В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Представим соотношение (14) в виде $ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 457 Вектор е = (Ь1/~~Ь~~, ..., Ь /~~Ь~~), очевидно, имеет единичную норму. Квадратичная форма (15) непрерывна как функция Ь в К~, поэтому ее ограничение на единичную сферу Я(0; 1) = (х Е ЗГ' ~ ~1х~~ = 1) также непрерывно на Я(0; 1). Но сфера Я есть замкнутое ограниченное подмножество в К™, т. е. компакт. Следовательно, форма (15) имеет на Я как точку минимума, так и точку максимума, в которых она принимает соответственно значения т и М. Если форма (15) положительно определена, то 0 < т < М и потому найдется число б ) О такое, что при ]~Ь~~ < 0 будет 1о(1) ~ < т. Тогда при ~~Ь~! < 0 квадратная скобка в правой части равенства (16) окажется положительной и, следовательно, Дх0+ Ь) — ~(х0) > О при 0 < ~~Ь!~ < 0.
Таким образом, в этом случае точка х0 оказывается точкой строгого локального минимума рассматриваемой функции. Аналогично проверяется, что в случае отрицательной определенности формы (15) функция имеет в х0 строгий локальный максимум. Тем самым пункт а) теоремы 6 исчерпан. Докажем утверждение Ъ). Пусть е и ещ — те точки единичной сферы, в которых форма (15) принимает соответственно значения т, М, и пусть т < 0 < М. Полагая Ь = «е,„, где « — достаточно малое положительное число (настолько маяое, что х0+ «е Е У(х0)), из (16) находим У(х0+ «е~) У(х0) Я«(т + о(1)) где о(1) -+ О при « — ~ О.
Начиная с некоторого момента (т. е. при всех достаточно малых значениях «), величина т+ о(1) в правой части этого равенства будет иметь знак т, т. е. будет отрицательна. Следовательно, отрицательной будет и левая часть. Аналогично, полагая Ь = «ем, получим .~(х0+ «ем) ~(х0) у «(М+ о(1)) 1 г и, следовательно, при всех достаточно малых «разность Дх0+ «ем) — ~(х0) положительна. Таким образом, если квадратичная форма (15) на единичной сфере или, что, очевидно, равносильно, в Й™ принимает значения разных знаков, то в любой окрестности точки х0 найдутся как точки, в которых значение функции больше Дх0), так и точки, в которых оно меньше Дх0).
Следовательно, в этом случае х0 не является точкой локального экстремума рассматриваемой функции. 9» Сделаем теперь несколько замечаний в связи с доказанной теоремой. Замечание 1. Теорема 6 ничего не говорит о случае, когда форма (15) полуопределена, т. е. неположительна или неотрицательна. Оказывается,'в этом случае точка х0 может быть точкой экстремума, а может и не быть таковой.
Это видно, в частности, из следующего примера. 458 ГЛ.Ч111 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 3. Найдем экстремумы определенной в )яг функции У(х,у) = = х4+ у4 — 2х В соответствии с необходимыми условиями (12) напишем систему уравнений — (,у) ='4 — 4 =О, Ю ° з дх — (х,у) =4у =О, Ю з ду из которой находим три критические точки: ( — 1,0), (0,0), (1,0). Поскольку дгу дгу дгу — (х,у) = 12х — 4, — д ду — дуг (х,у) =О, — (х,у) =12уг, то квадратичная форма (15) в указанных трех критических точках имеет соответственно вид 8(6~)~, — 4(6~)~, 8(61)~, т.
е. во всех случаях она полуопределена (положительно или отрицательно). Теорема 6 тут не применима, но поскольку ~(х,у) = (хг — 1)г + у4 — 1, то очевидно, что в точках ( — 1, 0), (1, 0) функция 1'(х, у) имеет строгий минимум — 1 (и даже нелокальный), а в точке (0,0) у нее нет экстремума, поскольку при х = 0 и у ф. 0 )'(О,у) = у4 > О, а при у = 0 и достаточно малых х ф 0 Дх, О) = х' — 2х' < О.
Замечание 2. После того как квадратичная форма (15) получена, исследование ее определенности может быть проведено с помощью известного из курса алгебры критерия Сильвестра' ). Напомним, что в силу критерия т Сильвестра квадратичная форма ~ а1 . х4х1 с симметрической матрицей а11 .. а1 а,„1... а,„ положительно определена тогда и только тогда, когда положительны все главные миноры этой матрицы; форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда а11 < 0 и при переходе от любого главного минора матрицы к главному минору следующего порядка знак значения минора меняется. Пример 4.
Найдем экстремумы функции у( у) „1 ( г+ г) определенной в плоскости Й~ всюду, кроме начала координат. ЦДж. Дж. Сильвестр (1е14.— 1897) — английский математик; наиболее иэвестные его работы относятся к алгебре. $ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 459 Решая систему д~ 2хгу — (х, у) = у 1п (хг + уг) + = О, д~ 2 2 2ху — (х, у) = х 1п (хг + уг) + = О, находим все критические точки функции (О, ~1); (~1, 0); Поскольку функция нечетна относительно каждого из двух своих аргументов в отдельности, то точки (О, ~1) и (~1, 0), очевидно, не являются точками экстремума нашей функции. Видно также, что данная функция не меняет своего значения при одновременном изменении знака обеих переменных х и у.
Таким образом, если мы исследуем только одну из оставшихся критических точек, например точку — —, то мы сможем сделать заключение и о характере остальных. 1 1 ~Г2е е~~2ее Поскольку а'~ бхр 4 у д г х У хг+уг (хг+ 2)2 д~~ 2 4хгуг — (х, у) = 1п(х + у ) + 2 — г г'г 7 д ду (х~+ уг)г д9~ бху 4хуг дуг ~ х2+ у2 (Х2+ у2)2 то в точке ( 1, ~1 квадратичная форма д; ~(хе) Ь*Ю имеет матрицу ~~2ее' 42ее/ (") т.
е. она положительно определена, и, следовательно, в этой точке функция имеет локальный минимум 42е е' ~/2е 2е ' В силу сделанных выше наблюдений относительно особенностей рассматриваемой функции можно сразу же заключить, что — также локальный минимум, а 460 ГЛ. М11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИŠ— локальные максимумы функции. Впрочем, это можно проверить и непосредственно, убедившись в определенности соответствующей квадратичной формы.
Неиример, в точке ( — —, — ) метрике иввдрвтичиои формы ~1о) о ~/2е' ~/2е! имеет вид ( — 2 0) откуда видно, что форма отрицательно определена. Замечание 3. Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые (теорема 5) и достаточные (теорема 6) условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения, поскольку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек. Подробнее общие принципы исследования невнутренних экстремумов будут разбираться позже (см.
раздел, посвященный условному экстремуму). Полезно иметь в виду, что при отыскании минимумов и максимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее, можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если рассматриваемая в Йр" дифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то, при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она и принимает свое минимальное значение.
Пример 5. Задача Гю4аенса. На основе законов сохранения энергии и импульса замкнутой механической системы несложным расчетом можно показать, что при соударении двух абсолютно упругих шаров, имеющих массы т1 и тг и начальные скорости и1 и ог, их скорости после центрального удара (когда скорости направлены по линии центров) определяются соотношениями (т1 — 11гг) в1 + 2тг ог Ф т1+ тг (тг — т1) эг + 2т1и1 ~г рп1 + 1ггг В частности, если шар массы М, движущийся со скоростью У, ударяется о неподвижный шар массы т, то приобретаемая последним скорость е может быть найдена по формуле о= У, 2М (17) т+М из которой видно, что если 0 ( т ( М, то У ( е ( 2У.
Каким же образом телу малой массы можно передать значительную часть кинетической энергии большой массы? Для этого, например, между шарами 461 5 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ малой и большой масс можно вставить шары с промежуточными массами п2 ( т1 < т2 ( ... < т„< М. Вычислим (вслед за ГюйгенсОм), как надо выбрать массы ш1, т2, ..., т„, чтобы в результате последовательных центральных соударений тело т приобрело наибольшую скорость.
В соответствии с формулой (17) получаем следующее выражение для искомой скорости как функции от переменных ти1, т2, ..., т„: РРР1 РРР2 РРРп 2"+ К (18) т+т1 т1+т2 т„-1+т„т„+М Таким образом, задача Гюйгенса сводится к отысканию максимума функции .~1 1П„ М Дт1,...,т„) = п2+п21 п2и-1+ать п1,п+М Система уравнений (12), представляющих необходимые условия внутреннего экстремума, в данном случае сводится к системе т т2 — т1 =О, г ееа1 ' ееаЗ ес22 Ое 2 т„1 М вЂ” т~ =О, из которой следует, что числа т, т1,..., т„, М образуют геометрическую прогрессию со еиамеиатееем е, раеиым "'фМ7т. Получаемое при таком наборе масс значение скорости (18) определяется равенством (19) которое при п = О совпадает с равенством (17). Из физических соображений ясно, что формула (19) указывает максимальное значение функции (18), однако это можно проверить и формально (не привлекая громоздких вторых производных; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
