В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 95
Текст из файла (страница 95)
об ГЛ. ~111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ О = Р(х+ Ьх,Х(х+ Ьх)) — Р(х,1(х)) = = Р(х + Ьх, р + Лр) — Р(х, р) = = Р'(х+В1Ъх, р+Вйр)йх+Р„'(х+ВЬх, р+Вйр)йр (О < В < 1), откуда, учитывая, что Р„'(х, р) ф О в 1, получаем Ьу Р(х+ В1'.1х, р+ ВЬр) г Р„(х+ ВЬ*, р+ Вар) (7) Поскольку Х Е С(1,; Хя), то при Ьх -+ О также Ьр -+ О и, учитывая, что Р Е С1'>(У; Ж), из (7) в пределе при Ьх -+ О получаем у~( ) Рх(~~ р) Р( )' где р = 1(х).
Тем самым формула (5) установлена. В силу теоремы о непрерывности композиции функций, из формулы (5) вытекает, что 1 Е С~~~(1,; Хд). Если Р б С®(У; й), то правая часть формулы (5) допускает дифференцирование по х и мы находим, что (5') где Р', Р„', Р,"„Р,"„, Р„"„вычисляются в точке (х, Х(х)). Таким образом, 1 Е С®(1,; Хд), если Р Е С®(У; К).
Поскольку порядок производных от 1, входящих в правую часть соотношений (5), (5') и т. д., на единицу ниже,чем порядок производной от 1, стоящей в левой части равенства, то по индукции получаем, что 1 Е С®(1~; 1,,), если Р Е С®(ХХ; Й). В~ Пример 1. Вернемся к рассмотренному вьппе соотношению (1), задающему окружность в К2, и проверим на этом примере утверждение 1. Мы установили непрерывность функции 1 в точке хе.
Но любая точка (х, р) б Х, в которой Р(х, р) = О, также может быть принята в качестве исходной точки построения, ибо в ней выполнены условия 2', 3'. Выполнив это построение в пределах промежутка 1, мы бы в силу (4) вновь пришли к соответствующей части функции 1, рассматриваемой в окрестности точки х. Значит, функция 1 непрерывна в точке х. Таким образом, установлено, что У б С(1~1„). Покажем теперь, что Х б С<ц(1~; 1„), и установим формулу (5). Пусть число Ьх таково, что х+ Ьх 6 1',, Пусть р = 1(х) и р+ Ьр = = 1(х + Ьх). Применяя в пределах промежутка 1 к функции Р(х, р) теорему о среднем, находим,что $5. теоремА О неяВКОЙ Функции В данном случае Г(х,р) = х~+р~ — 1 и очевидно, что Р (= Ст'О) (Й~; Ж). Далее, Р,'(х,р) = 2х, Р„(х,р) = 2р, поэтому Г„'(х, р) у~ О, если р ф О.
Таким образом, в силу утверждения 1, для любой точки (хо, ро) данной окружности, отличной от точек (-1,0), (1,0), найдется такая окрестность, что попадающая в нее дуга окружности может быть записана в виде р = ~(х). Непосредственное вычисление подтверждает етп, причем Дх) = с/Т вЂ” е> или У(х) = — >сà — х>. Далее, в силу утверждения 1, ~'(хо ро) хо Р„'(хо> ро) ро Непосредственное вычисление дает если Дх) = »'Т:х', >/à — х> ~'(х) = если Дх) = -»Т-х' ~/Т вЂ” х> что можно записать одним выражением вычисление по которому приводит к тому же результату У(хо) =- — > ро что и вычисление по формуле (8), полученной из утверждения 1. Важно заметить, что формула (5) или (8) позволяет вычислять ~'(х), даже не располагая явным выражением зависимости р = ~(х), если нам только известно, что Дхо) = ро.
Задание же условия ро = Дхо) необходимо для выделения той порции линии уровня Р(х, р) = О, которую мы намереваемся представить в виде р = Дх). На примере окружности видно, что задание только координаты хо еще не определяет дугу окружности и, только фиксировав ро, мы выделяем одну из двух возможных в данном случае дуг. 3. Переход к случаю зависимости К(х1,..., х~, у) = О. Простым обобщением утверждения 1 на случай зависимости Г(хт,..., х»>, р) = 0 является следующее утверждение, 478 ГЛ, У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Утверждение 2. Если функция.г': 1.>' -+ К, определенная в окрестно- сти У С Ж"'+1 точки (хо, уо) = (хо~>...
> хр', уо) Е Ж"'+1, тпакова, чтпо 1 К~С®(11;Ж), р>1, 2' Р'(хо,уо) =Р(х~о, >хо уо) =О, '~у(хо уо) = Ру(хО ' ' > хо™ уо) Ф О> тпо существуют (т+ 1)-мерный промежутпок 1 = 1™ х 11, где 1. = (х = (х', ..., х™) Е Ж™ ~ ~х'- х,'~ ( с '> 1 = 1, ... > т), 1„' = (у Е Ж!!у — уо! (,д), являющийся лежащей в У окрестностпью тпочки (хо,уо), и такая функция 1 б С® (1~; 1~~), что для любой точки (х, у) Е 1, х 11 Р(х1,..., х~, у) = О ~=Ь у = т(Х1,..., х ), причем частные производные функции у = 1(х1,..., х"') в точках 1 могут быть вычислены по формуле (10) ~1 Доказательство существования промежутка 1~+1 = 1~ х 1;1„функции у = 1(х) = 1(х~,..., х™) и ее непрерывности в 1,"' дословно повторяет соответствующие части доказательства утверждения 1, с единственным изменением, которое сводится к тому, что теперь под символом х надо понимать набор (х',..., х"'), а под символом а — набор (а1,..., а™).
Если теперь в функциях г'(х1,..., х~, у) и 1(х1,..., х ) фиксировать все переменные, кроме х' и у, то мы окажемся в условиях утверждения 1, где на сей раз роль х выполняет переменная х'. Отсюда следует справедливость формулы (10). Из этой формулы видно, что —, Е С(1,"',11) (1 = 1,..., т), т. е. 1 >= С®(1,"', 11).
Рассуждая, как и при доказательстве утверждения 1, по индукции устанавливаем, что 1 б С~"~(1,"', 1„'), коль скоро К 1= С®(У; Ж). ~ Пример 2. Предположим, что функция г: С -+ Ж определена в области 0 С Ж и принадлежит классу С~Ц(С;К). Пусть хо —— (хо1,...,хо™) Е С и 1"(хо) = 1"(х~о,..., хо™) = О. Если хо не является критическои точкой функции Р, то хотя бы одна из частных производных функции 1т в точке хо отлична от нуля. Пусть, например, — (хо) ф О. др' Тогда, в силу утверждения 2, в некоторой окрестности точки хо подмножество Ж"', задаваемое уравнением г'(х1,..., х™) = О, может быть задано как график некоторой функции х™ = 1(х1, ..., х™ 1), определенной в окрестности точки (хо, ...,хо ) е К~ 1, непрерывно дифференцируемой в.этой окрестности и такой, что 1(хо1,..., хо ) = хо~.
$5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 479 Таким образом, в окрестности некритической точки хо функции г уравнение Р'(х1, ..., х'") = О задает (т — 1)-мерную поверхность. В частности, в случае Жз уравнение г'(х,р,л) = О = У(х, р). Как мы знаем, уравнение плоскости, касательной к графику этой функции в точке (хо, ро, ло), имеет вид — о = †(хо,ро)(х — хо) + †(хо ро)(р — ро) дУ дУ дх ар Но по формуле (10) ау к„(х„р„.„) — (хо ро) =— др ' ~". (хо> ро> яо) ' Ю > ъ ~>~~(хо> ро> яо) — (хо ро) =— а ' ' ' к,(х„р„;)' поэтому уравнение касательной плоскости можно переписать в виде г (хо ро ~о)(х — хо) + ~'„(хо ро ~о)(р — ро) + ~,(хо>ро>~о)(~ — яо) = О> симметричном относительно переменных х, р, я.
Аналогично и в общем случае получаем уравнение е> ~,>(хо)(х — хо) = О гиперплоскости в Ж~, касательной в точке хо = (хо1,..., хо™) к поверхности, задаваемой уравнением К(х1,..., х"') = О (разумеется, при условии, что г (хо) = О и что хо — некритическая точка К). Из полученных уравнений видно, что при наличии евклидовой структуры в и.'>' можно утверждать, что вектор 6га4~Чхо) = ~ — — ~(*о) гак ак ~ ~ах~ ' ' ' ' ' дх™~ ортогонален поверхности г-уровня Г(х) = г функции г' в соответствующей точке хо 6 И в окрестности некритической точки (хо, ро, ~о), удовлетворяющей ему, задает аг двумерную поверхность, которая при выполнении условия — (хо, ро, ао) Ф О локально может быть записана в виде 480 ГЛ- УН1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Например, для функции г 2,2 .г'(х,у,г) = — + — + —, аг Ьг сг ' определенной в Жг, г-уровнем являются: пустое множество при г ( О; точка при Г = О; эллипсоид х2 2,2 — + — + — =Г ог Ьг сг при Г > О.
Если (хо, уо,го) — точка на этом эллипсоиде, то по доказанному вектор Р'АР'(хо|уо,го) = ~ — ~ — з — ~ /2хо 2уо 2го~ 2 ' Ь2 ' с2 ортогонален этому зллипсоиду в точке (хо, уо, го), а касательная к нему в этой точке плоскость имеет уравнение хо(х хо) уо(у уо) го(г го) а + + — О, Ь с которое с учетом того, что точка (хо, уо, го) лежит на эллипсоиде, можно переписать в виде хох уоу аког — + — + — =Г Ьг с2 4. Теорема о неявной функции. Теперь перейдем к общему случаю системы уравнений Р'1 (х1,..., х"', У1,..., у") = О, Р ~ (х1,..., х~", У1,..., у") = О, которую мы будем решать относительно У1,..., у", т. е.
искать локально экви- валентную системе (11) систему функциональных связей 1 у1( 1--- ~тв) (12) в ув( 1 та) Для краткости, удобства письма и ясности формулировок условимся, что х = (х',..., х ), у = (У1,..., у"); левую часть системы (11) будем записывать как К(х, у), систему (11) как Е(х, у) = О, а отображение (12) как у = ~(х). Если 1 тв 1 а хо = (хо, "., хо ), уо = (уо, ", уо)~ а = (а',..., а ), 8 = (А..., Р"), то запись ~х — хо~ ( а или ~у — уо~ (,В будет означать, что ~х' — хо~ ( а' (1 = 1,..., т) и, соответственно, ~У1 — уф (,Ф (г = 1,..., и).
$ Ь, ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ «РУНКЦИИ Далее положим дХ' д~' д*' дх'" Х' (х) = . (х), д~" д~" дх' ' ' дх'" ог' оя' дх1 ' ' ' дх»> ° ° ° ° ° " " ° (х,у), ДРи дХ«>> дх1 дх ~",(х,у) = М' дХ1 ду "* ду- Г„'(х, у) = (х, у). др»>, дрта ду " ду- (15) Х~ = (х (= Ж~ ~ ~х — хо! < а)> Х„" = 9 (= 1~"! Ь вЂ” уо! < ® и такое отпображение Х" Е С(Р) (Х""; Х„"), чтпо для любой тпонки (х, у) Е Х™ х Х,", .г'(х,у) = 0 ~=~ у = Х(х), Х'(х) — ~Х '(х Х(х))~ ~Е'(х Х(х))1 (16) причем (17) ~ Доказательство теоремы будет опираться на утверждение 2 и простейшие свойства определителей. Разобьем его на отдельные этапы. Будем рассуждать методом индукции.
При п = 1 теорема совпадает с утверждением 2 и потому верна. Заметим, что матрица Е„'(х, у) квадратная и, следовательно, она обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. В случае и = 1 она сводится к единственному элементу и в этом случае обратимость матри- цы Х"„'(х, у) равносильна тому, что этот единственный ее элемент отличен от нуля.
Матрицу, обратную к Х'„'(х, у), будем, как обычно, обозначать символом ~К„'(х, у)~ Теперь сформулируем основной результат параграфа. Теорема (о неявной функции). Если отпображение Е: ХХ-+ 1Г, опреде- ленное в окрестпностпи ХХ точка (хо, уо) б Й'»+", тпаково, чтпо 1о Х; ~ С(~)(тт. у») 2 г"(хо уо) =О, 3 Е„'(хо > уо) — обратпимая матприца, тпо сущестпвуютп (тп + и)-мерный промежутпок Х = Х'" х Х„" С ХХ, где ГЛ. М11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 482 Г"(х~,...,х~,у~, ...,уп) =0 утверждение 2, найдем промежуток Х1+" = (1~~ х 1,", ') х 11 С У и такую функцию Х Е С® (Х,'" х Х„" ', 1„'), что (Р (Х1,...,Х 1,у1,...,уп) =О В Х + ) Ф-"Ф ( и у( 1 зп 1 и-1) (18) (х,...,х ) 61х ъ (у э...,у" ) 4=1у ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
