В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (522403), страница 105
Текст из файла (страница 105)
й) Покажите, что ортогональная проекция гладкой й-мерной поверхности Б С Ж" на касательную к ней в точке хо Е Б й-мерную плоскость ТБ является отображением, взаимно однозначным в некоторой окрестности точки касания хо. е) Пусть в условиях предыдущей задачи 4 Е ТБ„и ~~Ц = 1. Уравнение х — хо = фФ прямой в К", лежащей в ТБ, можно использовать, чтобы каждую точку х Е ТБ „~ хо характеризовать парой (Ф, 4). Это по существу полярные координаты в ТБ~о. Покажите, что прямым х — хо = ~Ф на поверхности Б в окрестности точки хо отвечают гладкие кривые, пересекающиеся только в точке хо. Проверьте, что, сохра няя в качестве параметра на этих кривых величину Ф, мы получаем пути, скорость вдоль которых при Ф = 0 совпадает с вектором 4 Е ТБ „, определяющим прямую х — хо = ($, из которой получена данная кривая на Б.
Таким образом, пары ($,4), где ~ Е ТБ„, ~~Ц = 1, а Ф вЂ” вещественные числа из некоторой окрестности У(О) нуля в К, могут служить аналогом полярных координат в некоторой окрестности точки хо Е Б на поверхности Б. 4. Пусть функция Г Е С~~~(К"; К), не имеющая критических точек, такова, что уравнение г'(х',..., х") = 0 задает в К" компактную поверхность Б (т. е. Б как подмножество К' является компактом). Для любой точки х Е Б находим вектор тт(х) = рай Е(х], нормальный к Б в точке х.
Если каждую точку х Е Б заставить 5ЗО ГЛ. У111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ двигаться равномерно со своей скоростью ц(я), то возникает зависящее от времени Ф отображение Я Э х ~-+ х + зу(ж)1 Е К". а) Покажите, что Ори достаточно близких к нулю значениях $ это отображение биективно и при каждом таком значении $ из Я получается гладкая поверхность Я~. Ь) Пусть Š— множество в м"; 0-окрестностью множества Е назовем совокупность тех точек Ж", расстояние которых до Е меньше е.
Покажите, что при значениях Ф, близких к нулю, уравнение г(я,...,я") =1 задает компактную поверхность Я~ С Ж", и покажите, что поверхность Яс лежит в Ю(1)-окрестности поверхности Я~, где 0(Ф) = о(Ф) при $ -+ О. с) С каждой точкой я поверхности Я = Яо свяжем единичный вектор нормали и рассмотрим новое отображение Я Э х ~ — + я+ п(я) $ б К". Покажите, что при всех достаточно близких к нулю значениях Ф это отображение биективно, получающаяся из Я при конкретном значении 8 поверхность Яс гладкая и если Ф1 ф 1я, то Я~, П Яс~ = И.
й) Опираясь на результат предыдущей задачи, покажите, что найдется число 0 > О такое, что между точками 0-окрестности поверхности Я и парами (Ф, я), где $ Е ! — 0,0[ С Ж, я б Я, имеется взаимно однозначное соответствие; если (Ф', ..., Ф")— локальные координаты на поверхности Я в окрестности Уя(х0) точки хо, то величины (Ф, Ф', ..., Ф ) могут служить локальными координатами в некоторой пространственной окрестности У(хо) точки хо Е Й".
е) Покажите, что при !Ф! < Ю точка х Е Я является ближайшей к (ж+ п(ж)Ф) б Й" точкой поверхности Я. Таким образом, поверхность Яс при !$! < 0 есть геометрическое место точек пространства К", удаленных от поверхности Я на расстояние !1!. 5. а) Пусть Ир , .Я -+ й — функция на й-мерной гладкой поверхности Я С й", определенная равенством пр(х) = !!р — ж!!я, где р — фиксированная точка Ж", ж— точка Я, а !!р — х!! — расстояние в Ж" между этими точками. Покажите, что в точках экстремума функции Н„(я) вектор р — х ортогонален поверхности Я.
Ь) Покажите, что на любой прямой, ортогонально пересекающей поверхность Я в точке о Е Я, имеется не более й таких точек р, что функция Нр(х) имеет о своей вырожденной критической точкой (т. е. точкой, в которой гессиан функции обращается в нуль). с) Покажите, что в случае кривой Я (й = 1) на плоскости Ж~ (п = 2) точка р, для которой точка д Е Я является вырожденной критической точкой функции Ир(х), совпадает с центром кривизны кривой Я в точке о б Я.
6. Постройте в плоскости м~ с декартовыми координатами х, у линии уровня функции у(х, у) = яу и кривую Я = ((х, у) Е К ! я + у = 1). Используя полученную картинку, проведите полное исследование задачи об экстремуме функции Д8. 1 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Ц" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 531 7. На плоскости й~ с декартовыми координатами х, у определены следующие функции класса С~ 1(й~; К): 1/х2 )' х~ — 1/+е '/ вш-, если х уЕО, ~'( и)= ~ х' х — р если х =О. 7(х,у) = х — у; а) Нарисуйте линии уровня функции ~(х, р) и линию Я, заданную соотношением г'(х,р) = О.
Ь) Исследуйте на экстремум функцию Дв. с) Покажите, что условие определенности формы дну(хв) ~*() на ТЯ„„в отличие от условия определенности формы д; Ь(хв) Я/ на ТЯ„, црнведенного в теореме 2, еще не является достаточным для того, чтобы подозрительная точка хв Е Я 'была точкой экстремума функции Дв. о) Проверьте, является ли точка хв = (О, 0) критической для функции ~ и можно ли исследовать поведение 7 в окрестности этой точки только с помощью второго (квадратичного) члена формулы Тейлора, как это подразумевалось в с). 8.
В дифференциальной геометрии при определении главных кривизн и главных направлений бывает полезно уметь искать экстремум одной квадратичной формы Ь;~и'в~ при условии постоянства другой (положительно определенной) формы уцди'т~). Решите зту задачу по аналогии с разобранным выше примером 9. 9. Пусть А = ~оЯ вЂ” квадратная матрица порядка и такая, что х ~~) (а,') = Н, (~ =1, ...,п), бей А = бей А .
дев А', где А' — транспонированная цо отношению к А матрица, покажите, что при указанных выше условиях п1ах бей~А = Н1... Н . А с) Докажите, что для любой матрицы ~а'~ имеет место меравекство Адамара ЙеФ~~а~) < и (~)а,') ). й) Дайте наглядно-геометрическое истолкование неравен'тва Адамара. 10. В) Нарисуйте поверхности уровня функции Г и плоскость Я в примере 10. Объясните на рйсунке результат, полученный В этом примере. Ь) Нарисуйте линии уровня функции у и прямую Я в примере 11. Объясните на рисунке результат, полученный в этом примере. где Н1,..., Н вЂ” фиксированный набор из я неотрицательных действительных чисел.
а) Покажите, что бей~А при указанных условиях на матрицу А может иметь эх~а'~бам. только если строки матрицы А являются попарно ортогональными векторами в Й". Ь) Исходя из равенства 532 ГЛ. У1П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 11. В примере 6 из 3 4 главы Ч, исходя из принципа Ферма, был получен закон Снеллиуса преломления света на поверхности раздела двух сред в случае, когда зта поверхность — плоскость. Остается ли этот закон в силе для произвольной гладкой поверхности раздела? 12. а) Материальная точка в потенциальном поле сил может находиться в положении равновесия (называемом также состоянием покоя или стационарным состоянием) только в критических (стационарных) точках потенциала.
При этом строгому локалмюму минимуму потенциала отвечает положение устойчивого равновесия, а локальному максимуму — неустойчивого. Проверьте это. Ъ) К какой задаче на условный экстремум (которую и решал Лагранж) сводится вопрос о положении равновесия материальной точки, находящейся в потенциальном поле сил (например, тяжести) и стесненной идеальными связями (например, точка не может покидать некоторой гладкой поверхности, или бусинка — гладкой нити, или шарик — желобе)? Связь идеальна (нет трения); зто значит, что ее воздействие на точку (реакци» связи) происходит только в нормальном к связи направлении.
с) Какой физический (механический) смысл имеют в этом случае разложение (31) — необходимый признак условного экстремума и множители Лагранжа? Кстати, каждую из функций системы (25) можно поделить на модуль ее градиента, что, очевидно, приводит к равносильной системе (если ее ранг всюду равен ш). Значит, все векторы лги г'(яо) в правой части соотношения (31) можно считать единичными нормалями к соответствующей поверхности.
й) Не становится лн после приведенной физической интерпретации самоочевидным и естественным сам метод Лагранжа отыскания условного экстремума? НЕКОТОРЫЕ ЗАДКИ КОЛЛОКВИУМОВ Введение в анализ (число, функция, предел) 1. Длину стягивающего земной шар по экватору обруча увеличили на 1 метр. Образовался зазор. Достаточен ли он для прохода муравья? Каковы величины абсолютного и относительного увеличения радиуса Земли цри таком увеличении длины экватора? (Радиус Земли т б400 км.) 2. Как связаны полнота (нецрерывность) действительных чисел, неограниченность натурального ряда и принцип Архимеда? Почему любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным? Объясните на модели рациональных дробей (рациональных функций), что принцип Архимеда может быть нарушен, и в таких числовых системах натуральный ряд ограничен и имеются бесконечно малые числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
