В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 69
Текст из файла (страница 69)
По определению чисел М;, при каждом 1 Е (1,..., и) найдется точка (1 Е Е Д;, в которой М; < ~ф) + —. Пусть ( = (~„..., г„). Тогда Ц Термин»интегральная сумма» здесь формально не вполне законен, так как не всегда »и, и М, являются значениями функции 1 в некоторой точке С» Е д,. называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой функции ~ на отрезке [а, Ь], соответствующей разбиению Р зтого отрезка11. Суммы 8(У; Р) и 5® Р) называют также нижней и верхней суммой Дарбу, соответствующей разбиению Р отрезка [а, Ь]. Если (Р,г.) — произвольное разбиение с отмеченными точками отрезка [а, Ь], то, очевидно, ГЛ.
Л~Ь ИНТЕГРАЛ Х = 1пп Я(Х'; Р). л1Р)- о (9) Х = 1пп в®Р), л(Р)- о ХХри этом их общее значение Х = Х = Х совпадаетп с интпегралом Х(х) Их. ~ Действительно, если пределы (9) существуют и равны между собой, то по свойствам предела из (7) заключаем о существовании предела интегральных сумм, причем Х= 11ш о(У;Р,0=Х. Ц Р) — +О С другой стороны, если Х б тс[а, Ь], т. е. существует предел 1пп <т(Х;Р,(') = Х, м ) то из (7) и (8) заключаем, что существует предел 1пп Я®Р) = Х, причем М,Р) -+О Х = Х. Аналогично проверяется, что 11ш в(Х; Р) = Х = Х. > л(Р) +О В качестве следствия утверждения 3 получаем следующее уточнение утверждения 2.
Утверждение 2'. Для тпого чтобы функция Х: [а,Ь] -+ Ж, заданная на отпрезхе [а, Ь], была интпегрируема по Риману, необходимо и достпатпочно выполнение соотпношения 1пп ~ ~а~(Х; Ь,)Ьх; = О. л(Р)- о, т=1 (10) < Учитывая утверждение 2, нам остается лишь убедиться в необходимости соотношения (10) для интегрируемости Х. Заметим, что м® Ь,) = М; — тп;, поэтому ыО',Ь;)Ьх; = ~) (М; — т,)Ьх; = БЦ;Р) — в(~;Р), и теперь (10) следует из утверждения 3, коль скоро Х Е Я.[а, Ь]. 1» что и завершает доказательство второго утверждения леммы.
Первое утверждение проверяется аналогично. ° Из доказанной леммы и неравенства (7) с учетом определения интеграла Римана заключаем, что справедливо следующее Ут в е р ж д е и и е 3. Ограниченная вещестпвеннозначная функция Х: [а, Ь] -+ -+ К интпегрируема по Риману на отпреэке [а, Ь] тогда и тполько тогда, хогда сущестпвутотп и равны между собой пределы 336 ГЛ. У1, ИНТЕГРАЛ При Л(я) -+ О по построению также Х(Р) -+ О, и на основании утверждения 2' из полученного неравенства заключаем, что (~ Е Я,[а, Ь]) =~ (Щ Е Яс,а]), если [с,'сЦ С [а, Ь]. е) Проверим сначала, что если ~ Е ЯЦа, Ь], то ~~ Е ЯЦа, Ь].
Если ~ Е Л,[а, Ь], то ~ ограничена на [а, Ь]. Пусть |Дх)] < С < оо на [а, Ь]. Тогда ]~~(х1) — ~~(х2)] = ~(Дх1) + ~(хр)) ° (~(х1) — Дх~))] < 2С]~(х1) — ~(х2)~, поэтому о(~~; Е) < 2См® Е), если Е С [а, Ь]. Значит, ~~) м(~~;Ь;)Ьх; < 2С~ м®Ь,)Ьх,, откуда на основании утверждения 2' заключаем, что (~ б Я.[а, Ь]) =~ (~~ б УЦа, Ь]). Теперь перейдем к общему случаю. Запишем тождество О И ) 4 [(Х ) ( ) У ) ( )] Из этого тождества с учетом только что доказанного утверждения и прове- ренных пунктов а) и Ь) утверждения 4 заключаем, что (~ Е %[а, Ь]) Л (д Е 1С[а, Ь]) =Ф (~ д 6 Я.[а, Ь]). Из курса алгебры вам уже известно понятие векторного пространства.
Вещественнозначные функции, определенные на некотором множестве, можно поточечно складывать и умножать на действительное число, получал при этом снова функцию с вещественными значениями на том же множестве. Если функции рассматривать как векторы, то можно проверить, что при этом выполнены все аксиомы векторного пространства над полем действительных чисел и указанное множество действительных функций является векторным пространством относительно операций поточечного сложения функций и умножения функций на действительные числа. В пунктах а), Ь) утверждения 4 сказано, что сложение интегрируемых функций и умножение интегрируемой функции на число не выводит за пределы множества %[а, Ь] интегрируемых функций. Таким образом, Я,[а, Ь] само является линейным векторным пространством — подпространством векторного пространства вещественнозначных функций, определенных на отрезке [а, Ь].
$1 ОпРеделение интеГРАлА и интеГРиРуемОсть Функции 337 й. Критерий Лебега интегрируемости функции цо Риману. В заключение приведем пока без д1оказательства теорему Лебега, даюшую внутреннее описание интегрируемой по Риману функции. Для этого введем следующее полезное само по себе понятие. Определение 7, Говорят, что множество Е С й имеет меру нуль или является множестпвом меры куль (в смысле Лебега), если для любого числа е > О существует такое покрытие множества Е не более чем счетной системой (1ь) интервалов, сумма ~; ~1ь ~ длин которых не превьппает е. я=1 Поскольку ряд ~ Д~ сходится абсолютно, порядок суммирования длин Ь=1 промежутков покрытия не влияет на сумму (см. утверждение 4 из гл.
11, ~ 5, и. 2), поэтому данное определение корректно. Л е м м а 2. а) Точка и конечное число точек суть множестпва меры куль. Ь) Объединение конечного или счетного числа множестпв меры нуль есть множестпво меры куль. с) Подмножество множестпва меры нуль само есть множестпво меры нуль. с1) Отрезок ~а, Ь) при а ( Ь не лвллетпсл множестпвом меры куль. ~ а) Точку можно покрыть одним интервалом длины меньшей, чем любое наперед заданное число е > О, поэтому точка является множеством меры нуль.
В остальном а) вытекает из Ь). Ь) Пусть Е = Ц Е" — не более чем счетное объединение множеств Е" меры нуль. По е > О для каждого Е" строим покрытие (1~",) множества Е" такое, что ~ Щ ь Поскольку объединение не более чем счетного числа не более чем счетных множеств само не более чем счетно, промежутки 1~, й, т1 б Ы, образуют не более чем счетное покрытие множества Е, причем ~ Щ с — '+ — +...+ — +... =е. 2 2~ 2" о,ь Порядок суммирования ~ Щ по индексам и и к безразличен, ибо ряд сходите,й ся к одной и той же сумме при любом порядке суммирования, если он сходится для какого-то порядка суммирования.
Последнее в нашем случае имеет место, ибо любые частичные суммы нашего ряда ограничены сверху числом е. Итак, Е есть множество меры нуль в смысле Лебега. с) Это утверждение, очевидно, непосредственно следует из определения множества меры нуль и определения покрытия. Й) Поскольку для любого покрытия отрезка интервалами можно выделить' конечное покрытие, сумма длин промежутков которого, очевидно, не превосходит суммы длин промежутков исходного покрытия, то нам достаточно 338 ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ проверить, что сумма длин интервалов, образующих конечное покрытие отрезка [а, Ь|, не меньше длины Ь вЂ” а этого отрезка. Проведем индукцию по количеству интервалов покрытия. При и = 1, т. е. когда отрезок [а, Ь) содержится в одном интервале (а, ф), очевидно, имеем а < а < Ь <,8 и, — а > Ь вЂ” а.
Пусть утверждение доказано до индекса к е 1Ч включительно. Рассмотрим покрытие, состоящее из к+ 1 интервалов. Возьмем интервал (а1, оя), покрывающий точку а. Если аг ) Ь, то а~ — а1 > Ь вЂ” а и все доказано. Если же а < а2 < Ь, то отрезок [ая, Ь~ покрыт системой, состоящей уже не более чем из Й интервалов, сумма длин которых по предположению индукции не меньше чем Ь вЂ” ая. Но Ь вЂ” а = (Ь вЂ” ар) + (а2 — а) < (Ь вЂ” ар) + (а~ — а1 ) и, таким образом, сумма длин интервалов исходного покрытия отрезка [а, Ь[ больше, чем его длина Ь вЂ” а. ° Интересно отметить, что в силу пунктов а) и Ь) леммы 2 множество Я всех рациональных точек числовой прямой Й является множеством меры нуль, что на первый взгляд выглядит несколько неожиданным при сопоставлении с пунктом д) той же леммы.
Определение 8. Если некоторое свойство выполнено в любой точке множества Х, кроме, быть может, точек множества меры нуль, то говорят, что зто свойство имеет место почтпи всюду на множестве Х или почтпи во всех тпочках множества Х. Теперь сформулируем критерий Лебега. Теорем а.
Функиил, определенная на отпреэке, интпеерируема по Риману на этпом отпрезке в тпом и тполько в тпом случае, когда она оераничена на этом отпреэке и непрерывна почтпи во всех еео тпочках. Итак, (~ Е Я,[а, Ц) с=» (~ ограничена на [а, Ь1) Л Л (~ непрерывна почти всюду на [а, Ь1). Из критерия Лебега и свойств множеств меры нуль, изложенных в лемме 2, очевидно, легко можно получить как следствия 1, 2, 3 утверждения 2, так и утверждение 4. Мы не станем сейчас доказывать критерий Лебега, поскольку при работе с достаточно регулярными функциями, с которыми нам предстоит иметь дело, он нам пока не нужен.
Однако идейную сторону критерия Лебега вполне можно объяснить уже сейчас. Утверждение 2' содержало критерий интегрируемости, выраженный сооти ношением (10). Сумма ~ ю® Ь;) Ьх; может быть мала, прежде всего, за счет $1. Определение интеГРАлА и интегрируемость Функций 339 множителей ш(~; Ь;), которые малы в малых окрестностях точек непрерывности функции. Если же некоторые из отрезков Ьх; содержат точки разрыва функции, то для них ш® Ь;) не стремится к нулю, сколь мелким бы ни было разбиение Р отрезка ]а, Ь]. Однако ы(~; Ь;) < ы® (а, д]) < оо в силу ограниченности ~ на (а, О], поэтому сумма тех слагаемых, которые содержат точки разрыва, тоже может оказаться маленькой, если только мала сумма длин отрезков разбиения, покрывающих множество точек разрыва, или, точнее, если рост колебания функции на некоторых отрезках разбиения компенсируется малостью длин этих отрезков.
Точной реализацией и формулировкой этого наблюдения и является критерий Лебега. Приведем теперь два классических примера, поясняющих свойство функции быть интегрируемой по Риману. Пример 1. Функция Дирихле 1 при хЕЯ, Р(х) = О при х ЕЙ~Я, рассматриваемая на отрезке (0,1], не интегрируема на нем, поскольку для любого разбиения Р отрезка (О, 1] в каждом отрезке Ь; разбиения Р можно отметить как рациональную точку Я, так и иррациональную точку Я'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
