В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 96
Текст из файла (страница 96)
с) Подставляя найденное выражение уп = 1(х, у', ..., у" ') переменной уп в первые и — 1 уравнений системы (11), получим и — 1 соотношений Ф1( 1 ~в 1 п-1) . = К1(Х1, ...,Х,у', ...,у"-1,у(Х1,...,Х,у',..., уп-')) = О, Фп-1( 1 ев 1 п-1) . Х в у1 уп-1. У(Х1 Хш у1 уп-1)) Видно, что Ф' Е С®(Х, х Х„" '; Й) (ъ = 1, ..., и — 1), причем Ф'(хо,..., хо, Й,..., уо ') = 0 (1 = 1, ..., и — 1), ибо У(х~о,..., хо, уД,..., уо 1) = уо и Р(хо, уо) = 0 (1 = 1, " и).
В силу определения функций Ф» (й = 1,..., и — 1), дФ» д1'"» дР» дУ вЂ”. = —. + — . —. (1, й = 1, ..., и — 1). ду1 ду1 дуп ду» (20) Положив еще Ф"(х,...,х~,у, п-1), уп( 1 1в 1 п-1 у( 1 пв 1 п — 1)) Пусть теорема справедлива для размерности и-1. Покажем, что она тогда справедлива и для размерности и. а) В силу условия 3', определитель матрицы (15) отличен от нуля в точке (хо, уо) е К~+", а значит, и в некоторой окрестности точки (хо, уо). Следовательно, по крайней мере один элемент последней строки этой матрицы отличен от нуля.
С точностью до перемены обозначений можно считать, что дУп таким является элемент —. дуп Ь) Применяя тогда к соотношению 5 $. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 483 в силу (18) получаем, что в области своего определения Ф": — О, поэтому д Ф» д$'и дф'в Я вЂ” — + — —.
= О (1 = 1,..., и — 1). (21) ду' ду' ду" ду' Учитывая соотношения (20), (21) и свойства определителей, можно заметить, что определитель матрицы (15) равен определителю матрицы И' И' дХ дг' дК' дУ И' др1 дуп др1 ''' дрп-1 дрп дрв-1 дрп дР" дР" д~ дГ" дЕ" д,1 дР" др1 дуп др1 ' ' дрп-1 Дуп др»-1 дрп дф1 дф' дР' др1 ' дрп-1 дуп дфп-1 дфп-1 дрп-1 др1 ' ' дрп-1 др» 0 ... О дР" др» дРп По предположению, — ~~ О, а определитель матрицы (15) по условию отличен от нуля. Следовательно, в некоторой окрестности точки (х~1,..., х~~, у',, у,", 1) отличен от нуля и определитель матрицы дф' дф' др' ' ' дрп-' (х ° ' у ° у ). дфп-1 дфп 1 др1 ' ' ду»-1 Тогда по предположению индукции найдутся промежуток Х'"+" ' = 1™ х х1„" 1 С Х, хХ,", ',являющийсяокрестностьюточки(хо1, ...,хо™,уо,...,у,", 1) в й'и+в 1, и такое отображение 1 1= СО')(1,; Х„" 1), что в пределах промежутка Х"'+" 1 = 1,'" х Х„" 1 система (19) равносильна соотношениям у1 = у1(Х1 .
Х'в), (22) у" 1 = уа 1(Х1,..., Х"'), й) Так как 1„" ' С 1„" 1, а 1', С Х™, то, подставляя 11, ..., 1" 1 из (22) вместо соответствующих переменных в функцию у" = 1(х1,..., х"', у',..., у" ') иэ соотношения (18), получаем зависимость у" = 1"(х,...,х ) (23) переменной у" от (х1, ..., х'"). 484 ГЛ. У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ е) Покажем теперь, что система равенств р' = У1(х1, ..., х'"), хЕХ~, в ув( 1 т) К(х,Х(х)) яО, если х б 1, .
В координатах это означает, что в области 1™ Р~(~1,...,х, ~1(х1,...,х™)... ~"(х1,...,х )) = О (й = 1,..., ). (25) Поскольку Х Е С®(1,"', 1„") и Х" Е С~"~(ХХ;3Г), где р ) 1, то г'(., Х( )) б б С<Р>(1,; К") и, дифференцируя тождества (25), получаем ая'," и' ау —, + 7 —. —. = О (й = ~,..., и; х = ~, ..., т). дх1 ~-~ дуз Дх1 1=1 (26) Соотношения (26), очевидно, равносильны одному матричному равенству Р (х,у)+Р'„'(х,у).Х'(х) = О, в котором 11 = У(х). Учитывая обратимость матрицы К„'(х, у) в окрестности точки (х0, у0), из этого равенства получаем,что ~'(х) = — ~Х"„'(х, Х(х))~ ~Г,'(х, Х(х))~, и теорема полностью доказана. в задающая отображение Х Е С®(1~~; 1„"), где 11 = Х,", ' х Х„', равносильна в пределах окрестности 1 +" = 1,"' х 1„" системе уравнений (11).
В самом деле, сначала мы в пределах Р"+" = (1, х Х,", 1) х Х1 заменили последнее уравнение исходной системы (11) эквивалентным ему, в силу (18), равенством у" = Х(х,у1,..., р" '). От так полученной второй системы мы перешли к равносильной ей третьей системе, заменив в первых а — 1 уравнениях переменную р" на Х (х, у1,..., у" 1). Первые п-1 уравнений (19) третьей системы мы в пределах Х™ х Х„" 1 С 1, х Х,", ' заменили равносильными им соотношениями (22). Тем самым получили четвертую систему, после чего перешли к равносильной ей в пределах Х, х 1,", ' х Х1 = Р"+" окончательной системе (24), заменив в последнем уравнении р" = х(х1,...,х"', у1,..., р" 1) четвертой системы переменные у1,..., р" 1 их выражениями (22) и получив в качестве последнего уравнения соотношение (23). Е) Для завершения доказательства теоремы остается проверить формулу (17).
Поскольку в окрестности 1™ х Х,", точки (х0, у0) системы (11) и (12) равносильны, то г 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 485 Задачи и упражнения (Р'**Р'о — 2 Р'хдР*Рд + Р„"„Р~ )(хо, уо) = О. с) Найдите формулу для кривизны кривой в точке (хо, уо). 2. Преобразование Лежандра для нг переменных. Преобразование Лежандра от переменных х1, ..., х и функции у(х', ..., х ) есть переход к новым переменным С1,..., ( и функции ~'(~1,..., ( ), задаваемый соотношениями 6= —.(х, --,* ) ( =1,"., ), Ю 1 т дх' гав (~1~ ° ° ° ~ ) = ~~» ~'х — у(х ..., х ).
(27) а) Дайте геометрическую интерпретацию преобразования (27) Лежандра как перехода от координат (х, ..., х™, у(х',..., х )) точки на графике функции «(х) к параметрам (6,, 6., 1'(6,..., ~ )), задающим уравнение плоскости, касательной к графику в этой точке. Ь) Покажите, что преобразование Лежандра локально заведомо возможно, если у Е С«г) и Де~ ~ ~ О О~У ~ дх'дхг с) Используя для функции у(х) = у(х1,..., х ) то же определение выпуклости, что и в одномерном случае (подразумевая теперь под х вектор (х, ..., х'") Е Ж ), покажите, что преобразованием Лежандра выпуклой функции является выпуклая функция. Й) Покажите, что «У' = ~ х'<, + ~ ~,д ' — аУ = ~ х'дЬ, а=1 з=1 ~ж1 н выведите отсюда инволютнвность преобразования Лежандра, т.
е. проверьте, что (у')'(х) = у(х). е) Учитывая й), запишите преобразование (27) в симметричном относительно переменных виде у ®,...,~ )+у(х,...,х )=~» (;х', в=1 '= — (6" с ) ду' д$ (28) $ = —,. (х, ..., х™), дУ 1. На плоскости Кг с коордннатамн х, у соотношением г'(х,у) = О, где г' Е Е С «~~ (й~, Ж), задана кривая. Пусть (хо, уо) — некритическая точка функции г (х, у), лежащая на кривой. а) Напишите уравнение касательной к этой кривой в точке (хо, уо). Ь) Покажите, что если (хо, уо) — точка перегиба кривой, то в этой точке выполняется равенство ГЛ. У111.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 48б нли,короче,в виде ~'(~) + ~(х) = (х, ( = ~7~(х), х = ~7~'((), где Ч~(х) = ~ —,..., — ) (х), / ду дУ 1 ~ дх' ' ' ' ' ' дх'" ) 1) Матрицу, составленную нз частных производных второго порядка функции (а иногда и определитель этой матрицы), называют гессианом функции в данной д~ д~' Пусть А,. и Н;" — алгебраические дополнения элементов, — гессианов дх'д ~' або~у функций у(х) и У'(4), а И и д' — определители этих матриц.
Считая, что И 16 О, покажите, что И И' = 1 и что д.,д., (х) = фЫ), .д (О = +х) щж~. 8) Мыльная пленка, натянутая на проволочный контур, образует так называемую минимальную поверхность, имеюшую наименьшую площадь среди всех поверхностей, натянутых на этот контур. Если локально задать зту поверхность как график функции л = у(х, у), то, оказывается, функция 1 должна удовлетворять следующему уравнению минимальных, поверхностей: (1+ ~', )у", — 21 ~я~,"„+ (1+ ~, )~„'„= О. Покажите, что после преобразования Лежандра это уравнение приводится к виду (1+ 1') ~„'„"+ 2йф'+ (1+ ~') Я' = О.
3. Канонические переменные и систпема уравнений ГамилыпзонаЦ. а) В вариационном исчислении и фундаментальных принципах классической механики важную роль играет следующая система уравнений Эйлера — Лагранжа: — + — — ) (1,х,и) = О, < дЬ Н дЬ~ д ад) (29) и = х(з), Ц У. Р. Гамильтон (1805 — 1865) — знаменитый ирландский математик и механик. Сформулировал вариационный принцип (принцип Гамильтона), построил феноменологическую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родоначальник векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин евекторэ). д'У д'у дх'дх' ''' дх'дх'" (х) дз~ д~у дх'"дх' ''' дх'"дх'" дз~~ дз~Ф д41д6 ''' д4'1д4 И) дз~~ дзу ~ даждь, ' д~д~ $ $. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ где Ь($, х, и) — заданная функция переменных $, х, и, среди которых Ф обычно является временем, х — координатой, а и — скоростью.
Систему (29) составляют два соотношения на три переменные. Из системы (29) обычно желают найти зависимости х = х(Ф) и и = и(Ф), что по существу сводится к отысканию зависимости х = х(т), ибо и = — „. ох й Запишите подробно первое уравнение системы (29), раскрыв производную — „ с учетом того, что х = х($) и е = и(Ф). Ь) Покажите, что если от переменных 1, х, и, Ь перейти к так называемым каноническим переменным 1, х, р, Н, сделав преобразование Лежандра (см. задачу 2) дЬ де' по переменным и, Ь, заменяя их на переменные р, Н, то система Эйлера — Лагранжа (29) приобретает симметричный вид дН Р— дх ' дН х — — ) др' (30) в котором она называется систпемой уравнений Гамильтпона.
с) В многомерном случае, когда Ь = Ь(т, х1,, х~, и',..., и™), система уравнений Эйлера — Лагранжа имеет вид —. + — —.~(8,х,и) = О, с дБ Н дЬ~ дж' сй ди',т' (31) и' = ж'($) (т =1,...,тп), дН х' =— дрВ дН Рв = — — ~ дх' ' (ъ = 1, ..., тп). (32) 4.
Теорема о неявной функции. Решение этой задачи дает другое, быть может, менее наглядное и эффективное, но более короткое в сравнении с изложенным выше доказательство основной теоремы настоящего параграфа. а) Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции, и пусть ~дг ' дг" ~ — т-я строка матрицы Е„'(х, у). Покажите что определитель матрицы составленной из векторов г'„'(х;, у ) отличен от нуля, если все точки (х,, у;) (т = 1, ..., и) лежат в некоторой достаточно малой окрестности У = 1, х 1,", точки (хо, уо). где для краткости положено х = (х', ..., х'"), и = (и~, ..., и ). Сделав преобразование Лежандра по переменным и~, ..., и, Ь, перейдите от переменных $, х~, ..., х, и~, ..., и, Х к каноническим переменным $, х, ..., х р1, ..., р, Н и покажите, что в них система (31) перейдет в следующую систему ,уравнений Гамильтона: 488 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
