В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 97
Текст из файла (страница 97)
УШ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ь) Покажите, что если при х Е 1~ найдутся точки уь, уо Е 1„" такие, что Г(х, у~) = = О и Г(х,у2) = О, то для каждого «Е (1, ..., н) найдется такая точка (х,у;), лежащая на отрезке с концами (х, у~), (х, уо), что Г„'(х, у;) (у» — у~) = О (« = 1, ..., п), Покажите, что отсюда следует, что у~ = у«, т. е. если неявная функция 1: 1™ -» 1„" существует, то она единственна, с) Покажите, что если шар В(уо,т) лежит в 1»", то Г(хо, у) ~Е О при ~~у — уоЦ„= = т > О. Й) Функция ЙГ(хо,у)~~ц„непрерывна и имеет положительный минимум ~и на сфере Йу — уоЙ .=т. е) Существует о ) О такое, что при Йх — хоЙв < о (х'у)~~в" г~' ИГ(х уНв.
< гФ, если у = уо. 1) При любом фиксированном х таком, что йх — хоЙ < о, функция ЙГ(х, уНв„ Достигает минимУма в некотоРой внУтРенней точке У = 1(х) шаРа ЙУ вЂ” УоЙв„< т, и поскольку матрица Г„'(х, 1(х)) обратима, то Г(х, 1(х)) = О. Этим устанавливается существование неявной функции 1: В(хо, о) -+ В(уо, т). я) Если Ьу = 1(х + Ьх) — 1(х), то Ьу= — ИГЛ ' Влх, где Г„' — матрица, строками которой являются векторы Г„'(х;,у;) (« = 1, ...,и), где (х;, у;) — соответствующая точка на отрезке с концами (х, у), (х + Ьх, у + Ьу).
Аналогичный смысл имеет символ Р'. Покажите, что из этого соотношения следует непрерывность функции у = 1(х). И) Покажите, что ~'(х) = — ~ГГ(х,Дх))~ ' (Г,'(х,7(х))). 5. «Если 1(х, у, х) = О, то — — . — = — 1». ду дх ду дх дя а) Придайте точный смысл этому высказыванию. Ь) Проверьте его справедливость на примере формулы Клапейрона Р У вЂ” = сопвФ Т и в общем случае функции трех переменных. с) Как выглядит аналогичное высказывание для соотношения 1(х~,..., х ) = О между т переменными? Проверьте его справедливость.
6. Покажите, что корни уравнения х" +с~»" +...+с =О гладко зависят от его коэффициентов, во всяком случае, пока все корни различны. 5 6. следстВия теОремы О неяВнОЙ Функции 489 З 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции 1. Теорема об обратной функции Определение 1. Отображение ~: У -+ У, где У и 1~ — открытые подмножества в Ж~, называется С®-диффеоморфизмом или диффеоморфизмом гладкости р (р = О, 1,... ), если 1) У е С®(У;Ъ'); 2) ~ — биекция; 3) У- ЕС~Р)(~,Ц.
С ®-диффеоморфизмы называют гомеоморфизмами. Здесь мы, как правило, будем рассматривать только гладкий случай, т. е. случай р Е 1Ч или р = оо. Следующая часто используемая теорема в идейном плане утверждает, что если дифференциал отображения обратим в точке, то само отображение обратимо в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 1 (теорема об обратной функции). Если отображение ~: 6 -+ -+ Ж~ области 6' С Ж™ таково, что 1 У Е С®(6;Ж™), р >~ 1, 2' уо — — ~(хо) при хо Е 6 3' Г(хо) обратимо, то существуют окрестность У(хо) С 0 точки хо и окрестность У(уо) точки уо такие, что ~: У(хо) -+ Ъ'(уо) есть С®-диффеоморфизм, При этом если х Е У(хо) и у = ~(х) Е У(уо), то (~ ) (у) = (~'(х)) ~ Соотношение у = Дх) перепишем в виде Р(х, у) = Дх) — у = О.
Функция Р(х, у) = ~(х) — у определена при х б 6 и у е Ж~, т. е. определена в окрестности С х Ж~ точки (хо, уо) е Ж'" х Ж~. Мы хотим разрешить уравнение (1) относительно х в некоторой окрестности точки (хо, уо). В силу условий 1', 2', 3 теоремы отображение Е(х, у) таково, что Р ~ С ® (6' х Ж™; Ж™), р > 1, ~'(хоз уо) = Оз Р" (хо, уо) = ~'(хо) обратимо. ГЛ, УН1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ По теореме о неявной функции найдутся окрестность 1, х 1„точки (хо, уо) и отображение д Е С®(Хд, .Х,) такие, что для любой точки (х, р) Е 1, х Х„ Дх) — у,= О с-.~ х = д(р) и В нашем случае Р,'(х,р) = Х'(х), ~е(х, р) = — Е, где Š— единичная матрица; поэтому (3) Если положить Ъ' = 1„и У = д(11), то соотношение (2) показывает, что отображения Х: У -+ У и д: У -+ У взаимно обратны, т.
е. д = Х 1 на У'. Поскольку У = Х„, то У вЂ” окрестность точки ро. Это означает, что при УсловиЯх 1', 2', 3' обРаз Уо —— Х(хо) точки хо Е 1, внУтРенней ДлЯ О, ЯвлЯетсЯ точкой, внутренней для образа Х(0) множества О. В силу формулы (3) матрица д'(ро) обратима. Значит, отображение д: У -+ У обладает свойствами 1', 2', 3' относительно области 1~ и точки уо Е Ъ".
Тогда по уже доказанному хо —— дЬо) — внутренняя точка множества ХХ = д(У). Поскольку условия 1', 2', 3' в силу формулы (3), очевидно, выполнены в любой точке у Е 11, то любая точка х = д(у) является внутренней точкой множества У. Таким образом, У вЂ” открытая (и, очевидно, даже связная) окрестность точки хо в Й~. Теперь проверено, что отображение Х: У -+ У удовлетворяет всем условиям определения 1 и утверждению теоремы 1. ° Приведем несколько примеров, иллюстрирующих теорему 1.
Очень часто теорема об обратной функции используется при переходе от одной системы координат к другой системе координат. Простейший вариант такого преобразования координат рассматривался в аналитической геометрии и линейной алгебре и имел вид 1 а1 1... а1„х1 дай а'" ... а™ х~ 1 ''' т или, в компактной записи, рХ = а~1х'. Это линейное преобразование А: Щ' -+ -+ 21, имеет обратное А 1: к™, -~ й,, определенное во всем пространстве 31~, тогда и только тогда, когда матрица (а~1) обратима, т.
е. при условии, что ЙеС(а~1) ф О. Теорема об обратной функции является локальным вариантом этого утверждения, опирающимся на то обстоятельство, что гладкое отображение в ма- 1 6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 491 лой окрестности точки ведет себя примерно так же, как его дифферейциал в этой точке. Пример 1. Полярные координаты. Отображение ~: Ж~+ + К2 полуплоскости й+ — — 1(р, ~р) Е йз ~ р > О) на плоскость й~, задаваемое формулами х = р соз <р„ р = рзшу, (4) проиллюстрировано на рис. 57. 9 я 2 Рис. 57 Якобиан этого отображения, как нетрудно подсчитать, равен р, т.
е. отличен от нуля в окрестности любой точки (р, ~р), где р > О. Таким образом, формулы (4) локально обратимы и, значит, локально числа р, у.могут быть приняты в качестве новых координат точки, которую раньше задавали декартовы координаты х, у.
Координаты (р, <р) являются хорошо известной системой криволинейных координат на плоскости — это полярные координаты. Их геометрический смысл виден из рис. 57. Отметим, что в силу периодичности функций созе, яп ~р отображение (4) при р > О только локально диффеоморфно, а во всей этой области оно не является биективным, Именно поэтому переход от декартовых координат к полярным всегда сопровождается выбором ветви (т.
е. указанием диапазона изменения) аргумента ~р. Полярные координаты (р, ф, <р) в трехмерном пространстве Йз называют сферическими координатами. Они связаны с декартовыми координатами формулами з = рсозф, (5) у = раша зшу, х = р з1п ф соз <р. Рис. 58 Геометрический смысл параметров р, ф, ~р показан на рис. 58. Якобиан отображения (5) равен ри зш ф и в силу теоремы 1 преобразование (5) обратимо в окрестности любой точки (р, ф, <р), в которой р > О и яп Ф ф О. 17 Зорич В. Л. ГЛ. УП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Множествам, где р = сопМ, д = сопз1 или ф = сопзФ, в пространстве (х,у,2), очевидно, отвечают соответственно сферическая поверхность (на сфере радиуса р), полуплоскость, проходящая через ось 2, и поверхность конуса с осью 2.
Таким образом, при переходе от координат (х, у, г) к координатам (р, 1р, ~р), например, сферическая поверхность и поверхность конуса локально распрямляются: им соответствуют куски плоскостей р = сопзС и ф = сопМ соответственно, Аналогичное явление мы наблюдали и в двумерном случае, когда дуге окружности на плоскости (х, у) отвечал отрезок прямой на плоскости с координатами (р, ~р) (см.
рис. 57). Обратите внимание на то, что это именно локальное выпрямление. В т-мерном случае полярные координаты вводятся соотношениями х = рсозу1, 1 х = рз1п<р1 соз<р2, 2 (5') х~ ' = рз1пу1 вша ... зш~р,„2соз<р„, 1, х = рзш<р1зш~р2 ° вша,~, 2 вшу~„, 1, Якобиан этого преобразования равен р зш ф1 з1п ф2 ° ° .
81п ц)тп-2 и в силу теоремы 1 оно тоже локально обратимо всюду, где этот якобиан отличен от нуля. Пример 2. Общая идем локальиоео выпрямления кривых. Новые координаты обычно вводят с целью упростить аналитическую запись объектов, участвующих в задаче, и сделать их более обозримыми в этой новой записи. Пусть, например, на плоскости Й2 некоторая кривая задана уравнением г'(х, у) = О. Пусть à — гладкая функция, а точка (хо, уо) такова, что она лежит на кривой, т. е. г'(хо, уо) = О, и не является критической точкой функции Р, например, пусть Р„(хд, уо) ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
