточное условие интегрируемости и ~ Е Я.[а, Ь]. > Следствие 3. Монотпонная на отпреэке функция интпеерируема на этпом отрезке. ~ Из монотонности функции ~ на отрезке [а,Ь] следует, что ~®[а,Ь]) = = ~ДЬ) — ~(а)[. Пусть задано е > О. Положим б = .
Мы считаем, что ДЬ) — ~(а) у~ О, поскольку в противном случае 1 постоянна и интегрируемость ~ не вызывает сомнений. Пусть Р— произвольное разбиение отрезка [а„Ь] с параметром Л(Р) < б. Тогда для него с учетом монотонности ~ имеем м®Ь;)Ьх; < б~~ ы®Ь,) = б~ ~Дх;) — ~(х, 1)[ = »» ~(~(х,) — ~(х; 1)) = б]ДЬ) — У(а)~ = е. 1=1 1 1 —— 2п 1 1 при 1 — — < х < — и 6 1Ч 2" 2"+1' > ~(х) = при х=1 на отрезке [О, Ц, не убывает и в каждои точке вида — „, и е 1Ч, имеет разрыв. 1 Замечание.
Отметим, что хотя мы сейчас имеем дело с вещественными функциями на отрезке, однако ни в определении интеграла, ни в доказанных выше утверждениях, за исключением следствия 3, мы по существу не использовали то, что рассматриваемые функции вещественнозначные, а не комплексно- или, например, векторнозначные функции точки отрезка [а, Ь]. Таким образом, 1" удовлетворяет достаточному условию интегрируемости, т, е.
~ »= Я.[а, Ь]. в Монотонная функция может иметь уже бесконечно много точек разрыва на отрезке (счетное множество). Например, функция, определяемая соотно- шениями $1. ОпРеДеление интеГРАлА и интеГРиРУемОсть ФУнкций 333 Понятия верхней и нижней интегральной суммы, к которым мы переходим, напротив, специфичны только для функций с действительными значениями. Определение 6. Пусть ~: [а, Ь] -+ К вЂ” действительнозначная функция, определенная и ограниченная на отрезке [а, Ь]; Р— разбиение отрезка [а, Ь]; ,л1; (1 = 1,..., и) — отрезки разбиения Р. Пусть т; = Ы ~(х), М; = аир ~(х) лед; ярд,.
(1 =1,...,и). Суммы 8® Р):=,~ т; Ьх, и 8(~;Р) < ст(~;Р,~) < Я®Р). (7) Лемма 1. 8® Р) = 1п1 а Ц; Р, с,), 4 Я(~;Р) = аиро.(~;Р®. ( ~ Проверим, например, что верхняя сумма Дарбу, отвечающая разбиению Р отрезка [а, Ь], является верхней гранью значений интегральных сумм, соответствующих разбиению с отмеченными точками (Р, с,) отрезка [а, Ь], причем верхняя грань берется по всевозможным наборам ( = ®,..., (;,) отмеченных точек. Ввиду (7), для доказательства достаточно, чтобы при любом с > О нашелся такой набор с отмеченных точек, что имеет место неравенство Б Я Р) < Ю; Р, 4) + с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
