В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Применяя к последней разности вновь теорему Лагранжа, найдем, что Р(61 Ь') = дг,У(х'+ 01Ь', хг+ 9262)626' Если теперь Г(61, 62) представить в виде разности Е(61, 62) = ~а(1) — ДО), где ~р(Ф) = У(х'+ Ь', х2+ $62) — У(х', х2 + $62), то аналогично найдем, что Г(61, 62) = д12У(х1+ д 61 х2 + д 62) 6162 Сравнивая равенства (2) и (3), заключаем, что д21У(х + ~16 ~ х + ~26 ) д12У(х + ~16 1 х + ~26 )э (2) (3) (4) д2 У(х1, х2) = д12У(х1, хг) ф Заметим, что без каких-либо дополнительных предположений, вообще говоря, нельзя утверждать, что справедливо равенство д,.У(х) = д.;У(х), если обе указанные частные производные определены в точке х (см.
задачу 2 в конце параграфа). Договоримся в дальнейшем через С®(С; К) или С~1'~(С) обозначать множество функций У: С -> К, все частные производные которых до порядка /с включительно определены и непрерывны в области С С Й где 91, д2, дд, д~ е 10, Ц. Воспользовавшись непрерывностью рассматривае- мых частных производных в точке (х1, х2) при Ь -+ О, из (4) получаем нужное равенство 452 ГЛ У111. ДИ~ФКЬЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В качестве следствия теоремы 3 получаем Утверждение 1. Если ~ Е С®(С;К), то энанение д;,;,~(х) частной проиэводной не эависит от порядка 11,..., ц, дифференцирования, т.
е. остается тем же при любой перестановке индексов 11,..., 1в. м В случае й = 2 зто утверждение. содержится в теореме 3. Предположим, что утверждение справедливо до порядка и включительно. Покажем, что тогда оно справедливо и для порядка и + 1. Но д;„,;„+, Дх) = д;,(д;,...;„+, У)(х). Индексы 12, ..., 1„+1 по предположению индукции можно переставлять, не меняя функции д,, „;„+, ~(х), а следовательно, и функции д;,...;„+,~(х). Поэтому достаточно проверить, что можно переставлять также, например, индексы 11 и 12, не меняя значения производи 0,„,...,„„У(х). Поскольку д;„,;„+, ~(х) = 0;„, (д;, +, Д (х), то возможность этой перестановки непосредственно вытекает из теоремы 3.
В силу принципа индукции утверждение 1 доказано. ° Пример 1, Пусть Дх) = ~(х1,хг) — функция класса С®(С;К). Пусть Ь = (Ь'„Ьг) таково, что отрезок [х, х + Ь] содержится в области С. Покажем, что функция у(Ф) = У(х+ ФЬ), определенная на отрезке ~0, 1], принадлежит классу С® ~0, 1], и найдем ее производную по Ф порядка й. Имеем г(~) 0 ~( 1+ ~Ь1 2+ ~Ьг)Ь1+ д У( 1+ ~Ь1 2+ ~Ь2)Ьг сфР (Ф) = д11 1(х+ ЙЬ)Ь Ь + дг11(х+ ЙЬ)Ь Ь + д У(х+ ~Ь)Ь1Ь2 + 0 У( + ~Ь)Ь2Ь2 011 У(х + ~Ь) (Ь ) + 2012Х(х + ~Ь) Ь Ь + 0221(х + ~Ь) (Ь ) Эти соотношения можно записать в форме действия оператора (Ь'д1 + Ьгдг) на функцию: у~(й) = (Ь1д1+ Ьгдг)Дх + ФЬ) = Ь д ~(х + М), о(~) (Ь10 +Ьгд )гу( +~Ь) Ь1,Ьз~д у( +~Ь) По индукции получаем чтей)(Ф) (Ь1д + Ь~дг)~у(х + М) — Ь Ь й д ... У(х + ФЬ) (справа имеется в виду суммирование по всевозможным наборам 11, ..., 1я из Й индексов, каждый из которых принимает значения 1 или 2).
453 $4, ОснОВные теОРемы <р1~1(й) = Ь"... Ь" д,,;,~(х+ФЬ), где справа имеется в виду суммирование по всевозможным наборам индексов 11, ..., ть, каждь1й из которых может принимать любое значение от 1 до тп включительно. Формулу (5) можно записать также в виде ср®(Ф) = (Ь'д1+... + Ь~д„,)ьХ(х+ ФЬ). (6) 4. Формула Тейлора Теорема 4. Если фрнниил У: У(х) + К определена и принадлежитп классу С~"~(У(х)",К) в охрестпностпи У(х) С К тпочни х Е К, а отпрезок [х, х + Ь~ полностпью содержитпсл в У(х), тпо имеетп местпо равенстпво (7) (8) Равенство (7) совместно с соотношением (8) называется формулой Тейлора с интпегральной формой остпатпочного члена, < Формула Тейлора (7) немедленно следует из соответствующей формулы Тейлора для функции одной переменной.
В самом деле, рассмотрим вспомогательную функцию оР) = У(х+ЮЬ), которая в силу условий теоремы 4 определена на отрезке 0 < 1 < 1 и (как мы проверили выше) принадлежит классу С~"~ [О, Ц. Тогда при т Е [О, Ц в силу формулы Тейлора для функций одной переменной можно записать, что рЮ = р(0) + †, р'(0) т + ... + , Ю~"-'~(0)т"-' + 1 1 1 (1 ~)т-1 + ( ) р~"~(тт) т™ т1~. (п — 1)1 о Пример 2. Если Дх) = Дх1,...,х~) и ~ б С®(С;К), то, в предположении, что [х, х + Ь) с С, для функции ~р(1) = ~(х+ тЬ), 'определенной на отрезке [О, Ц, получаем ГЛ. Ч111.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Полагая здесь т = 1, получаем р(1) = р(О)+ — о'(О)+...+, р~"-'~(О)+ ~Ф">Р)а. (9) о Подставляя в полученное равенство, в соответствии с формулой (б), значения у(ь)(0) = (Ь'д,+... + Ь д )ьЯх) (В =О,...,и — 1), , (в)(~) (~ 1д + + Ьтвд )тьу( + ~Ь) получаем то, что и утверждает теорема 4. ° Замечание. Если вместо интегральной формы остаточного члена в соотношении (9) написать остаточный член в форме Лагранжа, то из равенства р(1) = р(0) + —, у'(О) +...
+ р1" 1(О) + —, р~">(1т), где О < д < 1, получается формула Тейлора (7) с остаточным членом ...(х; Ь) = „— 1 (Ь'д, +... + Ь-д )" ах+ ЕЬ) 1 Эту форму остаточного члена, так же как и в случае функций одной переменной, называют формой Лагранжа остпатпочного члена формулы Тейлора.
,Коль скоро 1' Е С~"~(У(х); К), то из (10) следует, что т„1(х;Ь) = —,(Ь'д1+... +Ь д„„)" Ях)+о(~~Ь~~") при Ь-+О, 1 поэтому имеет место равенство 1+Ь1 т+~пь) ~( 1 ш) = ~~) —,(Ь'д1+...+Ь д,„) У(х)+о(1!Ь~!") при Ь вЂ” 10, (11) называемое формулой Тейлора с остпатпочным членом в форме Пеано.
5. Экстремумы функций многих переменных. Одним из важнейших применений дифференциального исчисления является его использование для отыскания и исследования экстремумов функций. Определение 1. Говорят, что функция ~: Е -+ й, определенная на множестве Е С К™, имеет локальный максимум (локальный минимум) во внутренней точке хо множества Е, если существует окрестность |У(хо) с Е точки хо такая, что 1 (х) < ~(хо) (соответственно, Дх) >,1 (хо)) при х Е У(хо) Если при х Е У(хо) ~хо имеет место строгое неравенство ~(х) < ~(хо) (или, соответственно, 1(х) > Дхо)), то говорят, что функция имеет в точке хо стпрогий локальный максимум (стпрогий локальный минимум).
455 $4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Определение 2. Локальные минимумы и локальные максимумы функции называют ее локальными экстпремумами. Теорема 5. Пустпь функция ~: У(хо) — + К, определенная в окрестпностпи У(хо) С К™ точки хо — — (хоо,..., х~~), имеети в тпочке хо частпные производные по каждой иэ переменных хо,..., х"'. Тогда для того, чтобы функция имела в хо локальный экстпремум, необходимо, чтиобы в этпой тпочке были выполнены равенстпва дУ дУ вЂ (хо) = Π†(хо) = О. дх' ' '''' дх~ (12) «6 Рассмотрим функцию ср(хо) = ~(хо, хо,..., хо ) одной переменной, определенную, в силу условий теоремы, в некоторой окрестности точки хо вещественной оси. В точке хо функция у(хо) имеет локальный экстремум, и поскольку р'(хо) = —,(хо*хо* " хо), то — (хо) = О.
дУ дх' Аналогично доказываются и остальные равенства системы (12). ~ Обратим внимание на то, что равенства (12) дают лишь необходимые„но не достаточные условия экстремума функции многих переменных. Примером, подтверждающим это, может стать любой пример, построенный по этому же поводу для функции одной переменной. Так, если раньше мы говорили о функции х ~-+ хз, имеющей в нуле нулевую производную, но не имеющей там экстремума, то теперь можно рассмотреть функцию дхо,...,х™) = (х'), доУ'(хо) .. д У (хо) доУ"(хо) ..
д У"(хо) все частные производные которой в точке хо — — (О,...,О) равны нулю, но экстремума в этой точке функция, очевидно, не имеет. Теорема 5 показывает, что если функция ~: о .-+ К определена на открытом множестве 0 С К™, то ее локальные экстремумы находятся либо среди точек, в которых ~ не дифференцируема, либо в тех точках, в которых дифференциал ф(хо) или, что то же самое, касательное отображение У'(хо) обращается в нуль.
Нам известно, что если отображение ~: У(хо) -+ К", определенное в окрестности У(хо) С К™ точки хо 6 К~, дифференцируемо в хо, то матрица касательного отображения ~'(хо): К -+ К" имеет вид 456 ГЛ. УНЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Определение 3. Точка хо называется хритпической точкой отпображения ~: У(хо) -+ К", если ранг матрицы Якоби (13) отображения в этой точке меньше, чем тшп(т, и), т. е. меньше, чем максимально возможный.
В частности, при и = 1 точка хо критическая, если выполнены условия (12), т. е. все частные производные функции ~: У(хо) -+ К обращаются в нуль. Критические точки вещественнозначных функций называют также стпационарными точками таких функций. После того как в результате решения системы уравнений (12) найдены критические точки функции, их дальнейший анализ в,отношении того, являются они точками экстремума или нет, часто удается провести, используя формулу Тейлора и доставляемые ею следующие достаточные условия наличия или отсутствия экстремума.
Те о ре ма 6. Пустпь ~: У(хо) -+ К вЂ” функция класса С~~~(У(хо); К), определенная в охрестпностпи У(ххо) С К™ тпочки хо — — (х~о,...,хо™) Е К, и пусть хо — хритпичесхая тпочха зтпой функции т. Если в тпейлоровсхом разложении 1(хо+Ь'.".~хо +Ь ) = дгу = У(хо,..., о) + — ~~», (хо) Ь'Ь + о(!!Ь!! ) (14) 1,у=1 функции в тпочхе хо квадратпичная форма дг . (хо) Ь1У = дц1(хо)Ь'Ч' 11,1'=1 (15) У(хо + Ь) У(хо) 2$ !!Ь!! .
(хо) — — + о(1) дгУ Ь1 Ьг дх1дхг !!Ь!! !!Ь|! (16) где о(1) есть величина, бесконечно малая при Ь -+ О. Из (16) видно, что знак разности Дхо+ Ь) — Дхо) полностью определяется знаком величины, стоящей в квадратных скобках. Этой величиной мы теперь и займемся. а) знакоопределена, тпо в тпочке хо функция имеетп локальный зкстпремуМ котпорый являетпся строгим лохальным минимумом, если квадратичная форма (15) положитпельно определена, и стпрогим локальным максимумом, если она отприцатпельно определена; Ь) можетп принимать значения разных знаков, тпо в точке хо функция зхстпремума не имеетп. ° Пусть Ь ,-Е О и хо + Ь б У(хо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
