В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Происхождение этой терминологии прояснится позже. Значение дифференциала на векторе Ь Е ТК, есть вектор ~'(х) Ь Е ТК" приложенный к точке ~(х) и аппроксимирующий приращение ~(х + Ь) — ~(х) функции, вызванное приращением Ь аргумента х. Итак, ~Щх) или ~'(х) есть линейное отображение ~'(х): ТК~ -+ ТК~~,~. Мы видим, что, в полном соответствии с уже изученным нами одномерным случаем, функция многих переменных с векторными значениями дифференцируема в точке, если ее приращение ЬДх; Ь) в этой точке как функция приращения аргумента Ь линейно по Ь с точностью до поправки а(х; Ь), бесконечно малой при Ь -+ О в сравнении с приращением аргумента.
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции. Если векторы Дх+ Ь)„~(х)„Ь(х)Ь, а(х;Ь) из К" записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным и равенствам ~'(х+Ь) — ~'(х) = Ь'(х)Ь+а'(х;Ь) (г = 1,...,и) (2) между вещественнозначными функциями, в которых, как следует из соотношений (9) и (15) ~ 1, П(х): К"' -+ К суть линейные функции, а а'(х; Ь) = о(Ь) при ф -+ О, х + Ь б Е для любого е = 1,..., п. Таким образом, справедливо Утверждение 1. Отображение ~: Е -~ К" множества Е с К™ дифференцируемо в точке х е Е, предельной длл.множества Е, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции ~'.
Е -+ К (з = 1,..., п), задающие координатное представление данного отображения. Поскольку соотношения (1) и (2) равносильны, то для отыскания дифференциала Цх) отображения ~: Е -+ К" достаточно научиться находить дифференциалы Ь'(х) его координатных функций ~': Е -+ К. Итак, рассмотрим вещественнозначную функцию ~: Е -+ К, определенную на множестве Е С К и дифференцируемую во внутренней точке х б Е этого множества.
Заметим, что в дальнейшем нам большей частью придется иметь 428 ГЛ. ЧШ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ дело с тем случаем, когда Е будет областью в Ж™. Если х есть внутренняя точка множества Е, то при любом достаточно маюм смещении Ь от точки х точка х+ Ь также будет принадлежать Ж и, следовательно, будет находиться в области определения функции ~: Е -+ К. Если перейти к координатной записи точки х = (х',..., х ), вектора Ь = = (Ь1,...,Ь™) илинейнойфункции Х(х)Ь= а1(х)Ь1+... +а (х)Ь, тоусловие Дх+ Ь) — 1(х) = Цх)Ь+ о(Ь) при Ь -+ О (3) перепишется в виде У(х1+ Ь1,..., х'" + И~) — У(х1,..., х'") = = а1(х)Ь'+...
+ а,„(х)Ь + о(Ь) при Ь ~ О, (4) где а1(х), ..., а (х) — связанные с точкой х вещественные числа. Мы хотим найти эти числа. Для этого вместо произвольного смещения Ь рассмотрим специальное смещение Ь; = Ь1е, = О е1 +... + О . е; 1 + Че; + О е;+1 +... + О . е,„ на вектор Ь;,коллинеарный вектору е; базиса (е1,..., е ) в К™. При Ь = Ь;, очевидно, ЙЬй = 1Ь'~, поэтому из (4) при Ь = Ь, получаем У( 1 1 — 1 1+ Ь1 1+1 т) У( 1 1 тл) = а;(х)Ь'+ о(Ь') при Ч -+ О. (5) Это равенство означает, что если фиксировать в функции ~(х1,..., х~) все переменные, кроме 1-й переменной, то получаемая при этом функция 1-й переменной оказывается дифференцируемой в точке х'.
Из равенства (5), таким образом, находим, что Дх1,..., х' 1, х'+ Ь', х'+',..., х ) — Дх1,..., х',..., х'") а;(х) = 1ш1 ', ° (о) Л'-+О Ьг Определение 2. Предел (б) называется частпной производной функции ~(х) в точке х = (х',..., х'") по переменной х'. Его обозначают одним иэ следующих символов: д~ —,. (х), д;~(х), В;Дх), Д'; (х). Пример 1. Если ~(и,11) = ив+е2в1пи, то д1Ди,11) = — (и,е) = Зци+ е'сови, д~ ди др~(и,е) = — (и,е) = 2ов1пи. дУ д11 429 5 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пример 2, Если Дх,у,г) =агсФд(хуг)+е', то дУ уг д1Дх,у,г) = — (х,у,г) = дх 1+ хгу4 ' дг~(х,у,з) = — (х,у,г) = д~ 2ху ду» 1+ хгу4 ~ дзУ(х,у,г) = — (х,у,г) = е'. дУ дз Итак~ мы докяззли Утверждение 2.
Если функцил ~: Е -+ И, определенная на множестве Е С И™, дифференцируема во внутпренней точке х б Ю этого множестпва, то в этпой тпочке функцил имеет частпные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определлетсл этими частными производными в виде 1т дЦ(х) Ь = — (х) Ь' +... + — (х) Ь~. д~ , дУ Формулу (7), используя соглашение о суммировании по повторяющемуся снизу и сверху индексу, можно записать компактно: су(х)Ь = дух)Ь4. (8) П ример 3.
Если бы мы знали (а скоро мы это узнаем), что рассмотренная в примере 2 функция ~(х, у, 2) дифференцируема в точке (О, 1, 0), то можно было бы сразу записать, что ,1т(0 1 0)Ь 1 Ь1+О Ьг+1 Ьз Ь1+Ьз и, в соответствии с этим, (Ь1 1 + Ь2 ЬЗ) ~(0 1 0),~~(0 1 О) Ь + о(Ь) или агсГ~(Ь1(1+ Ьг)г) + еь = 1+ Ь1+ Ьз+ о(Ь) при Ь, -+ 0 ~г' П ример 4. Для функции х = (х', ..., х™) ~ — + х', которая точке х е 1т ставит в соответствие ее 1-ю координату, имеем 1.'1тг'(х; Ь) = (х' + Ь') — х' = Ь', т.
е. приращение этой функции само есть линейная по Ь функция Ь ~ — ~ Ь'. Таким образом, 1.'1тг'(х; Ь) = сЬг'(х)Ь, причем отображение сЬ4(х) = юг' на ГЛ. УШ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 430 самом деле оказывается не зависящим от х е. К'" в том смысле, что йг*(х) Ь = = Ь' в любой точке х Е К™. Если вместо х'(х) писать х'(х), то получаем, что Их'(х) Ь = сЬ'Ь = Ь'.
Учитывая это обстоятельство и формулу (8), мы теперь можем представить дифференциал любой функции в виде линейной комбинации дифференциалов координат ее аргумента х е К™. А именно: Ф Ц(х) = дЦ(х) дх' = — (х) сЬ +... + — (х) йх™, дУ , дУ (9) поскольку для любого вектора Ь б ТЖ имеем ~Щх) Ь = д;~(х) Ь1 = дД(х) дх'Ь. 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби. Итак, мы нашли формулу (7) для дифференциала вещественнозначной функции ~: Е -+ К. Но тогда, в силу установленной эквивалентности соотношений (1) и (2), уже для любого отображения ~: Е -+ Ж" множества Е С К, дифференцируемого во внутренней точке х 6 Е этого множества, можно выписать координатное представление дифференциала ф(х) в виде сЦ1(х) Ь д; Ях) Ь' д— , (х) — (х) Ь' д~' д~' 4~"(х)Ь дД™(х)Ь' д~" ( ) д~" ( ) с~(х)Ь = (10) Определение 3.
Матрица (д;~1(х)) (з = 1, ...,т, 1 = 1, ...,и) из частных производных координатных функций данного отображения в точке х Е Е называется матприцей Якоби1) или лкобианом~) отображения в этой точке. В случае, когда и = 1, мы возвращаемся к формуле (7), а нргда п = 1 и т = 1, мы приходим к дифференциалу вещественнозначной функции одного вещественного переменного. Из эквивалентности соотношений (1) и (2) и единственности дифференциала (7) вещественнозначной функции следует Утверждение 3.
Если отпображение 1".: Е-+К" множестпва ф с Ж дифференцируемо во внутпренней точке х 6 Е этпоао множестпва, тпо оно имеет в этой тпочкв единственный дифференциал д~(х), причем координатпное предстпавление отпображениа с~(х): ТК"' -+ ТЖ~~ ) эадаетпся соотпношением (10). Ц К. Г. Я. Якобн (1804 — 1851) — известный немецкий математик. з>Якоонаном чаще называют определитель этой матрицы (когда она квадратнял).
431 1 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке. Мы закончим обсуждение понятия дифференцируемости функции в точке указанием на взаимоотношения между непрерывностью функции в точке, наличием у нее частных производных в точке и дифференцируемостью ее в этой точке. В ~ 1 (соотношения (17) и (18)) мы установили, что.если Х: Ж>" -+ К"— линейное отображение, то Х'Ь -+ 0 при Ь -+ О.
Таким образом, из соотношения (1) можне заключить, что функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке, поскольку Х(х+ Ь) — Х(х) = Х(х)Ь+о(Ь) при Ь-+ О, х+Ь Е Е, Обратное, конечно, не верно потому, что, как нам известно, это не верно уже в одномерном случае. Таким образом, взаимоотношение непрерывности и дифференцируемости функции в точке в многомерном случае такое же, как и в одномерном.
Совсем иначе обстоит дело во взаимоотношениях частных производных и дифференциала. В одномерном случае, т. е. в случае вещественнозначной функции одного вещественного переменного, наличие дифференциала и наличие производной у функции в точке были условиями равносильными. Для функций многих переменных мы показали (утверждение 2), что дифференцируемость функции во внутренней точке области определения обеспечивает существование у нее частных производных по каждой переменной в этой точке. Однако обратное утверждение уже не имеет места.
Пример 5. Функция О, если х1хг = О, у(1 г) х1х2 ~~ О равна нулю на осях координат и потому имеет в точке (0,0) обе частные производные: Х(Ь1,0) — Х(0,0) . Π— 0 ь1-+о Ь1 ь -+о Ь1 (О 0),. У(О, Ь') — У(0, О),. Π— О ь~-+о Ьг ь -+о Ь2 Вместе с тем эта функция не дифференцируема в точке (О, 0), поскольку она, очевидно, разрывна в этой точке. Приведенная в примере 1 функция не имеет одной из частных производных в точках осей координат, отличных от точки (О, 0). Однако функция если хг + рг ~ О, У(х у) х2 + Рг > 0 если хг+ рг =0 432 ГЛ.
У111. ДИ<РФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (которая нам встречалась в примере 2 из ~ 2 гл. УН), уже во всех точках плоскости (х, у) имеет частные производные, однако она тоже разрывна в начале координат и потому не дифференцируема в точке (О, 0). Таким обраЗЬм, возможность написать правую часть равенств (7), (8) еще не гарантирует того, что это будет дифференциал нашей функции, поскольку функция может оказаться не дифференцируемой. Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось (это будет доказано позже), что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
