В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Ъ) Интеграл (29) выражается через элементарные функции, если одно из трех чисел р, б1, р+ д — целое. (П. Л. Чебышев показал, что других случаев, при которых бы интеграл (29) выражалсл в элементарных функциях, не существует.) 5. Эллиптиические интпеералы. а) Любой многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет вещественный корень хо и заменой х — хо = Ф~ приводится к многочлену вида з( ~я+ Ь~з+ з+,1~+ Ь) Функция В(х,,/Р(х)), где В(и, и) — рациональная функция, а Р— полипом степени 3 или 4, приводится к виду В1(з, а8 +ЬР+...
+е), где а ~ О. с) Многочлен четвертой степени ах + Ьх +... + е представляется в виде про- а$+,8 изведения а(х + р1х + д1) (х~+ рзх + без) и заменой х = всегда может быть (М1 + ха'1б ) (МЗ + Фгб ) приведен к виду (7б+ 1) 322 ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ З) Если )тз) > )т~) > О, аоод ой т заме видас/ се = х, зс' зе = зЛ вЂ” хх, Г т(1з) И ~/жйФ =,,/ййй1 = интеграл ~ приводится к /Г:~' ~/à — х' ,/ А(1+тй1 ) 1+тз1 ) аиду / йх(хй) дух , где О < я < 1, а г — рациональная функция. 1с) Выведите формулы понижения показателей 2п, пй для интегралов х "й1х й1х 1) Любой эллиптический интеграл /дзх, ЗдРгх~зддх, где Р— 'полипом четвертой степени, с точностью до слагаемых, представляющихся в виде элементарных функций, приводится к одному из трех канонических интегралов (20), (21), (22).
дух ш) Интеграл ~ выразите через канонические эллиптические интегралы. ~/1+ хй 1 и) Выразите через эллиптические интегралы первообразные функции и з/сов 2х 1 й й:~ ' 6. Используя вводимые ниже обозначения, найдите с точностью до линейной функции Ах+ В первообразные следующих незлементарньпс специальных функций: Г е* а) Е1 (х) = / — й1х (интегральная экспонента); ,/ х Ь) %(х) = / — й1х (интегральный синус); х с) С1(х) = — й~ (интегральный косинус); й1) 8Ы(х) = — й1х (интегральный гиперболический синус); е) СЫ (х) = — йЬ (интегральный гиперболический косинус); х 1') Я(х) = / ешх й(х (интегрзлы Френеля); ~) С(х) = / соех'йЬ Ь) ф(х) = / е й1х (интеграл Эйлера — Пуассона); 1) 11 (х) = у — (интегральный логарифм).
<йх ,/ !вх 7. Проверьте, что с точностью до постоянной справедливы следующие равенства: а) Е1(х) = 11(е*); Ь) СЫ(х) = -[Е1(х)+Е1( — х)]; 1 7. ПЕРВООВРАЗНАЯ 323 с) БЬ1(х) = — (Е1 (х) — Е1 (-х)1; 2 й) Е1 (гх) = С1 (х) + ю 81 (х); е) е'"~~ Ф(хе '"~ ) = С(х) + зЯ(х). 8. Дифференциальное уравнение вида Ф У(~) ь д(~) называют уравнением с разделлютцимисл переменными, поскольку его можно переписать в виде 9®ДР= У(х) Ь, в котором переменные х и у разделены.
После зтого уравнение можно решить: ~у(у)йу ~Дх)йх~-а, вычислив соответствующие цервообразные. Решите уравнения: а) 2х~рр'+ р~ = 2; ь) вру = ~/Г+х'; с) у' = сов(р + х), положив и(х) = у(х) + х; й) х~~' — соя 2р = 1 н выделите то решение, которое удовлетворяет условию у(х) -+ 0 при х -+ +ос:, е) — у'(х) = Я(х); 1') — = С(х). у (х) сов х 9. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км.
Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Предельную скорость падения человека в воздухе нормальной плотности принять равной 50 м/с. Решите задачу в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально а) скорости; Ь) квадрату скорости. Изменением давления с высотой пренебречь. 10. Известно, что скорость истечения воды нз небольшого отверстия в дне сосуда достаточно точно может быть вычислена по формуле О,б ~2дН, где у — ускорение силы тяжести, а Н вЂ” высота уронил воды над отверстием.
Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды нз полного бака вытекает за 5 мин. За какое времл вытечет вся вода? 11. Какую форму должен иметь сосуд, являющийся телом вращения, чтобы при истечении нз него воды уровень воды понижался равномерно? (Исходные данные см. в задаче 10.) 12. В рабочее помещение вместимостью 10 мз через вентиляторы в 1 минуту подается 10~ м~ свежего воздуха, содержащего 0,04% СОа, и одновременно такое же количество смеси выводитсл нз помещения. В 9 часов утра в помещение входят служащие, н через полчаса содержание СОа в воздухе повышается до 0,12%. Оцените содержание углекислого газа в помещении к 2 часам дня.
ГЛАВА У1 ИНТЕГРАЛ З 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций 1. Задача и наводящие соображения. Пусть точка движется вдоль числовой оси, 8(Ф) — ее координата в момент $, а и(Ф) = 8'($) — ее скорость в тот же момент Ф. Предположим, что мы знаем положение 8(80) точки в момент $0 и к нам поступают данные о ее скорости. Располагая ими, мы хотим вычислить 8(Ф) для любого фиксированного значения Ф > 80.
если считать скорость 0(Ф) меняющейся непрерывно, то смещение точки за малый промежуток времени приближенно можно вычислить как произведение и(т)Д1 скорости в произвольный момент т, относящийся к этому промежутку времени, на величину Д~ самого промежутка. Учитывая это замечание, разобьем отрезок [~0,Ф~, отметив некоторые моменты Ф; (г = О, ..., и), так, что Фо ( Ф1 < ... < Ф„= Ф, и так, что промежутки [Ф; 1,~;) малы. Пусть ДА = 8; — Ф; 1 и т; Е [Ф; 1,Ц~, тогда имеем приближенное равенство 8(Ф) 8йо) Е 0(т') ДФ' ° а=1 По нашим представлениям, зто приближенное равенство будет уточняться, если.
переходить к разбиениям отрезка [$0, Ф~ на все более мелкие промежутки, Таким образом, надо полагать, что в пределе, когда величина А наибольшего из промежутков разбиения стремится к нулю, получим точное равенство Это равенство есть не что иное, как фундаментальная для всего анализа формула Ньютона — Лейбница.
Она позволяет, с одной стороны, численно 5 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 325 находить первообразную 8(Ф) по ее производной и(Ф), а с другой стороны, по найденной каким-либо способом первообразной 8(Ф) функции и(1) найти и стоящий слева предел сумм ~ и(т;)Ь1,. 1=1 Такие суммы, называемые янтегряльяымп суммами, встречаются в самых разнообразных случаях. Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под параболой р = хЯ над отрезком [О, 1] (рис. 47).
Не останавливаясь здесь на подробном обсуждении понятия площади фигуры, о котором речь будет идти несколько позже, мы, как и Архимед, будем действовать методом исчерпания фигуры посредством простейших У фигур — прямоугольников, площади которых мы вычислять умеем. Разбив отрезок ~0, Ц точками 0 = хе < х1 « ... х„= 1 на мелкие отрезки ~х» 1, х11, мы, очевидно, можем приближенно вычислить искомую площадь о как сумму площадей изображенных на рисунке прямоугольников: ~т М ~~» Х~1 1ЬХ;; Рис. 47 здесь Ьх1 = х; — х; 1. Полагая ~(х) = х2 и (; = х; 1, мы перепишем полученную формулу в виде В этих обозначениях в пределе будем иметь 1ш1 ~~1 ~(~;)Ьх1 = о, 1=1 где, как и выше, А — длина наибольшего из отрезков (х; 1, х11 разбиения.
Формула (2) только обозначениями отличается от формулы (1). 'Забыв на миг о геометрическом смысле ~®), ьх1 и считая х временем, а ~(х) скоростью, найдем первообразную Р(х) функции Дх) и тогда по формуле (1) получим, что и = Е(1) — Р(0). В нашем случае ~(х) = х2, поэтому Р(х) = — х + с и о = Р(1) — Г(0) = —.
3' Это и есть результат Архимеда, который он получил прямым вычислением предела в (2). Предел интегральных сумм называется интегралом. Таким образом, формула (1) Ньютона — Лейбница связывает интеграл и первообразную. Перейдем теперь к точным формулировкам и проверке того, что на эвристическом уровне было получено выше из общих соображений. 326 ГЛ. 1~1. ИНТЕГРАЛ 2. Определение интеграла Римана а. Разбиения Определение 1. Разбиением Р отрезка [а,Ь), а < Ь, называется конечная система точек хо,...,х„ этого отрезка такая, что а = хо < х1 « ...
< х„= Ь. Отрезки [х1 1, х;] (г = 1, ..., т1) называются отпрезхами разбиения Р. Максимум Л(Р) из длин отрезков разбиения называется параметпром разбиеиил Р. Определение 2, Говорят, что имеется разбиеиие (РД) с отпмеченными точками отрезка [а, Ь], если имеется разбиение Р отрезка [а, Ь] и в каждом из отрезков [х; 1, х;) разбиения Р выбрано по точке 5 Е [х; 1, х;] (т' = 1, ..., и). Набор ®,..., ~„) обозначается одним символом ~. Ь.
База в множестве разбиений. В множестве Р разбиений с отмеченными точками данного отрезка [а, Ь) рассмотрим следующую базу В = (В1). Элемент В1, д > О, базы В есть совокупность всех тех разбиений (Р,Ц) с отмеченными точками отрезка [а, Ь), для которых Л(Р) < а. Проверим, что 1В1), а > О, — действительно база в Р. Во-первых, В,1 ф 121. В самом деле, каким бы ни было число а > О, очевидно, существует разбиение Р отрезка [а, Ь) с параметром Л(Р): д (например, разбиение на п конгруэнтных отрезков).
Но тогда существует и разбиение (Р, с) с отмеченными точками, для которого Л(Р) < а. Во-вторык, если а1 > О, др > О и д = ппп(а1, сЦ, то, очевидно, Вд,11В,1, —— =Вя1= 8. Итак, 8 = [В,1) — действительно база в Р. с. Интегральная сумма Определение 3. Если функция ~ определена на отрезке [а,Ь), а (РЯ вЂ” разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма (3) где Ьх, = х; — х; 1, называется интпеералъной суммой функции ~, соответствующей разбиению (Р, ~) с отмеченными точками отрезка [а, Ь].
Таким образом, при фиксированной функции ~ интегральная сумма о®Р,т,) оказывается функцией Ф(р) = о®р) на множестве Р разбиений р = (Р, () с отмеченными точками отрезка [а, Ь]. Поскольку в Р имеется база В, то можно ставить вопрос о пределе функции Ф(р) по этой базе. с1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
