В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Но, поскольку при отображении 1 >-~ х(1) некоторая окрестность точки 0 б К" преобразуется в окрестность точки х(0) = Х0 >= Я на поверхности Я, можно заключить, что тогда и функция Ця в точке Х0 либо будет иметь экстремум, причем того же характера, что и функция Ь(х(1)), либо, как и Х(х(1)), не будет иметь экстремума.
Итак, остается проверить, что для векторов ~ Е ТЯ', выражения (41) и (45) просто являются разными записями одного и того же объекта. Действительно, полагая ( = х'(О) Ф, мы получаем вектор (, касательный к Я в точке х0, и если ( = (~1,..., ~"), х(Ф) = (х1,..., х»)($), 1 = ф,..., $ь), то 4' = дух'(0) д (~ = 1,..., и), ~(Х>ф>2) = Х вЂ” 11 +2 . Ищется экстремум этой функции на плоскости Я, заданной уравнением Р(х,у,а) = 2х — у — 3 = О. Записав функцию Лагранжа Цх,у,л) = (х~ — р~+ л~) — А(2х — у — 3) откуда и следует совпадение величин (41), (45). > Отметим, что практическое использование теоремы 2 затруднено тем, что среди координат вектора ~ = ф,..., ~") Е ТЯ, только Й = п — т независимых, поскольку координаты вектора ~ должны удовлетворять системе (29), определяющей пространство ТЯ„.
Таким образом, непосредственное применение к форме (41) критерия Сильвестра в нашем случае, вообще говоря, ничего не дает: форма (41) может не быть определенной на ТЖ,"„но оказаться определенной на ТЯ„. Если же из соотношений (29) выразить т координат вектора ~ через остальные Й координат и полученные линейные формы подставить в (41), то мы придем к квадратичной форме относительно й переменных, определенность которой уже можно исследовать с помощью критерия Сильвестра. Поясним сказанное простейшими примерами. Пример 10. Пусть в пространстве 1кз с координатами х, у, л задана функция $ 2. повнрхность в и" и творил уголовного экотрнмумл 525 и необходимые условия экстремума — = 2х — 2Л дЕ д~ =О, =-О, дл — = 2а д2 =О, дЬ вЂ” = — (2ж — у — 3) =О, дЛ Из этого равенства находим ~2 = 2~1 и подставляем в форму (46), после чего она приобретает вид -З(~')'+ (~')', где на сей раз ~1 и ('2 — независимые переменные.
Последняя форма,, очевидно, может принимать значения разных знаков, поэтому в точке р Е Я функция Дл экстремума не имеет. Пример 11. В условиях примера 10 заменим Жз на Й2 и функцию ~ на ~(х,р) = х -у, сохранив условие 2х †у †, которое теперь задает прямую Я в плоскости К2. В качестве подозрительной найдем точку р = (2, 1). Вместо формы (46) получим форму (~1)2 (~2)2 с прежним соотношением (47) между ~1 и ~2. Таким образом, на ТЯр форма (48) теперь имеет вид (48) -З(1')', т.
е. является отрицательно определенной. Отсюда заключаем, что точка р = (2, 1) является точкой локального максимума функции Дл. ~дх находим подозрительную точку р = (2, 1, 0). Далее находим форму (41): 1 д ~~ ~Р (~1)2 (~2)2 + (~З)2 (46) Отметим, что в данном случае параметр Л не вошел в эту квадратичную форму, поэтому мы его и не вычисляли. Записываем теперь условие ~ Е ТЯ~: 2~~ — (~ = О.
(47) 526 ГЛ. Ч111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Весьма поучительны во многих аспектах следующие простые примеры, на которых можно отчетливо рассмотреть механизм работы как необходимых, так и достаточных условий экстремума, в том числе роль параметра и неформальную роль самой функции Лагранжа. Пример 12. На плоскости 22 с декартовыми координатами (х,у) дана функция ~(х,у) = х2+у2. Найдем экстремумы этой функции на эллипсе, заданном каноническим соотношением 2 2 Р(х, у) = — + — — 1 = О, а2 Ь2 где 0 ( а ( Ь.
Из геометрических соображений очевидно, что ппп Д~ = а2, шах Дя = Ь2. Получим это, опираясь на рекомендации теорем 1 и 2. Записав функцию Лагранжа /х2 у2 ~~х,р,ц =(х ~р ) — «( — ~ —" — 1) ~ О2 Ьг и решая уравнение Ж = О, т. е. систему — = — = — = О, находим ее дЬ д1 дБ дх ду дЛ решения: (х,у,л) =(~а,О,а ), (О,~Ь,Ь2). Теперь в соответствии с теоремой 2 выпишем и исследуем квадратичную форму — 1Ю~ — второй член тейлоровского разложения функции Лагранжа 2 в окрестности соответствующих точек: В точках (=Еа,О) эллипса Я касательный вектор ~ = ((1, ~2) имеет вид (О,(2), а квадратичная форма при А = а2 принимает вид Учитывая условие О < а ( Ь, заключаем, что зта форма положительно определена и, значит, в точках (~а,О) Е Я имеется строгий локальный (а здесь, очевидно, и глобальный) минимум функции Яя, т.
е. ш1п Дя = а2. Аналогично находим форму отвечающую точкам (О, ~Ь) Е Я, и получаем шах Дл = Ь2. ~ ~. повнрхность в и" и теория Уголовного экстрнмумА 527 Замечание. Обратите здесь внимание на роль функции Лагранжа в сравнении с ролью функции ~. В соответствующих точках на указанных касательных векторах дифференциал функции ~ (как и дифференциал Ь) обращается в нуль, а квадратичная форма — <РАЙ = ((') + ф) положительно 2 определена, в какой бы из этих точек ее ни вычислять. Тем не менее функция Дя в точках фа, 0) имеет строгий минимум, а в точках (О, ~Ь) — строгий максимум.
Чтобы понять, в чем тут дело, просмотрите еще раз доказательство теоремы 2 и попробуйте, заменив в (42) Ь на ~, получить соотношение (42'). Заметьте, что при этом у вас появится дополнительный член, содержащий х"(0). Он не исчезнет в связи с тем, что в отличие от Н дифференциал с~ функции ~ в соответствующих точках не есть тождественный нуль, хотя на касательных векторах (вида х'(0)) его значения действительно равны нулю. Пример 13. Найдем экстремумы функции Дх,у,2) = х2+. у2+ я2 на эллипсоиде 5, заданном соотношением х2 2 2 Р(х,у,~) = — + — + — — 1=0, а2 Ь2 с2 гдеО<а<Ь<с. Записав функцию Лагранжа / 2 у2 22 их,р,л,л) = (х'+р'+") -ь( — + — + — -1), ~а Ь с2 в соответствии с необходимым признаком экстремума находим решения уравнения сК = О т.
е. системы — = — = — = — = 0: дЬ дЬ дЬ дЬ дх ду дл дЛ (х,у,2,Л) = фа,О,О,а ), (О,~Ь,О,Ь0), (О,О,~с,с2). Квадратичная форма в каждом из этих случаев на соответствующей касательной плоскости имеет вид (а) 528 ГЛ. Ч111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Поскольку О ( а с Ь < с, то на основании теоремы 2, дающей достаточный признак наличия или отсутствия условного экстремума, можно заключить, что в случаях (а) и (с) мы нашли соответственно пиндят = аз и пдахдя = с~, а в точках (О, ~ Ь, 0) Е Я, отвечающих случаю (Ь), функция Дя экстремума не имеет. Это вполне согласуется с очевидными геометрическими соображениями, высказанными по этому поводу при обсуждении необходимого признака условного экстремума.
Некоторые дальнейпые, порой весьма полезные стороны встретившихся в этом параграфе понятий анализа и геометрии, в том числе физическая интерпретация самой задачи об условном экстремуме, а также его необходимого признака (31) как разложения сил в точке равновесия и интерпретация множителей Лагранжа как величин реакций идеальных связей, представлены в приведенных ниже задачах и упражнениях. Задачи и упражнения 1.
ХХрдддь и ддоверхкосдддь. а) Пусть Х: 1 -+ Кл — отображение класса Сдц(1;К~) интервала 1 С К. Рассматривая это отображение как путь в К~, покажите на примере, что его носитель ~~1) может не быть подмногообразием в К~, а вот график этого отображения в К = К' х К2 всегда является одномерным подмногообразием К~, проекцией которого в К2 является носитель 1(1) указанного цути. Ъ) Решите задачу а) в случае, когда 1 — промежуток в К», а 1 б Сд'д(1;К").
Покажите, что в этом случае график отображения Х: 1 -~ К" является гладкой Й-мерной поверхностью в К» х К", проекция которой на подпространство К" совцадает с 1(1). с) Проверьте, что если Хд: 1д -+ Я и 5: 1л -+ Я вЂ” две гладкие параметриэацни одной и той же й-мерной поверхности Я С К", причем ни 7д в 1д, ни 5 в Хг не имеют критических точек, то определенные при этих условиях отображения д о ~2: Х2 †.~ Хд, Хд д о ~д .' 1д -+ 1а являются гладкими. 2. Сфера в К". а) На сфере Я~ = (х Е Кл ! ЙхЙ = 1) укажите-какую-нибудь максимальную область действия криволинейных координат (<р, др), полученных нз полярных координат в Кл (см.
формулу (б) предыдущего параграфа) при р = 1. Ъ) Ответьте на вопрос а) в случае (ти — 1)-мерной сферы Я = (х Е К™ ~ ~Щ = 1) в К и координат (уд, ..., ~р, д) на ней, получаемых из полярных координат в К" (см. формулы (6) предыдущего параграфа) при р = 1. с) Можно ли сферу Я» С К»+ задать одной системой координат ($~, ..., $~), т. е.
одним диффеоморфнзмом Х: С -~ К»+' области С С К»? д1) Какое наименьшее количество карт должно быть в атласе поверхности Земли? $7. ПОВЕРХНОСТЬ В Е" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 529 е) Расстояние между точками сферы Б~ С й~ будем измерять длиной кратчайшей кривой, лежащей на сфере Б~ и соединяющей эти точки.
Такой кривой является дуга соответствующего большого круга. Может ли существовать такая локальная плоская карта сферы, что все расстояния между точками сферы были бы пропорциональны (с одним и тем же коэффициентом пропорциональности) расстояниям между их изображениями на карте? 1) Углом между кривыми (лежащими или не лежащими на сфере) в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в этой точке. Покажите, что существуют локальные плоские карты сферы, в которых углы между кривыми на сфере и соответствующими кривыми на карте одинаковы (см. рис.
65, изображающий так называемую стпереографичесную проекцию). Рис. 65 3. Касатпелъное простпранстпво. а) Проверьте прямым расчетом, что касательное к гладкой й-мерной поверхности Б С К" в точке хо Е Б многообразие ТБ„не зависит от выбора системы координат в Й". Ъ) Покажите, что если цри диффеоморфизме у: Р -+ Р' области Р С й" на область Р' С 1~" гладкая поверхность Б С Р отображается на гладкую поверхность Б' С Р', а точка хо Е Б переходит в хо Е Б', то при линейном отображении ~'(хо): К" -+ ж", касательном к 1 в точке хо Е Р, векторное пространство ТБ, изоморфно преобразуется в векторное пространство ТБ'~ . с) Если в условиях предыдущей задачи отображение ~: Р -+ Р' является любым отображением класса С~ц(Р; Р'), при котором ДБ) С Б', то ~'(ТБ~,) С ТБ„~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
