В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 100
Текст из файла (страница 100)
~ 505 г 6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Задачи и упражнении 1. Вычислите якобиан перехода (6) от полярных координат к декартовым координатам в К 2. а) Пусть хо — некритическая точка гладкой функции г: У -+ К, определенной в окрестности с' точки хо — — (хо1, ..., хо™) Е К . Покажите, что в некоторой окрестности У С У точки хо можно так ввести криволинейные координаты (~,..., (~), что множество точек, выделяемое условием г'(х) = г'(хо), в этих новых координатах будет задаваться уравнением ~ = О.
Ъ) Пусть <р, ф е С~~~(Р;К) и пусть в области Р (<р(х) = 0) =~ (ф(х) = 0). Покажите, что если р'адар ф О, то в Р справедливо разложение ф = д <р, где 9 Е е С~" '~(Р;К). 3. Пусть ~: Кг -+ Кг — гладкое отображение, удовлетворяющее системе уравнений Коши — Римана г д~~ д~г дх' дхг' дхг дх'' а) Покажите, что якобиан такого отображения равен нулю в некоторой точке тогда и только тогда, когда матрица ~ (х) в этой точке нулевая. Ь) Покажите, что если ~'(х) ф О, то в окрестности точки х определено обратное к ~ отображение ~ ', которое также удовлетворяет системе уравнений Коши— Римана. 4.
Завпсимосгпь функций (прямое доказательство). а) Покажите, что функции гг'(х) = х' (г = 1,..., т) от точки х = (х1,..., х™) Е Е К образуют независимую систему функций в окрестности любой точки пространства К Ь) Покажите, что, какова бы ни была функция ~ Е С(К"; К), система гг',..., гг™, ~ функционально зависима. с) Если система гладких функций ~', ..., ~~, Й ( т, такова, что ранг отображения ~ = (~',..., ~") в точке хо = (хо,...,хо ) Е К™ равен Й, то в некоторой окрестности этой точки ее можно дополнить до независимой системы ~, ..., ~ состоящей из т гладких функций.
д) Если система г,' = ~'(х',...,х™) (г = 1,..., т) гладких функций такова, что осуществляемое ею отображение ~ = (~,..., ~™) имеет в точке хо = (хо,...,хо ) ранг т, то переменные ((,...,( ) могут служить криволинейными координатами в некоторой окрестности У(хо) точки хо и любая функция <р: У(хо) — > К может быть записана в виде ~р(х) = г'(~'(х),..., ~ (х)), где г'=<ро~ е) Ранг отображения, осуществляемого системой гладких функций, называют также рангом этой системы. Покажите, что если ранг системы гладких функций ~'(х',..., х"') (г = 1,..., Й) равен Й и ранг системы функций ~~, ..., У, у тоже равен Й в некоторой точке хо е К, то в окрестности этой точки у(х) = = Е(~'(х),..., ~~(х)).
Указание. Используйте с), с1) и покажите, что г(~',..., ~ ) = г(~',..., 1"). 5. Покажите, что ранг гладкого отображения ~: К вЂ” + К" является функцией, полунепрерывной снизу, т. е. галя )'(х) > ганя ~(хо) в окрестности точки хо Е К~. 506 ГЛ.УП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 6. а) Дайте прямое доказательство леммы Морса для функций Х: К -+ К. Ь) Выясните, применима лн лемма Морса в начале координат к функциям У(х) =х; Х(х) = хя1п-; Х(х) = е * я1п —; Х(х у) = х Зху ' х(х у) = х с) Покажите, что невырожденные критические точки функции Х Е С~~~(Н"'; Н) являются изолированными: каждая из них имеет такую окрестность, в которой нет других критических точек функции Х, кроме самой этой точки. о) Покажите, что число й отрицательных квадратов в каноническом представлении функции в окрестности невырожденной критической точки не зависит от способа приведения, т.
е. от системы координат, в которой функция имеет канонический внд. Это число называется индексо.н критической точка. З 7. Поверхность в К" и теория условного экстремума Для неформального понимания важной в приложениях теории условного экстремума весьма полезно иметь некоторые начальные сведения о поверхностях (многообразиях) в пространстве К". 1. Поверхность размерности й в К . Обобщая понятие закона движения х = х(г) материальной точки, мы в свое время ввели понятие пути в К" как непрерывного отображения Г: Х вЂ” ~ К" промежутка Х 1 К.
Степень гладкости пути определялась как степень гладкости этого отображения. Носитель Г(Х) С К" пути мог быть довольно причудливым множеством в К", которое иногда только с очень большой натяжкой можно было бы назвать линией. Например, носитель пути мог оказаться просто точкой. Аналогично, непрерывное или гладкое отображение Х: Х" -+ К" й-мерного промежутка Х С К~, называемое 1с-путием в К", может иметь в качестве образа Х(Х~) совсем не то, что хотелось бы назвать 1с-мерной поверхностью в К". Например, это снова может быть точка.
Чтобы гладкое отображение Х: С -+ К" области С С Кь определяло в К" )с-мерную геометрическую фигуру, точки которой описываются )с независимыми параметрами (Ф~,..., $~) 1= С, достаточно, как мы знаем из предыдущего параграфа, потребовать, чтобы в каждой точке Ф Е С ранг отображения Х: С -+ К" был равен й (разумеется, й < и). В этом случае отображение Х: С -+ Х(С) локально (т.
е. в окрестности любой точки Ф б С) является взаимно однозначным. Действительно, пусть гапя Х (го) = Й и он реализуется, например, на первых Й из п функций у1($1 1й) и ~ и ( $ 1 1 й ) задающих координатную запись отображения Х: С -+ К". $ 7 ПОВЕРХНОСТЬ В Ж" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 507 Тогда по теореме об обратной функции переменные 8',..., 8" в некоторой окрестности У($о) точки $о можно выразить через переменные х',..., х~.
Значит, множество ~(У(Фо)) может быть записано в виде ха+1 ,рай+1(х1 ха) х~ ,рл(х1 хй) (т. е. оно взаимно однозначно проектируется на координатную плоскость х',..., х"), и потому отображение ~: У(йо) -+ ~(У(8о)) действительно взаимно однозначное. Однако уже на примере одномерного гладкого пути (рис. 61) ясно, что подобная локальная взаимная однозначность отображения ~: С -+ Й" из области С параметров в пространство К" вовсе не обязана быть взаимной однозначностью в целом. Траектория может иметь многократные самопересечения, поэтому если мы желаем определить гладкую Й-мерную поверхность в К" и видеть ее как множество, которое около каждой своей точки устроено как несколько деформированный кусок Й-мерной плоскости (Й-мерного подпространства пространства К"), то нам не достаточно регулярно отображать канонический кусок С С Й" Й-мерной поверхности в пространство К", но необходимо также следить за тем, как он в целом оказывается вложенным в это пространство.
Рис. 62 О и р е д е л е н и е 1. Множество Я С К" будем называть 1с-мерной гладкой поверхностпью в пространстве $Г (или й-мерным подмногообразием К"), если для любой точки хо Е Я найдутся окрестность У(хо) в Й" и диффеоморфизм <р: У(хо) -+ 1" этой окрестности на стандартный и-мерный промежуток Р' = ($ Е К" ~ ~~Р~ < 1, г = 1,..., п) пространства 6Г, при котором образ множества Я П У(хо) совпадает с лежащей в Х частью Й-мерной плоскости пространства Й", задаваемой соотношениями ~"+' = О, ..., 1" = 0 (рис. 62). 508 ГЛ.
Ч1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Степень гладкости поверхности Я будем измерять степенью гладкости диффеоморфизма <р. Если смотреть на переменные г', ..., Ф" как на новые координаты в окрестности У(хо), то определение 1 в сокращенном варианте можно переформулировать следующим образом: множество 8 С К" называется Й-мерной поверхностью (Й-мерным подмногообразием) в К", если для любой точки хо Е Я можно указать окрестность У(хе) и такие координаты г', ..., Р в ней, что множество Я П У(хе) в этих координатах задается соотношениями $Й+1 8л О Роль стандартного промежутка в определении 1 чисто условная и примерно такая же, как роль стандартного размера или формы страницы в географическом атласе.
Каноническое расположение промежутка в системе координат г', ..., $" также относится к области стандартизации и не более того, поскольку любой куб в К" дополнительным линейным диффеоморфизмом всегда можно преобразовать в стандартный п-мерный промежуток. Эти замечанием мы часто будем пользоваться, сокращая проверку того, что некоторое множество 8 С К" является поверхностью в К". Рассмотрим примеры. П р и м е р 1. Само пространство К" является п-мерной поверхностью класса С~оо~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
