В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Из курса алгебры вам уже хорошо известно понятие векторного пространства. Если в й~ ввести операцию сложения элементов х1 — — (х1,..., х, ), х2 —— = (х21,..., х~™) по формуле 422 Гл. чнь диФтеРенциАльное исчисление условиться выражения типа (4) записывать коротко в виде х=хе,, г считая, что появление одинакового индекса сверху и снизу означает суммиро- вание по этому индексу в пределах диапазона его изменения. 2. Линейные отображения Ь: Ж™ -+ Ж .
Напомним, что отображение Х: Х -+ У векторного пространства Х в векторное пространство У называется ликейньиц если для любых х1, хр Е Х и Л1, Л2 Е Ж выполнено Х(Л1х1+ Л2х2) = Л1Х(х1) + Л2Х(х2). Нас будут интересовать линейные отображения Х: Ж™ -+ Ж". Если (е1,..., е ) и 1е1,..., е„) — фиксированные базисы пространств Ж~ и Ж" соответственно,то, зная разложения Х(е;) = а~е1+... + а,"е„= а~е~ (з = 1,..., т) (б) образов векторов базиса при линейном отображении Х: Ж"' -+ Ж", мы в силу линейности преобразования Х можем найти разложение по базису 1е1,..., е„) образа Х (Ь) любого вектора Ь = Ь'е1 +... + Ь™е„, = Че;.
А именно: Х(Ь) = Х(Ь'е;) = Ь'Х(е,) = Ь'а~е = а1Ь'е . Значит,в координатной записи: Х(Ь) = (а;Ь',...,а,"Ь'). (8) Отображение Х: Ж~ -+ Ж" при фиксированном в Ж" базисе можно, таким образом, рассматривать как набор Х (Х1 Хтз) (9) из и (координатных) отображений Ы: Ж вЂ” > Ж. С учетом (8) легко заключаем, что отображение Х: Ж'" -+ Ж" линейно тогда и только тогда, когда каждое отображение Х'1 набора (9) линейно.
Если записать набор (9) в виде столбца, то с учетом соотношения (8) имеем Х1(Ь) а11 ... а~„Ь1 Х(Ь) = (10) Х и(Ь) аи пв Ьт Итак, фиксация базисов в Ж™ и Ж" позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями Х,: Ж вЂ” > Ж" и т х и- матрицами (а',) (з = 1,..., т, 1 = 1, ..., п). При этом столбец с номером $1. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА В Ж г матрицы (а1), отвечающей отображению Ь, состоит из координат образа Ь(е,) вектора е, Е (е1,..., е ). Координаты образа Ь(6) произвольного вектора Ь = 6'е; 6 К~ могут быть получены из соотношения (10) умножением матрицы линейного отображения на столбец координат вектора Ь. При наличии в К" структуры векторного пространства можно говорить о линейной комбинации Л1~1 + Л2~2 отображений ~1.
Х -+ К", ~2. Х -+ К", полагая (Л1~1 + Л2~2)(х):= Л1У1(х) + Л2Ь(х). В частности, линейная комбинация линейных отображений Х1 . К™ — ~ К", Ь2 . .К™ -+ К" есть, в соответствии с определением (11), отображение ~ Л1~1(~1) + Л2~2(~1) ~(Ц)~ которое, очевидно, линейно. Матрица этого отображения есть соответствующая линейная комбинация матриц отображений Ь1 и Ь2. Композиция С = В о А линейных отображений А: К~ -+ К", В: К" -+ К", очевидно, также является линейным отображением, матрица которого, как следует из (10), есть произведение матрицы отображения А и матрицы отображения В (на которую умножаем слева).
Кстати, закон умножения матриц определен известным вам образом именно для того, чтобы композиции отображений отвечало произведение матриц. 3. Норма в К . Величину ~~х~~ = (12) назовем нормой вектора х = (Х1,..., х~) б К Из этого определения с учетом неравенства Минковского следует, что 1' йх~~ > О, 2' (~~х~] = 0) с=~ (х = 0), 3' ~]Лхц = ~Л~.
Йхй, где Л 6 К; 4' йх1+ Х2~~ ( Йх1Й + ЙХ2Й. ~~Х2 — Х11Г Н(Х1, Х2), (13) Вообще, любую функцию ~~ ~~: Х -+ К на векторном пространстве Х, удовлетворяющую условиям 1 — 4', называют мормой в векторном пространстве. Иногда, чтобы уточнить, о какой норме идет речь, знак нормы вектора наделяют символом того пространства, в котором эту норму рассматривают. Например, можно написать |~х~~н или Щ~рр, однако мы, как правило, не станем этого делать, ибо из контекста всегда будет ясно, о каком пространстве и какой норме идет речь. Заметим, что в силу (12) ГЛ.~(Ц1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 424 х -+ х0, Й(х,х0) -+ О, Цх — х0Ц -+ О. Ввиду (13), в частности, имеем ЦхЦ = Н(О,х). Свойство 4' нормы называют неравенством треугольника, и теперь ясно почему. Неравенство треугольника по индукции распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. А именно, справедливо неравенство Ц ' +" +хь!! < Цх1Ц+".+ЦМ!. Наличие нормы вектора позволяет сравнивать по величине значения функций ~: Х -+ К"", д: Х -+ К", Условимся писать, что ~(х) = о(д(х)) или ~ = о(д) при базе В в Х, если Ц~(х) Цн- = офд(х) Ци ) при этой базе В. Если ~(х) = (~1(х),..., ~™(х)) — координатное представление отображения ~: Х -+ $Г', то ввиду неравенств !~'(х)! < Ц~(х)Ц < ~» !Д'(х)! (14) можно сделать следующее полезное для дальнейшего наблюдение: (1 = о(д) при базе В) ~=~ (~' = о(д) при базе В; 1 = 1,..., т).
(15) Усювимся также, что запись ~ = 0(д) при базе В в Х будет означать, что Щх)ЦИ = 0(Цд(х)ЦИ ) при этой базе В. Тогда из (14) получаем, что (~ = 0(д) при базе В) с=; (~' =0(д) при базе В; 1= 1,..., тв). (16) Пример. Пусть Ь: К" -+ К" — линейное отображение и Ь = Ь'е1+... + + Ь~е — произвольный вектор пространства К™. Оценим ЦЬ(6)ЦИ . п~ 61Ь(е;) 1=1 Ц~(6)Ц = Таким образом, можно утверждать, что Х(6) = 0(6) при Ь -+ О. (18) В частности, из этого следует, что Ь(х — х()) = Х(х) — ( (х0) — ~ О при х -+ х0, т.
е.линейное отображение Ь: К™ -+ К" непрерывно в любой точке х0 б К". Из оценки (17) видна даже равномерная непрерывность линейного отображения. где (1(х1, хз) — расстояние в К™ между векторами х1 и х1, рассматриваемыми как точки метрического пространства К Из соотношения (13) видно, что следующие условия равносильны: $1. линейнАя стРуктуРА В и™ 425 4. Евклидова структура в К . Иэ алгебры известно понятие скаллрноао произведения в вещественном векторном пространстве как числовой функции (х, у), определенной на парах векторов пространства и обладающей свойствами (х,х) >О, (х, х) = 0 «=~ х = О, (Х1,Х2) = (х2,х1), (ЛХ1, х2) = Л(Х1, Х2), где Л Е К, (Х1 + Х2! ХЗ) = (Х1 „ХЗ) + (Х2 ~ ХЗ).
Из этих свойств, в частности, следует, что если в пространстве фиксирован базис (е1,..., е,„), то через координаты (х',..., х"'), (у',..., у"') векторов х и у их скалярное произведение (х, у) запишется в виде билинейной формы (х,у) = дух'у~ (подразумевается суммирование по з и по З), в которой д;, = (е;, е.). Векторы называются оршогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Базис (е1, ..., е ) называется ортпонормированным, если д,.
= д;., где О, если зфу, 1, если 2 = ~. или (х,у) = Х1 у'+... +х"' у~. (20) Координаты, в которых скалярное произведение имеет такой вид, называют дехартповыми координатами. Напомним, что пространство Ж'" с определенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Между скалярным произведением (20) и нормой вектора (12) имеется очевидная связь ( ) ]~Х~~2 Из алгебры известно следующее неравенство: (х у)' < (х,х)(у у) В ортонормированном базисе скалярное произведение (19) имеет самый простой вид (х, у) = 4 .х'у~, ГЛ. У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ которое, в частности, показывает, что для любой пары векторов найдется угол <р б [О, тт~ такой, что (х, у) = ~~х~~ Йу]~ сов <р. Этот угол называют углом между вектпорами х и у. Именно по этой причине естественно считать ортогональными векторы, скалярное произведение которых равно нулю, Полезным для нас будет также следующий известный из алгебры простой, но очень важный факт: любая линеттная функция Ь: Жо' -+ Ж в евклидовом простпранстпве имеетп вид ~(х) = (бх) где ( е К™ — фиксированный и однозначно соотпветпстпвующий функции Ь вектпор.
~ 2. Дифференциал функции многих переменных 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке Определение 1. Функция ~: Е -э Ж", определенная на множестве Е С Ж~, называется дифференцируемой в точке х Е Е, предельной для множества Е, если где Цх): К~ -+ Ж" — линейная относительно Ь функция' ), а ст(х; Ь) = о(Ь) при Ь вЂ” )О, х+ЬЕЕ. Векторы Ьх(Ь):= (х+ Ь) — х = Ь, ЬДх; Ь):= Дх+ Ь) — ~(х) называются соответственно приращением аргумента и приращением функции (отвечающим этому приращению аргумента).
Эти векторы пр.традиции обозначают символами Ьх и ЬДх) самих функций от Ь. Линейная функция Х(х): К~ — ~ К" в соотношении (1) называется дифференциалом, касатпельным отпображением или производным отпображением функции ~: Е -+ К" в тпочке х 1= Е. Дифференциал функции ~: Е -+ К" в точке х Е Е обозначается символами сЕ~(х), Щ(х) или ~'(х). 1> По аналогии с одномерным случаем, мы позволим себе писать Ь(х)Л вместо Ь(т)(Л). Отметим также, что в определении мы подразумеваем, что Н~ и Н" наделены указанной в ~ 1 нормой. 427 $2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В соответствии с введенными обозначениями, соотношение (1) можно переписать в виде ~(х+ Ь) — ~(х) = ~'(х)Ь+ а(х; Ь) или ЬДх; Ь) = дЦ(х) Ь + а(х; Ь).
Заметим, что дифференциал, в сущности, определен на смещениях Ь от рассматриваемой точки х б К"'. Чтобы это подчеркнуть, с точкой х б К"' связывают свой экземпляр векторного пространства К™ и обозначают его через Т,К™, ТК~(х) или ТК™,; ТК™ можно трактовать как совокупность векторов, приложенных к точке х б К . Векторное пространство ТК называют касательным пространством к К~ в точке х б К~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
