В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 94
Текст из файла (страница 94)
~) Покажите, что в линейном случае, когда 4(Ь) = во + ЛЬ, точки х; (из задачи 1)) на промежутке (О, Н~) располагаются так, что числа во во во во — < — +х~ < < — +х1 < — +Н Л Л " ''' Л Л образуют геометрическую прогрессию. 11. а) Проверьте, что касательная к кривой Г; У -+ Ж определена инвариантно относительно выбора системы координат в и Ь) Проверьте, что касательная плоскость к графику Я функции у = у(х1,..., х ) определена инвариантно относительно выбора системы координат в Й с) Пусть множество Я С Ж х и' является графиком функции у = Дх,..., х ) в координатах (х',..., х, у) в Й х Ж' и графиком функции у = ~(х',..., х ) в координатах (х',..., х, у) в К х Ж'.
Проверьте, что касательная к Я плоскость инвариантна относительно линейного преобразования координат в Й х й'. аиду й) Проверьте, что оператор Лапласа Ь~ = ~, — (х) определен инвариантно в=1 дх~ относительно ортогональных преобразований координат в Ж 'З 5. Теорема о неявной функции 1. Постановка вопроса и наводящие соображения. В этом параграфе будет доказана важная как сама по себе, так и благодаря ее многочисленным следствиям теорема о неявной функции, Поясним сначала, в чем состоит вопрос. Пусть, например, мы имеем соотношение хз+у2 — 1 = 0 16 Зорич В. А. ГЛ.
и'111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ между координатами х, у точек плоскости К~. Совокупность точек плоскости К2, удовлетворяющих этому соотношению, есть единичная окружность (рис. 56). Наличие связи (1) показывает, что, фиксировав одну из координат, например х, мы не вправе брать вторую координату произвольно. Таким образом, соотношение (1) предопределяет зависимость у от х. Нас интересует вопрос об условиях, при которых неявная связь (1) может быть разрешена в виде явной функциональной зависимости у = у(х).
Решая уравнение (1) относительно у, найдем, что (2) т. е. каждому значению х такому, что ~х~ ( 1, на самом деле отвечают два допустимых значения у. При формировании функциональной зависимости у = у(х), удовлетворяющей соотношению (1), у нельзя без привлечения дополнительных требований отдать предпочтение какому-нибудь одному из значений (2). Например, функция у(х), которая в рациональных точках отрезка ~ — 1, Ц принимает значение +~/à — хз, а а иРРациональных — значение -~/Т - хз, оче. видно, удовлетворяет соотношению (1).
Ясно, что вариацией этого примера можно предъявить бесконечно много функциональных зависимостей, удовлетворяющих соотношению (1). Вопрос о том, является ли множество, за даваемое в Ф соотношением (1), графиком некоторой функциональной зависимости у = у(х), очевидно, решается отрицательно, ибо с геометрической точки зрения он равносилен вопросу о возможности взаимно однозначного прямого проектирования окружности на некоторую прямую. Но наблюдение (см. рис. 56) подсказывает, что все-таки в окрестности отдельной точки (хе, уе) дуга окружности взаимно однозначно проектируется на ось х и ее единственным образом можно представить в виде у = у(х), где х Р-+ у(х) — непрерывная функция, определенная в окрестности точки хо и принимающая в хе значение уо.
В этом отношении плохими являю'гся только точки ( — 1, 0), (1, 0), ибо никакая содержащая их внутри себя дуга окружности не проектируется взаимно однозначно на ось х. Зато окрестности этих точек на окружности хорошо расположены относительно оси у и могут быть представлены в виде графика функции х = х(у), непрерывной в окрестности точки 0 и принимающей в этой точке значение -1 или 1 в соответствии с тем, идет ли речь о дуге, содержащей точку ( — 1, 0) или (1, 0). Э 5.
ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Как же аналитически узнавать, когда наше геометрическое место точек, определяемое соотношением типа (1), в окрестности некоторой точки (хо, уо), принадлежащей ему, может быть представлено в виде явной зависимости Р = у(х) или х = х(Р)? Будем рассуждать следующим, уже привычным способом. У нас есть функция Р(х, У) = х + Р~ — 1. Локальное поведение функции в окрестности точки (хо, уо) хорошо описывается ее дифференциалом г (хо Ро)(х хо) + ~~(хо Уо)(У Уо) поскольку ~(х У) = ~(хо>Уо) +Р,'(хо>Ро)(х — хо)+ Р(хо Уо)(У вЂ” Уо) + + оОх — хо1+ Ь вЂ” уо!) при (х,У) -+ (хо,Ро).
Если г (хо, Ро) = 0 и нас интересует поведение линии уровня .г'(х,Р) = 0 нашей функции в окрестности точки (хо, уо), то о нем можно судить по рас- положению прямой (касательной) ~,(хо, Уо)(х — хо) + Е„(хо УоКР— Уо) = О. (3) Если эта прямая расположена так, что ее уравнение можно разрешить относительно у, то, коль скоро в окрестности точки (хо, уо) линия Р(х, Р) = О мало уклоняется от этой прямой, можно надеяться, что ее в некоторой окрестности точки (хо, уо) тоже можно будет записать в виде у = у(х). То же самое, конечно, можно сказать о локальной разрешимости уравнения Р(х, у) = 0 относительно х. Записав уравнение (3) для рассматриваемого конкретного соотношения (1), получим следующее уравнение касательной: хо (х - хо) + Уо (У вЂ” Ро) = О Это уравнение разрешимо относительно у всегда, когда уо у~ О, т.
е. во всех точках (хо, уо) окружности (1), кроме точек (-1,0) и (1, О). Оно разрешимо относительно х во всех точках окружности, кроме точек (О, — 1) и (О, 1). 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции. В этом параграфе теорема о неявной функции будет получена очень наглядным, но не очень эффективным методом, приспособленным только к случаю вещественнозначных функций вещественных переменных. С другим, во многих отношениях более предпочтительным способом получения этой теоремы, как и с более детальным анализом ее структуры, читатель сможет познакомится в главе Х (часть 11), а также в задаче 4, помещенной в конце параграфа.
>6* 474 ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Следующее утверждение является простейшим вариантом теоремы о неяв- ной функции. Утверждение 1. Если функиия .с': У(хв,уо) -+ К, определенная в окрестпностпи У(хв,ув) тпочки (хо, ув) Е К~, тпакова, чтпо 1' Р Е С® (У; К), где р > 1, 2' Р(хо,уо) =О, 3' Р„'(хв,уо) ф. О, тпо сущестпвуютп двумерный промежутпок 1 = 1 х 1„, где Хх = (х 1= К ~ ~х — хо~ < а), 1„= (у Е К ~ ~у — уо~ < ~3), являющийся содержащейся в 11(хд,уо) окрестпностпью тпочки (хв, уо), и тпакая функиия У Е С®(1~; 1„), чтпо. для любой точки (х, у) Е Х~ х 1„ Р(х, у) = О 4=~ у = 1'(х), причем производная функиии у = Дх) в тпочках х Е 1~ можетп бытпь вычи- слена по формуле Х'(х) = — [р'„'(х, 1(х))~ ~Г,'(х, 1(х))~. (5) Прежде чем приступить к доказательству, дадим несколько возможных переформулировок заключительного соотношения (4), которые должны заодно прояснить смысл самого этого соотношения.
Утверждение 1 говорит о том, что при условиях 1, 2, 3' порция множества, определяемого соотношением Р(х,у) = О, попавшая в окрестность 1 = 1, х 11, точки (хо, уо), является графиком некоторой функции 1: 1, -+ 1„ класса С~Р~(Х,; 1„). Иначе можно сказать, что в пределах окрестности 1 точки (хо,ув) уравнение 11'(х, у) = О однозначно разрешимо относительно у, а функция у = 1(х) является этим решением, т. е. Р(х, 1(х)):— О на Х,. Отсюда в свою очередь следует, что если у = 1(х) — функция, определенная на 1„про которую известно, что она удовлетворяет соотношению 11'(х, Х (х) )—: =— О на 1, и что 1(хв) = уо, то при условии непрерывности этой функции в точке хо Е 1, можно утверждать, что найдется окрестность Ь С 1, точки хо такаЯ, что ~(Ь) С 1» и тогда 1(х) = 1(х) пРи х Е Ь.
Без предположения непрерывности функции 1 в точке хо и условия 1(хо) = = уо последнее заключение могло бы оказаться неправильным, что видно на уже разобранном выше примере с окружностью. Теперь докажем утверждение 1. ~ Пусть для определенности Рд(хо, уо) > О. Поскольку Р Е С~ц(ХХ; К), то Х"„'(х, у) > О также в некоторой окрестности точки (хо, уо). Чтобы не вводить з 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ новых обозначений, без ограничения общности можно считать, что Г„'(х, р) ) > О в любой точке исходной окрестности ХХ(х0, р0). Более того, уменьшая, если нужно, окрестность ХХ(х0, ре), можно считать ее кругом некоторого радиуса т = 2~3 ) О с центром в точке (х0, у0). Поскольку Р„'(х, р) ) О в ХХ, то функция Р(х0, р) от р определена и монотонно возрастает на отрезке у0 —,8 < р < р0 +,3, следовательно, Х'(х0 Ро — Р) < Р(хо Ро) = О < 1'(хо Уо + Р).
В силу непрерывности функции Г в ХХ, найдется положительное число а < ~3 такое, что при ~х — хо~ < а будут выполнены соотношения Р(х, цо — Р) < О < Их, ц0 + ~3). Покажем теперь, что прямоугольник 1 = 1, х Хя, где Хх = (х Е М. ~ ~х — хо] < о), Хя = (9 б К ~ ~у — 90! < Р), является искомым двумерным промежутком, в котором выполняется соотношение (4). При каждом х е 1, фиксируем вертикальный отрезок с концами (х, р0 — ~3), (х, р0 + ~3). Рассматривая на нем Г(х, р) как функцию от у, мы получаем строго возрастающую непрерывную функцию, принимающую значения разных знаков на концах отрезка.
Следовательно, при х Е 1 найдется единственная точка р(х) Е 1я такая, что Х'"(х, у(х)) = О. Полагая у(х) = 1(х), мы приходим к соотношению (4). Теперь установим, что 1 Е С®(1~; 1„). Покажем сначала, что функция 1 непрерывна в точке х0 и что 1(х0) = р0. Последнее равенство, очевидно, вытекает из того, что при х = х0 имеется единственная точка у(х0) Е 1я такая, что Р(хо, р(х0)) = О.
Вместе с тем по условию Р(хе, р0) = О, поэтому ~(хе) = у0. Фиксировав число е, О < е < Д, мы можем повторить доказательство существования функции 7'(х) и найти число О, О < б < а, так, что в двумерном промежутке 1 = Х, х 1„, где 1, р (х Е Ж ~ ~х — х0~ < б), Хя — — (р Е Ж ~ ~у — ро~ < Г~, будет выполнено соотношение (Р(х, у) = О в 1) ~=~ (р = Дх), х Е 1~) с некоторой вновь найденной функцией 1: 1, -+ 1„. Но 1, С 1„1„С 1„и 1 С 1, поэтому из (4) и (б) следует, что Дх) = Дх) при х Е 1 С 7,. Тем самым проверено, что ~У(х) — 1(х0)~ = Щх) — у0~ < я при ~х — хо~ < 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
