В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 102
Текст из файла (страница 102)
~ 4, п. 6) Утверждение. Пространство Т$ „касательное к гладкой поверхности 5 С К" в точке хо Е Я, состоит иэ векторов, касательных в точке хо к гладким кривым, лежащим на поверхности Я и проходящим через точкр хо. Ч Пусть поверхность Я в окрестности точки хо Е Я задана в виде системы уравнений (2), которую мы коротко запишем как Р(х) = О, (20) где Р = (г'1,...,.Р' ь), х = (х1, ..., х"), Пусть Г: Е -+ 5 — произвольный гладкий путь с носителем на поверхности Я, Взяв 1 = (1 Е К ~ ~Ф~ < Ц, будем считать, что х(0) = хо. Поскольку х(й) Е Я при й Е 1, то после подстановки х(Ф) в уравнение (20) получаем Р(х(й)):— 0 (21) при ~ Е 1. Дифференцируя это тождество по 1, находим, что В частности, при Ф = О, полагая ~ = х'(О), получаем Р,'(хо,) 1 = О, т.
е. вектор (, касательный к траектории в точке хо (в момент 1 = 0), удовлетворяет уравнению (19) касательного йространства ТБ~,. Покажем теперь, что для любого вектора (', удовлетворяющего уравнению (19), найдется гладкий путь Г: 1 -+ Я, который задает кривую на поверхности Я, проходит при $ = О через точку хв и имеет вектор ~ своим вектором скорости в момент Ф = О. Этим заодно будет установлено само существование гладких кривых, проходящих на Я через точку хо, которое мы неявно предполагали в уже проведенной первой части доказательства утверждения.
з 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Ж" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 515 хо=~~ 1 1 1 16 К, х" — х» = ('»Ф, о— с направляющим вектором (~1, ..., ('"), который мы обозначим через („. В более коротких обозначениях эта прямая может быть записана в виде (22) и — ио + 4е~. Решая уравнение (11) относительно и, в силу теоремы о неявной функции получим гладкую функцию (13), подставляя в аргумент которой правую часть равенства (22), с учетом самого равенства (22), получим гладкую кривую в К,", заданную в следующем виде: с ааб У(0) СК. э = У(ио+ 6 ~) (23) Поскольку Е(и,~(и)): — О, то, очевидно, эта кривая лежит на прверхности Я. Кроме того, из равенств (23) видно, что при 1 = 0 кривая проходит через точку (ио ио) = (хо ° хо, хо, ° °, хо) = хо Е 8. 1»»+1 в Дифференцируя по $ тождество ~'(и(~),и(~)) = ~'(ио+ 6ю~, У(ио+ 6ю~)) = — О, при Ф = 0 получаем ~„'(ио, ц1)~„+ Г„'(ио,ио)Т, = О, где ~„= и'(0) = ((»+1,..., ~").
Это равенство показывает, что вектор (' = = ((„,4„) = ((1,..., ~»,~»+1,...,('") удовлетворяет уравнению (19). Таким образом, в силу сделанного выше замечания заключаем, что ~ = ~. Но вектор ( является вектором скорости при $ = 0 для траектории (23). Тем самым высказанное утверждение доказано полностью. ° Пусть для определенности выполнено условие (3).
Тогда, зная первые й координат ~1, ..., «» вектора ~ = ((1, ..., (», (»+1, ..., ("), мы из уравнения (19) (равносильного системе (18)) однозначно определим остальные его координаты ~»+1, ..., (". Таким образом, если для некоторого вектора с = (~1,..., ~», с»+1,..., ('") будет установлено, что он удовлетворяет уравнению (19), то можно заключить, что ( = ('. Воспользуемся этим. Вновь, как это было сделано выше, введем для удобства обозначения и = ( 1») (»+1 и) х ( 1 в) ( ) р( ) р(, ) Тогда уравнение (20) будет иметь вид (11), а условие (3) — вид (12).
В подпространстве К» С К" переменных х1,...,х» возьмем параметрически заданную прямую 51б ГЛ. УП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. Условный экстремум о.(х,у) = х у, х+у =р. Итак, надо найти экстремум функции п(х, у) при условии, что переменные х, у связаны соотношением х+ у = р. Таким образом, экстремум функции ищется только на множестве тех точек плоскости Й~, которые удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная задача, конечно, решается без труда: достаточно, записав, что у = р — х, подставить это выражение в формулу для о(х,у) и найти обычными методами максимум функции х(р — х). Она нам была нужна лишь для пояснения самой постановки вопроса.
В общем случае задача на условный экстремум обычно состоит в том, чтобы найти экстремум вещественнозначной функции у = У(х'," х") (24) от п переменных при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений 1 ( Х 1 Х У ъ ) (25) Р (х',...,х") =О. Поскольку мы собираемся получать дифференциальные условия экстремума, мы будем предполагать, что все рассматриваемые функции дифференцируемы и даже непрерывно дифференцируемы. Если ранг системы функций а. Постановка вопроса. Одним из наиболее ярких и популярных достижений дифференциального исчисления являются предлагаемые им рецепты отыскания экстремумов функций.
Необходимые условия и достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось, к внутренним экстремумам, Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения функции К" 3 х ~-+ Дх) Е К в окрестности точки хо Е К" тогда, когда аргумент х может принимать любое значение из некоторой окрестности в К" точки хо.
Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже более интересная ситуация, когда ищется экстремум функции при некоторых условиях, ограничивающих область изменения аргумента. Типичным примером может служить изопериметрическая задача, когда ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь.
Чтобы получить доступную нам математическую запись такой задачи, упростим постановку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь и. Обозначив через х и у длины сторон прямоугольника, запишем, что ~ 7 ПОВЕРХНОСТЬ В %" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 517 г'1,..., Г равен п — й, то условия (25) задают в К" некоторую й-мерную гладкую поверхность Я и с геометрической точки зрения задача на условный экстремум состоит в отыскании экстремума функции 7 на поверхности Я.
Более точно, рассматривается ограничение Дв функции ~ на поверхность Я и ищется экстремум функции Д~. Смысл самого понятия точки локального экстремума при этом, конечно, остается прежним, т. е. точка хо 6 5 считается точкой локального экстремума функции 7 на Я или, короче, функции Д~, если найдется такая окрестность Уя(хо) точки хо в множестве' ) Я С К", что для любой точки х б С~~(хо) выполнено неравенство ~(х) > )'(хо) (тогда хо — точка локального минимума) или 7(х) ( ~(хо) (тогда хо — точка локального максимума). Если при х Е Е ~Ъ(хо) ~ хо указанные неравенства являются строгими, то экстремум, как и прежде, будем называть строгим.
Ь. Необходимый признак условного экстремума Теорема 1. Пусть ~: Р— т К вЂ” функция, определенная на открытом множестпве Р С К" и принадлежащая классу С~1)(Р; К). Пусть 5 — гладкая поверхность в Р. Для того чтобы тпочка хо б Я, некритическая для функции 7', была точкой локального экстпремума функции Д~, необходимо выполнение условия (26) где ТЯх, — пространство, касательное к поверхностпи 5 в точке хо, а ТЖ~, — пространство, касательное к поверхности Ж = (х Е .Р ~ ~(х) = 7(хо)) уровнл функции ~, котпорому принадлежит хо. Заметим прежде всего, что требование, чтобы точка хо была некритической для функции ~, в контексте обсуждаемой задачи отыскания условного экстремума не является существенным ограничением.
Действительно, если уж точка хо б Р является критической точкой функции ~: Р -+ К или точкой экстремума этой функции, то ясно, что она будет подозрительной точкой или соответственно точкой экстремума и для функции Д~. Таким образом, новый элемент в рассматриваемой задаче состоит именно в том, что функция Дв может иметь критические точки и экстремумы, отличные от критических точек и экстремумов функции ~. < Возьмем произвольный вектор ~ б ТЯх, и такой гладкий путь х = х(~) на 5, который проходит через точку хо при 1 = 0 и для которого вектор ~ является вектором скорости.при ~ = О, т. е.
— (О) = с. сЬ сМ (27) ~~ Напомним, что Ув(хо) = Я й У(хо), где У(хр) — окрестность точки хо в К". ГЛ. 1~111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 518 ~(хе) ~=0, (28) где У(о) —, — (х) 4 — Ы .. 4). Поскольку хе — некритическая точка функции ~, условие (28) равносильно тому, что ( Е ТИ„, ибо именно соотношение (28) является уравнением касательного пространства ТМ Таким образом, доказано, что ТБ С ТХ,. ~ Если поверхность Б в окрестности точки хе задана системой уравнений (25), то пространство ТБ „, как нам известно, задается системой линейных уравнений — (хо) 4'+ .
+ — (хо) ~" = О~ дК1, дК1 дх1 ' ' дх" (29) дРпз душ — (хо)4 + .+ — (хо)Г =О. дх' дх" Пространство ТФ„ задается уравнением †(хо)~ + ... + †(хр)~" = О, дУ 1 дУ дх1 '' дх~ (30) и, поскольку всякое решение системы (29) является решением уравнения (30), последнее уравнение является следствием системы (29).
Из этих соображений вытекает, что соотношение ТБ~, с ТФ„в аналитической записи равносильно тому, что вектор 8гай ~(хо) является линейной комбинацией векторов 8га11 Г'(хе) (1 = 1,..., т), т. е. (31) Учитывая эту форму записи необходимого признака экстремума функции (24), переменные которой связаны соотношениями (25), Лагранж предложил при отыскании условного экстремума использовать следующую вспомогательную функцию: Цх,Л) = Дх) — ~) Л;рас$Г'(х) 1=1 (32) от и + т переменных (х, Л) = (х',..., х", Л1,, Л~). Если хе — точка экстремума функции Дя, то гладкая функция ~(х(~)) должна при $ = 0 иметь экстремум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
