В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 87
Текст из файла (страница 87)
По закону дифференцирования композиции функций находим 4(Уо х) дУ 1 дУ 2 ®~ Ц~1 (") ~ 1(~(")) (') + ~ ~(~(")) ®+ ~ з(~®)* ® (6) где х'(й) = — (Ф) (з =1,2, 3). Поскольку (х1, х~, х~) (й) = о(й) есть вектор скорости нашего перемещения в момент й, а (д1У, д~~, дз~)(х) есть координатная запись дифференциала и~(х) функции ~ в точке х, то равенство (6) можно переписать также в виде "(~„()= ~(()) (), (7) т.
е. искомая величина есть значение дифференциала ИДх(й)) функции Дх) в точке х(Ф) на векторе е($) скорости нашего движения. В частности, если при Ф = 0 мы были в точке хр — — х(0), то И(~ о х) (0) = д.~(хо) е, (8) где ю = о(0) — вектор скорости в момент Ф = О. Правая часть соотношения (8) зависит только от точки хо 1= С и вектора е скорости, которую мы имеем в этой точке, и не зависит от конкретного вида траектории х = х(Ф), лишь бы было выполнено условие х(0) = 11. Это означает, что на любой траектории вида х(Ф) = хо + И + а(Ф), (9) х(Ф) = хо+ 98, (10) отвечающую равномерному движению со скоростью е, при котором в момент Ф = 0 мы находимся в точке х(0) = хо.
Дадим теперь следующее О пред елен не 1. Если функция Дх) определена в окрестности точки хо Е Й™, а ю Е ТИ., — вектор, приложенный к точке хо, то величина где а(й) = о(й) при й -+ О, значение левой части равенства (8) будет одинаково, поскольку оно вполне определяется заданием точки хо и вектора э Е ТЯ„ приложенного к этой точке. В частности, если бы мы хотели непосредственно вычислить значение левой (а значит, и правой) части равенства (8), то можно было бы в качестве закона движения выбрать функцию ГЛ. У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Р„1(хо) = „(0) = Ю~(хо)о Щох) (12) что в координатном представлении означает Р.1(хо) = — (хо) о'+...
+ — (хо) о™. дУ , дУ дх' дх'" (13) В частности, для базисных векторов е1 —— (1,0,..., 0), ..., е = (О,...,О, 1) из этой формулы получаем Р„.1(хр) = — (хо) д~ На основании равенства (12) в силу линейности дифференциала сЩхо) заключаем, что если ~ — дифференцируемая в точке хо функция, то для любых векторов и1, и2 Е ТК™, и любых Л1, Л2 Е К функция имеет в точке хо производную по вектору (Л1и1 + Лги~) Е ТК™ и при этом РА,,+л,,У(хо) = Л1Р„,Яхо) + ЛяР„,~(хо). (14) Если пространство К рассматривать как евклидово пространство, т. е. как векторное пространство со скалярным произведением, то (см.
~ 1) любую линейную функцию Ц11) можно будет записать в виде скалярного произведения (~, о) фиксированного вектора ~ = ~(Ь) и переменного вектора о. В частности, найдется. вектор (' такой, что (15) санхо)и = (4,о). О п р е д е л е н и е 2. Вектор ~ Е ТК™„отвечающий в смысле равенства (15) дифференциалу ~(~(хо) функции 1 в точке хо, называется градиентом функции в этой точке и обозначается символом дай Дхо). Итак, по определению (16) Если в К™ выбрана декартова система координат, то, сопоставляя соотноп1ения (12), (13) и (16), заключаем, что в такой системе координат градиент имеет следующее координатное представление: Кта11У(хо) = ~ —,..., — ~(хо).
ГдУ дУ ~ ~дх ' ' дх™1 (17) (если указанный предел существует) называется производной функции ~ в точке хр по век~пору и. Из проведенных рассмотрений следует, что если функция ~ дифференцируема в точке хо, то при любой функции х(1) вида (9) и, в частности, вида (10)имеет место равенство ~ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФ4>ЕРЕНЦИРОВАНИЯ Выясним теперь геометрический смысл вектора дгас1 ~(хо). Пусть е Е Тʄ— единичный вектор.
Тогда в силу (16) (18) Р,У(хо) = $агас1У(хо)! соз~р, где ~р — угол между векторами е и ягас1 Дхо). Таким образом, если рас1 У(хо) ~ О и е = ~~ ~гас1 Дхо) ~~ ' ягас1 ~(хо), то производная Р,~(хо) принимает наибольшее значение. То есть скорость роста функции ~ (выраженная в единицах величины ~, отнесенных к единице длины в К™) при движении из точки хо максимальна и равна ~~ ягас1 ДхоЦ, когда мы смещаемся именно в направлении вектора огай ~(хо).
При смещении в противоположном направлении значения функции наиболее резко уменьшаются, а при смещении в направлении, перпендикулярном вектору ~гас1 ~(хо), скорость изменения значений функции равна нулю. Производную по единичному вектору данного направления обычно называют производной по донному направлению. Поскольку единичный вектор в евклидовом пространстве задается направляющими косинусами: е = (сов а1,..., сова ), где а, — угол, который вектор е образует с базисным вектором е, декартовой системы координат, то Ре.~(хо) = (его ~(хо), е) = — 1(хо) соз Я1 +... + — (хо) соз О~.
д~ д~ дх дх'" ра = — ягас1р, связывающее ускорение а =- а(х, 1) в потоке свободной от внешних сил идеальной жидкости или газа в точке х в момент $ с плотностью среды р = р(х, 1) и градиентом давления р = р(х, 1), отнесенными к этой же точке и к этому же моменту времени (см. задачу 4). О векторе ягай ~ мы еще будем говорить позже, при изучении векторного анализа и элементов теории поля. Вектор ягас1 ~(хо) встречается очень часто и имеет многочисленные применения. Например, на отмеченном выше геометрическом свойстве градиента основаны так называемые градиентные методы численного (на ЭВМ) поиска экстремумов функций многих переменных.
(См. в этой связи задачу 2 в конце параграфа.) Многие важные векторные поля, как, например, ньютоновское поле сил тяготения или кулоновское поле заряда, являются градиентами некоторых скалярных функций — потенциалов этих полей (см. задачу 3). Многие физические законы в самой своей формулировке используют вектор ~гас1~. Например, в механике сплошной среды эквивалентом основного закона Ньютона та = Р динамики точки является соотношение ГЛ. 1~111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 440 Таким образом, взаимно обратные дифференцируемые отображения имеют в соответствующих точках взаимно обратные касательные отображения. ~ Положим У(х) = у, У(х+Ь) = у+~, ~ = ~(х+Ь) — У(х); тогда У-'(у+~) =х+Ь, Ь= Г'(у+ ) -Г'(у) У '(у) = Будем предполагать, что Ь столь мело, что х+ Ь е У(х), а значит, у+ 1 Е ~ 1'(у).
Из непрерывности ~ в х и ~ 1 в у следует, что ~ = У(х+Ь) — У(х) -» О при Ь-» О Ь=~ '(у+Ю)-~-'(у) — О при ~ О. Из дифференцируемости ~ в точке х следует, что (2) 8 = ~'(х)Ь+о(Ь) при Ь -+ О, т. е. можно утверждать даже, что 1 = 0(Ь) при Ь -+ О (см. соотношения (17), (18) из ~ 1). Покажем, что если ~'(х) — обратимое линейное отображение, то и Ь = 0(~) при 8 -+ О. В самом деле, из (3) последовательно получаем [~'(х)) 1 = Ь+ [~'(х)1 о(Ь) при Ь -+ О; [У'(х)~ '~ = Ь+о(Ь) при Ь-»0, (4) ~~[~'(х)1 'й~~ ) ЦЬЦ вЂ” Цо(Ь)Ц при Ь -» О, В'( )1 '1! ~ -ЦЬЦ при ЦЬЦ < б, 3. Дифференцирование обратного отображения Теорема 4. Пусть т": У(х) -+ У(у) — отпображение окрестпности У(х) С С Ж™ точки х на окрестпностпь К(у) С К™ тпочки у = ~(х), Пусть ~ непрерывно в точке х и имеет обратпное отображение ~ 1: Ъ'(у) -+ У(х), непрерывное в точке у.
Если при этом отпображение ~ дифференцируемо в точке х и касательное к У в тпочке х отображение ~'(х): Т~~ — » ТК1~ имеет обратпное отпображение [~'(х)) 1: ТК1~ -+ ТР~~, то отображение ~ 1: 1~(у) -» У(х) дифференцируемо в точке у = ~(х) и справедливо равенстпво У ')'(у) = У'(х)Г' 441 $ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИ4>ФЕРЕНЦИРОВАНИЯ где число о > О выбрано так, что Цо(Ь) Ц < — ЦЬЦ при ЦЬЦ < о. Тогда с учетом соотношения (2) находим ЦЬЦ <~ 2Ц~У'(х)1 йЦ = 0(ЦЮЦ) при й -+ О, что равносильно соотношению Ь = 0(1) при 1 -+ О. Отсюда, в частности, следует, что о(Ь) = о($) при 1 -+ О.
Учитывая это, из (2) и (4) получаем Ь = ~~'(х)1 ~+ о(1) при ~ -+ О (р+ й) — ~ '® = (Х'(х)1 й+ о(й) при й -+ О. в Из алгебры известно, что если линейному преобразованию Х: Й™ — + К™ от;вечает матрица А, то обратному к Х линейному преобразованию Ь 1: й -+ -+ К соответствует матрица А ', обратная к матрице А. Построение элементов обратной матрищы также известно из алгебры, следовательно, доказанная теорема дает прямой рецепт для построения отображения (~ 1)'(р). Отметим, что при т = 1, т. е.
при Ж'" = К, якобиан отображения ~: У(х) -+ У(у) в точке х сводится к одному числу Х'(х) — производной функции Х в точке х, а линейное преобразование ~'(х): ТВ, -+ Тй„сводится к умножению на это число: Ь ~-+ ~'(х)Ь. Это линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда ~'(х) ф О, причем матрица обратного преобразования ~~'(х)~: ТЗ -~ ТК также состоит из одного числа, равного ~~'(х)1, т. е. обратного к Х'(х). Значит, теорема 4 содержит в себе также доказанное ранее правило отыскания производной обратной функции. Задачи и упражнения 1. а) Два пути $ ~-+ х1($), 1 ~-~ х2(Ф) в К™ будем считать эквивалентными в точке хо б Ж, если х1(0) = х2(0) = хо и Н(х1(Ф), х2(Ф)) = о(Ф) при Ф -+ О.
Проверьте, что указанное отношение действительно является отношением эквивалентности, т. е. оио рефлексивно, симметрично и транзитввно. Ь) Проверьте, что между векторами ч Е ТК, и классами эквивалентных в точке хо гладких путей имеется взаимно однозначное соответствие, с) Отождествляя касательное пространство Ти™„с множеством классов эквивалентных в точке хо Е И™ гладких путей, введите операции сложения классов путей и умножения их на число.
й) Проверьте, зависят ли введенные вами операции от системы координат в Ж 442 ГЛ. Ч111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2. а) Изобразите график функции е = х + 4у2, где (х, у, е) — декартовы координаты в КЗ Ь) Пусть |: С -+ К вЂ” числовая функпия, определенная в области С С К . Уровнем (с-уровнем) функции называется множество Е С С, на котором функция принимает одно значение (у(Е) = с). Точнее, Е = у" '(с).
Изобразите в К~ уровни функции, указанной в а). с) Найдите градиент функции ~(х, у) = х~+ 4у~ и проверьте, что в любой точке (х,у) вектор 87ас1у ортогонален линии уровня функции у, проходящей через эту точку. й) Используя результаты задач а), Ь), с), проложите на поверхности а = х2+4у самый короткий, на ваш взгляд, маршрут спуска из точки (2,1,8) поверхности в низшую ее точку (0,0,0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
