В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Доказательство теоремы 1 дословно повторяет доказательство критерия Коши для числовых функций (гл. П1, ~ 2, теорема 4) с единственным изменением, сводящимся к тому, что теперь вместо ~Дх1) — ~(хя)~ следует всюду писать Ы(~(х1), ~(х~)). В справедливости теоремы 1 можно убедиться и иначе, если считать известным критерий Коши для вещественнозначных функций и воспользоваться соотношениями (2) и (1). Для функций со значениями в К" остается в силе также важная теорема о пределе композиции.
Теорема 2. Пустпь т — множество, Ву — база в У, д: У -~ К"— отпображение, имеющее предел по базе Ву. Пустпь Х вЂ” множестпво, Вх — база в Х, У: Х -+ У вЂ” тпакое отпображение Х в У, что для любого элементпа Ву б Ву базы Ву найдется элементп Вх Е Вх базы Вх, образ которого ~(Вх) содержится в Ву.
При этих условиях композиция д о ~; Х -+ К" отображений ~ и д определена, имеет предел по базе Вх и 1пп(д о~)(х) = 1ппд(у). Доказательство теоремы 2 можно провести, либо повторив доказательство теоремы 5 из ~ 2 гл. П1, с заменой там К на К", либо сослаться на указанную теорему и воспользоваться соотношением (2).
До сих пор мы рассматривали'функции ~: Х -+ К" со значениями в К", никак не конкретизируя область их определения Х. В дальнейшем нас прежде всего будет интересовать случай, когда Х есть подмножество пространства К™, Условимся, что, как и прежде: У(а) — окрестность точки а Е К™; о о У(а) — проколотая окрестность точки а Е К™, т. е. У(а):= У(а) ~ а; бн(а) — окрестность точки а в множестве Е с К, т.
е, Ун(а):= Е П У(а); о ° о Ун(а) — проколотая окрестность точки а в множестве Е, т. е. Ун(а):= = Ей У(а); $2. пРедел и непРеРыВнОсть Функции мнОГих пеРеменных 413 х -+ а — база проколотых окрестностей точки а в К"', х -+ оо — база окрестностей бесконечности,т. е. база, состоящая из множеств К™ ),В(а;т); х -+ а, х )= Е, или (Е Э х -+ а) — база проколотых окрестностей точки а в множестве Е, если а — предельная точка для Е; х -+ оо, х 6 .Е, или (Е ) х -~ оо) — база окрестностей бесконечности в множестве Е, состоящая из множеств Е ~ В(а;т), если Š— неограниченное множество. В соответствии с этими обозначениями можно, например, дать следующие конкретизации определения 1 предела функции, если речь идет о функции ~: Е -+ К", отображающей множество Е С К в К": ( 11т Дш) = А):= (че) 0»Гя(а) чх бак(а) (и(~(л),А) (я)).
ЕЭх-+а Это же можно записать и иначе: 11ш г"(х) = А Е хх+а =(Че>0 Зб>0 ЧхЕЕ (0<гК(х,а) <б~д®х),А) <я)). Здесь подразумевается, что расстояния Н(х, а) и Ы(Дх), А) измеряются в тех пространствах (К и К"), в которых лежат указанные точки. Наконец, (!дп Дх) = А):= (Уя >0»В(аЯ Ухе Й )В(а~) («Щи) А) (я)). Условимся также, что запись « ~(х) -+со при базе В» в случае отображения ~: Х -+ К" всегда будет означать, что для любого шара В(А; г) С К" найдется элемент В Е В базы В такой, что ДВ) С К" ~ В(А; г). Пример 1. Пусть х )-+ )г'(х) — отображение л': К™ -+ К, состоящее в том, что каждой точке х = (х1,..., х™) пространства К ставится в соответствие ее «-я координата х'.
Итак, гг'(х) = х'. Если а = (а',..., а™), то, очевидно, ~г'(х) -) а' при х + а. Функция х )-+ )г'(х) не стремится ни к конечной величине, ни к бесконечности при х -+ оо, если т ) 1. Вместе с тем Дх) = ~~ ()г'(х)) -+ оо при х -+ оо. 414 ГЛ. М!. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ху г г если хг+Уг ~0 ~(х,у) = х +у О, если хг + уг = О, 'ХЬгда У(0, у) = У(х, 0) = О, а У(х, х) = — при х уЕ О.
Таким образом, зта функция не имеет предела при (х, у) -+ (О, 0). Вместе с тем 1!т (1!т р'(х,р)) = 11т(О) = О, !!т (От 1(х,р)) = От(О) =О. Пример 3. Для функции хг— г+ г> если хг+ уг у~О, О, если хг+уг =О, имеем /хг ~ 1>т (1!т р'(х, р)) = 1)т ( — х) = 1, !!т ( От Дх, р)) = 11т ( — — 1! = — 1. р-+о *-+о ' р-ро ~ уг р Пример 4. Для функции х + у 8!и —, если х ~ О, 1 .!.(х,у) = О, если х=О, имеем 1пп !".(х, у) = О, ( ,)р)- (о,о? !! (!!ту(х,р)) =О, и в то же время повторный предел от ( От дх, р)) вообще не существует.
Не следует думать, что предел функции нескольких переменных можно найти, вычисляя последовательно пределы по каждой из координат. В зтом можно убедиться на следующих примерах. Пример 2. Пусть функция 1р: Кг -+ К в точке (х, у) (:- Кг определена так: $2. пРедел и непРБРыВнОсть 'дрункции мнОГих пеРеменных 4ц5 Пример 5. Функция х д если х2+у ~0, х4 + ~2 ' О, Дх,у) = имеет нулевой предел при стремлении к началу координат по любому лучу х=аФ, у=,8$, Вместе с тем функция равна — в любой точке вида (а, а2), где а ~ О, поэтому функция не имеет предела при (х, у) -+ (О, 0). 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.
Пусть Š— множество в пространстве К™ и ~: Е -+ -+ К" — определенная на нем функция со значениями в пространстве К". Определение 6. Функция ~: Е -+ К" называется иепрерывмой в точке а е Е, если для любой окрестности У(~(а)) значения У(а) этой функции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность Уе(а) точки а в множестве Е, образ которой Дбе(а)) содержится в У(~(а)). Итак, (~: Š— ~ К" непрерывна в а Е Е):= = (~Ъ'(У(а)) ЛБЕ(а) (У(0Е(а)) С ~®а)))). Мы видим, что по форме определение 6 совпадает со знакомым нам определением 1 непрерывности вещественнозначной функции, приведенным в.~ 1 гл.
1У. Как и там, мы можем дать следующие вариации записи этого определения: (Д: Е -+ К" непрерывна в а Е Е):= = (~я > О =(о > О ~х (= Е Щх, а) < Ю =(р (К(Дх) д (а)) < е)) или, если а — предельная точка множества Е, (~: й -е Й" непрерывна в ап Е):= Ит Дв) = ~(а)). 'а ЕЗХ-+а хд .,х'") = х ~-+ „= ( д ., д~) = уд(хд,...,х'"), ..., ~"(хд,...,х, ')) непрерывно в некоторой точке в том и только в том случае, когда каждая из функций у' = ~'(х~,..., х ) непрерывна в этой точке. Как уже отмечалось в главе дд(", понятие непрерывности представляет интерес именно в том случае, когда речь идет о точке а б Е, предельной для множества Е, на котором определена функция д. Из определения 6 и соотношения (2) следует, что отображение У: Е ~ К", задаваемое соотношением 416 ГЛ.
УП. 4>УНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В частности, вспомним, что путем в К" мы назвали отображение 1: 1 -+ К" промежутка 1 С К, задаваемое непрерывными функциями 11(х), ..., 1" (х) в виде $ + у ( у 1 у ~ ) ( ~ 1 ( х ) ~ ~ ( х ) ) Таким образом, мы теперь можем сказать, что путь в ЗГ есть кепрерывмое отображение промежутка 1 С К вещественной оси в пространство К". По аналогии с определением колебания вещественнозначной функции в точке, вводится понятие колебания в точке функции со значениями в Кт'. Пусть Š— множество в К"', а Е Е и Ве(а; т) = Е П В(а; т).
Определение 7. Колебанием фумхции 1: Š— ~ К" в точке а Е Е называется величина юЦ;а):= 1пп ш(1; Ве(а;т)). Из определения 6 непрерывности функции, с учетом свойств предела и критерия Коши, получаем совокупность часто используемых локальных свойств непрерывных функций. Перечислим эти Локальные свойства непрерывных функций а) Отпображение 1: Е -+ Кт' множества Е С К™ непрерывко в тпочхе а Е Е тогда и только шогда, когда ы(1; а) = О. Ь) Отображение 1"; Е -+ К", непрерывное в тпочхе а Е Е, ограничено в нехотпорой охресткостпи Оя(а) этой шочхи. с) Если отображение д: У-+ К~ множества УС К" непрерывно в тпочхе уо Е У, а отображение 1: Х-+ У множестпва Х С К непрерывмо в тпочхе хо Е Х, пРичем 1(хо) = Уо, шо опРеделено отпобРажение д о 1: Х -+ К~ и око непрерывно в тпочхе хо Е Х.
Вещественнозначные функции, кроме того, обладают еще следующими свойствами: 11) Если фумхция 1: Е -+ К непрерывка в тпочхе а Е Е и 1(а) > 0 (или 1(а) ( 0), тпо найдется такая охрестностпь 11е(а) тпочхи а в Е, чшо для х Е ЙТе(а) справедливо 1(х) > 0 (соответстпвенно, 1(х) < 0). е) Если фумхции 1: .Е -+ К и д: Е + К непрерывны в точке а Е Е, то их линейная комбинация (о1 + Зд): Е -+ К, где а, 1э Е К, произведение (1 д): Е -+ К, а если д(х) ~ 0 на Е, шо и частпное ~-): Е -+ К, определены /~1 д на Е и непрерывны в тпочхе а Е Е.
Условимся говорить, что функция 1: Е -+ К" непрерывна ма множестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Множество функций 1: Е -+ К", непрерывных на Е, будем обозначать символом С(Е; К") или символом С(Е), если область значений функций однозначно определяется по контексту; как правило, это сокращение будет использоваться в случае, когда К" = К. $2. пРедел и непРеРыВнОсть Функции мнОГих пеРеменных 417 Пример б. Функции (х',...,х™) ~-+ х' (ю = 1,..., тп), отображающие $Г' на К (проекции), очевидно, непрерывны в любой точке а = (а1,..., а"') Е б К™, ибо 1ип л'(х) = а' = ~г'(а). а-+а Пример 7.
Любую функцию х ~-+ ~(х), определенную на К, например Р х ~-+ 81пх, можно рассматривать и как функцию (х, у) ~ — + ~(х), определенную, положим, на К2, В таком случае, если ~ была непрерывна как функция на К, новая функция (х,р) ~ — ~ ~(х) будет непрерывна как функция на К2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
